1、132.3 空间的角的计算对 应 学 生 用 书 P68山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A 处，乙站在山坡斜面上的 B 处，A、B 两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m，CD 的长为 60 m，AB 的长为 80 m.问题 1：如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角？提示：设异面直线 AC 与 BD 所成的角为 ，则 cos | cos AC， BD|.问题 2：如何求斜线 BD 与地面所成角 ？提示：设地面的法向量为 n，则 sin |cos， n|. 问题 3：如
2、何求水平地面与斜坡面所成的二面角 ？提示：cos cos CA， DB 异面直线所成的角设两条异面直线 a， b 所成的角为 ，它们的方向向量分别为 a、 b.则 cos |ab|a|b|直线与平面所成的角设直线和平面所成的角为 ，且直线的方向向量为 a，平面的法向量为 b，则 sin |ab|a|b|二面角的平面角设二面角 l 的锐二面角大小为 ，且两个半平面的法向量分别为a， b，则 cos |ab|a|b|对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识(1)斜线与平面的夹角范围是 ；而直线与平面的夹角范围是 ；(0， 2) 0， 22(2)设 AB在平面 内的射影为 AB，且直线 AB 与平面
3、的夹角为 ，则| | |cos ；(3)平面 的法向量 n 与 所成的锐角 1的余角 就是直线 AB 与平面 所成的角对 应 学 生 用 书 P69利用空间向量求异面直线所成的角例 1 如图所示，三棱柱 OAB O1A1B1中，平面 OBB1O1平面OAB， O1OB60， AOB90，且 OB OO12， OA ，求异3面直线 A1B 与 AO1所成的角的余弦值的大小思路点拨 1， 坐标 建 系求 A1， B，A， O1坐 标cos 1， .结 论精解详析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)， O1(0,1， )， A( ，0,0)， A1( ，1， )，3 3 3 3B(0
4、,2,0)， 1A 1( ，1， )，3 3 1( ，1， )3 3cos 1AB， OA1B O1A |A1B |O1A |( r(3)， 1， r(3)(r(3)， 1， r(3)77 .17异面直线 A1B 与 AO1所成的角的余弦值为 .17一点通求异面直线所成的角的方法及关注点：(1)方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的3角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角(2)关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算1.如图所示，已知在四面体 ABCD 中， O 是 BD 的中点，CA
5、 CB CD BD2， AB AD .2(1)求证： AO平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0)， D(1,0,0)，C(0， ，0)， A(0,0,1)，3(1)证明：(0,0,1)， B(2,0,0)，(1， ，0)3 O 0， C0， OA BD， OA BC.又 BD BC B， AO平面 BCD.(2) A(1,0,1)， D(1， ，0)3cos ， ，| 24异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值为 .242.已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的所有棱长都是 1，且 A
6、1AB A1AD BAD60，求直线 AC1与 AC 所成角的余弦值解： C ， ，| 1|2 B2 2 1A22 B 2 A 12 D 1A111211cos 6036，|AC|2 2 D22 1113，| 1| ，| | .6 3 ( B A)( D 1A)2 1 B 2 D 1A 1 1 4，12 12 12 124cos 1AC， ，| 463 223即 AC1与 AC 所成角的余弦值为 .223求线面角例 2 (湖南高考)如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AD BC， BAD90，AC BD， BC1， AD AA13.(1)证明： AC B1D；(2)求直线 B1C1
7、与平面 ACD1所成角的正弦值思路点拨 以 A 为原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系(1)求出和 1，证明 1BD0；(2)求出直线 B1C1的方向向量与平面 ACD1的法向量精解详析 (1)证明：易知， AB， AD， AA1两两垂直如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设 AB t，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)，B(t,0,0)， B1(t,0,3)， C(t,1,0)， C1(t,1,3)， D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而 1( t,3，3)，
8、 A( t,1,0)， B( t,3,0)因为 AC BD，所以 B t2300，解得 t 或 t (舍去)3 3于是 1BD( ，3，3)， C( ，1,0)3 3因为 AC 3300，所以 1，即 AC B1D.(2)由(1)知，(0,3,3)， A( ，1,0)， 1BC(0,1,0)3设 n( x， y， z)是平面 ACD1的一个法向量，5则Error! 即Error!令 x1，则 n(1， ， )3 3设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 ，则sin |cos n， 1| .|n|n| 37 217即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 .217一点通 利用向量法求直
9、线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；(3)利用公式 cos a， b ，进行计算，其中向量 a 是直线的方向向量， b 可ab|a|b|以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；(4)将 a， b转化为所求的线面角3.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC， AC BC CC1， M、 N 分别是 A1B、 B1C1的中点(1)求证： MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1和平面 A1BC 所成的角的大小解：(1)证明：根据题意， CA、 CB、 CC1两两垂直，以 C
10、为原点，CA、 CB、 CC1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AC BC CC1 a，则 B(0， a,0)， B1(0， a， a)， A(a，0,0)， C(0,0,0)， C1(0,0， a)，A1(a,0， a)， M ， N .(a2， a2， a2) (0， a2， a)所以 1( a， a， a)， 1( a,0， a)， .(a2， 0， a2)于是 1BA0， 1C0，即 MN BA1， MN CA1.又 BA1 CA1 A1，故 MN平面 A1BC.(2)因为 MN平面 A1BC，则 MN为平面 A1BC 的法向量，又 1BC(0
