1、11.3.1 单 调 性对应学生用书 P13已知函数 y1 x， y2 x2， y3 .1x问题 1：试作出上述三个函数的图象提示：图象为问题 2：试根据上述图象说明函数的单调性提示：函数 y1 x 在 R 上为增函数，y2 x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，y3 在(，0)，(0，)上为减函数 1x问题 3：判断它们导函数的正负提示： y110， y22 x，当 x0 时， y20，当 x0 时， f(x)为增函数，当 f( x)0 f(x)为该区间上的增函数f( x)0(f( x)0.对 应 学 生 用 书 P14判断(或证明)函数的单调性例 1 讨论下列函数的单调性(1)y
2、 ax51( a0)；(2)y ax a x(a0 且 a1)思路点拨 先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性精解详析 (1) y5 ax4且 a0， y0 在 R 上恒成立， y ax51 在 R 上为增函数(2)y axln a a xln a( x)( ax a x)ln a，当 a1 时，ln a0， ax a x0， y0 在 R 上恒成立， y ax a x在 R 上为增函数当 00， y0，又 f( x)(ln x x) 1，1x当 x0 时， f( x)10，故 yln x x 在其定义域内为增函数3判断 y ax31( aR)在(，)上的单调性解：因为 y3
3、ax2，又 x20.(1)当 a0 时， y0，函数在 R 上是增函数；(2)当 a0， f( x)0，解得 x1 或 x0，即 2 0，3x2 1x解得 .33 33又 x0， x .33令 f( x)0，00或 f( x)0 得 x2 x20，解得 x2，又 x0，所以函数 f(x)的单调递增区间为(2，)答案：(2，)5函数 f(x) xln x 的单调递增区间为_解析： f(x) xln x(x0)， f( x)ln x1，令 f( x)0，则 ln x10，即 ln x1. x ，1e即函数 f(x) xln x 的单调递增区间为 .(1e， )5答案： (1e， )6已知函数 f(
4、x) (k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线ln x kexy f(x)在点(1， f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间解：(1)由 f(x) ，ln x kex得 f( x) ， x(0，)，1 kx xln xxex由于曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线与 x 轴平行，所以 f(1)0，因此 k1.(2)由(1)得 f( x) (1 x xln x)， x(0，)，1xex令 h(x)1 x xln x， x(0，)，当 x(0,1)时， h(x)0；当 x(1，)时， h(x)0，所以当 x(0,1)时， f( x)0
5、；当 x(1，)时， f( x)0，2 x3 a0， a2 x3在 x2，)上恒成立 a(2 x3)min.6 x2，)， y2 x3是增函数，(2 x3)min16， a16.当 a16 时， f( x) 0( x2，)恒成立2x3 16x2 a 的取值范围是 a16.一点通 (1)已知 f(x)在区间( a， b)上的单调性，求参数范围的方法：利用集合的包含关系处理： f(x)在( a， b)上单调，则区间( a， b)是相应单调区间的子集；利用不等式的恒成立处理： f(x)在( a， b)上单调，则 f( x)0 或 f( x)0 在(a， b)内恒成立，注意验证等号是否成立(2)两个非
6、常重要的转化： m f(x)恒成立 m f(x)max； m f(x)恒成立 m f(x)min.7函数 f(x) x3 mx2 m2 的单调递减区间为(0,3)，则 m_.解析： f(x) x3 mx2 m2， f( x)3 x22 mx.令 f( x)0，则 x0 或 x m，23又函数 f(x)的单调递减区间为(0,3)， m3，即 m .23 92答案：928若 f(x) (x2) 2 bln x 在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是12_解析：由题意可知 f( x)( x2) 0 在(1，)上恒成立，即 b x(x2)在bxx(1，)上恒成立，由于 (x) x(x2) x22
7、x(x(1，)的值域是(1，)，故只要 b1 即可答案：(，19已知函数 f(x)2 ax ， x(0,1若 f(x)在(0,1上是增函数，求 a 的取值范1x2围解：由已知得 f( x)2 a ，2x37 f(x)在(0,1上单调递增， f( x)0，即 a 在 x(0,1上恒成立1x3而 g(x) 在(0,1上单调递增，1x3 g(x)max g(1)1， a1.当 a1 时， f( x)2 .2x3对 x(0,1也有 f( x)0. a1 时， f(x)在(0,1上为增函数综上， f(x)在(0,1上为增函数，a 的取值范围是1，)1在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义
8、域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间2一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间3如果函数在某个区间内恒有 f( x)0，则 f(x)为常数函数对应课时跟踪训练(六) 一、填空题1函数 y x3 x240 x80 的增区间为_，减区间为_解析： y3 x22 x40(3 x10)( x4)，由 y0，得 x4 或 x0，0xf( x)则不等式 x2f f(x)x.又 x0，00，则 4x(x1)( x1)0，解得11，所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,0)和(1，)令 f( x)0，由 f( x)0 得 07，所以 a7.综上可知，实数 a 的取值范围是 5 a7.