11、， a， a)，6则 cos 1BC， MN ，| | |a222a22a 12所以 ， 60.故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30.4如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD， AC BD，垂足为 H， PH 是四棱锥的高， E 为 AD 的中点(1)证明： PE BC；(2)若 APB ADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值解：(1)证明：以 H 为原点， HA， HB， HP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系 H xyz 如图，则 A(1,0,0)， B(0,1,0)设 C(m,0,
12、0)， P(0,0， n)(m0)， D(0， m,0)， E .(12， m2， 0)可得 E ， C( m，1,0)(12， m2， n)因为 B 00，m2 m2所以 PE BC.(2)由已知条件可得 m ， n1，33故 C ， D ， E ， P(0,0,1)(33， 0， 0) (0， 33， 0) (12， 36， 0)设 n( x， y， z)为平面 PEH 的法向量，则Error! 即Error!因此可以取 n(1， ，0)3又 PA(1,0，1)，可得|cos PA， n| ，|nn| 122 24所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 .24求二面角7例 3 (
13、江苏高考)如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中，AB AC， AB AC2， A1A4，点 D 是 BC 的中点(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值思路点拨 (1)先建系求出 A1B 和 C1D 的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面 ADC1与平面 ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值精解详析 (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， D(1,1,0)，A1(0，0,4)， C1(0,2,4)，所以 1(2,0
14、，4)，D(1，1，4)因为 cos 1B， D ，所以异| 182018 31010面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .31010(2)设平面 ADC1的法向量为 n1( x， y， z)，因为(1,1,0)， A(0,2,4)，所以 n1 0， n1 0，即 x y0 且 y2 z0，取 z1，得 x2， y2，所以 n1(2，2,1)是平面 ADC1的一个法向量取平面 ABA1的一个法向量为 n2(0,1,0)，设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 .由|cos | ，得 sin .|n1n2|n1|n2| 291 23 53因此平面 ADC1与平面 ABA1所
15、成二面角的正弦值为 .53一点通 用向量法求二面角的大小时，应注意两个问题：一是建系后两个平面的法向量求解正确；二是求出了两法向量夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角大小5(天津高考)如图， 四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， 侧棱 A1A底面ABCD， AB/DC， AB AD， AD CD1， AA1 AB2， E 为棱 AA1的中点8(1)证明： B1C1 CE; (2)求二面角 B1 CE C1的正弦值(3)设点 M 在线段 C1E 上， 且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段 AM26的长解： 如图，以点 A
16、为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)， B(0,0,2)， C(1,0,1)， B1(0,2,2)， C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明：易得 1(1,0，1)， E(1,1，1)，于是 1 0，所以 B1C1 CE.(2)可知 (1，2，1)设平面 B1CE 的法向量 m( x， y， z)，则Error! 即Error!消去 x，得 y2 z0，不妨令 z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知， B1C1 CE，又 CC1 B1C1，可得 B1C1平面 CEC1，故(1,0，1)为平面 CEC1的一个法向量于是 cos m， 1 ，m|m| 4142 2
17、77从而 sin m， 1BC .217所以二面角 B1 CE C1的正弦值为 .217(3)AE(0,1,0)，(1,1,1)设 M 1( ， ， )，0 1，有 ( ， 1， )可取 B(0,0,2)为平面 ADD1A1的一个法向量9设 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角，则 sin |cos M， B| | 22 2 ( 1)2 2.于是 ，解得 ，所以 AM .3 2 2 1 3 2 2 1 26 13 26.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， AP AB2， BC2 ， E， F 分别是 AD， PC 的中点2(1)证明： PC平面
18、 BEF；(2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小解：(1)证明：如图，以 A 为坐标原点， AB、 AD、 AP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 AP AB2， BC AD2 ，四边形 ABCD 是矩形2 A， B， C， D， P 的坐标为 A(0,0,0)， B(2,0,0)，C(2，2 ，0)， D(0,2 ，0)， P(0,0,2)，2 2又 E， F 分别是 AD， PC 的中点， E(0， ，0)， F(1， ，1)2 2 P(2,2 ，2)，(1， ，1)， EF(1,0,1)，2 2 CB2420， PC 2020， ， E， PC BF， PC
19、 EF， BF EF F， PC平面 BEF.(2)由(1)知平面 BEF 的法向量 n1 PC(2,2 ，2)，2平面 BAP 的法向量 n2 AD(0,2 ，0)，2 n1n28.设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 cos |cos n1， n2| ，|n1n2|n1|n2| 8422 22 45，平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45.1两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角2直线的方向向量为 u，平面的法向量为 n，直线与平面成角为 ，则 sin |cos u， n|，不要漏了绝对值符号3利用两平面的法向量 n1， n2求出 cos
20、n1， n2后要根据图形判断二面角是锐角还10是钝角对应课时跟踪训练(二十五) 1已知 A(0,1,1)， B(2，1,0)， C(3,5,7)， D(1,2,4)，则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为_解析：(2，2，1)，(2，3，3)，cos ， CD .| 5322 5 2266直线 AB， CD 所成角的余弦值为 .52266答案：522662棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别为 A1B1， BB1的中点，则异面直线AM 与 CN 所成角的余弦值是_解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， M ， C(0,1,0)，
21、(1，12， 1)N .(1， 1，12) AM ， CN ，(0，12， 1) (1， 0， 12)cos， ，125252 25故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 .25答案：253 PA平面 ABC， AC BC， PA AC1， BC ，则二面角 A PB C 的余弦值为2_解析： 如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， B( ，1,0)，211C(0,1,0)， P(0,0,1)，A(0,0,1)， B( ，1,0)， CB( ，0,0)， CP(0，1，1)设平面2 2PAB 的法向量为 m( x， y， z)，则Error!Error!Error!令 x1，则
22、m(1， ，0)2设平面 PBC 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! Error!Error!令 y1，则 n(0，1，1)，cos m， n .mn|m|n| 33答案：334(大纲全国卷改编)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于_解析：以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12 AB2，则 D(0,0,0)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,2)，则C(0,1,0) ， B(1,1,0) ， 1(0,1,2)设平面 BDC1的法向量为 n( x， y， z)，则 n ，
23、 n D，所以有Error!令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ，则 sin |cos n， C| .|n|n| 23答案：235已知 E， F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BC， CC1的中点，则截面AEFD1与底面 ABCD 所成二面角的余弦值是_解析：以 D 为坐标原点，以 DA， DC， DD1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A(1,0,0)， E ， F ， D1(0,0,1)(12， 1， 0) (0， 1， 12)所以 1(1,0,1)， A .(12， 1
24、， 0)设平面 AEFD1的法向量为 n( x， y， z)，则Error!Error!取 y1，则 n(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为u(0,0,1)，12cos n， u .23答案：236.如图，在几何体 ABCDE 中， ABC 是等腰直角三角形， ABC90， BE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 BE AB2， CD1，点 F 是 AE 的中点求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值解：以点 B 为原点， BA、 BC、 BE 所在的直线分别为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)， D(0
25、,2,1)， E(0,0,2)，F(1,0,1)(0,2,1)， F(1，2,0)， BA(2,0,0)设平面 BDF 的一个法向量为 n(2， a， b)， n ， n B，Error! 即Error!解得 a1， b2. n(2,1，2)又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ，则 sin .n| |n| 423 23即 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 .237(江西高考)如图，四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中点， DAB DCB， EA EB AB1， PA ，连结 CE 并延长交 AD 于 F.32(1)求证： AD平
26、面 CFG；13(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值解：(1)证明：在 ABD 中，因为 E 是 BD 中点，所以 EA EB ED AB1，故 BAD ， ABE AEB ， 2 3因为 DAB DCB，所以 EAB ECB，从而有 FED BEC AEB ， 3所以 FED FEA，故 EF AD， AF FD.因为 PG GD，所以 FG PA.又 PA平面 ABCD，所以 GF AD，故 AD平面 CFG.(2)以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)， B(1,0,0)， C ， D(0， ，0)， P ，(32， 32， 0) 3 (0，
27、 0， 32)故 ， P ，(12， 32， 0) ( 32， 32， 32)D .(32， 32， 0)设平面 BCP 的一个法向量 n1(1， y1， z1)，则Error! 解得Error!即 n1 .(1， 33， 23)设平面 DCP 的一个法向量 n2(1， y2， z2)，则Error! 解得Error!即 n2(1， ，2)3从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为cos .|n1n2|n1|n2|431698 248.如图，在几何体 ABCDE 中， DA平面EAB， CB DA， EA AB， M 是 EC 的中点， EA DA AB2 CB.(1)求证： DM
28、EB；(2)求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值；(3)求二面角 M BD A 的余弦值解：以直线 AE、 AB、 AD 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直14角坐标系 A xyz，设 CB a，则 A(0,0,0)， E(2a,0,0)，B(0,2a,0)， C(0,2a， a)， D(0,0,2a)，所以 M(a， a， )，a2(1)证明：( a， a， )， EB(2 a,2a,0)，3a2 DEB a(2 a) a2a00， ，即 DM EB.(2)A(0,2 a,0)， C(2 a，2 a， a)，设异面直线 AB 与 CE 所成的角为 ，则 cos .| 4a22a3a 23即异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值为 .23(3) DA平面 EAB， AD平面 DAB，平面 DAB平面 EAB， EA平面 EAB，平面 EAB平面 DAB AB，EA AB. EA平面 DAB. AE(2 a,0,0)是平面 DAB 的一个法向量设平面 MBD 的一个法向量为 n( x， y， z)，DM( a， a， )， BD(0，2 a,2a)，3a2则Error! 即Error!令 z a，则 n ，(a2， a， a)设二面角 M BD A 的平面角为 ，则 cos .n| |n| a22a3a2 13即二面角 M BD A 的余弦值为 .1315
