1、1全 称 量 词 与 存 在 量 词预习课本 P2125，思考并完成以下问题 1全称量词、全称命题的定义是什么？2存在量词、特称命题的定义是什么？3全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？新 知 初 探 1全称量词与全称命题全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号 _全称命题 含有全称量词的命题形式 “对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立” ，可用符号简记为“ x M， p(x)”2存在量词与特称命题存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示 _2特称命题 含有存在量词的命题形式 “存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为“ x0 M， p(x
2、0)”3全称命题与特称命题的否定知识点 原命题 命题的否定全称命题的否定p： x M， p(x) 綈 p： x0 M，綈 p(x0)特称命题的否定p： x0 M， p(x0) 綈 p： x M，綈 p(x)点睛 (1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三
3、角形内角和是 180”是全称命题( )答案：(1) (2) (3)2命题“ xR，| x| x20” 的否定是( )A xR，| x| x20 恒成立；(2)当 x 为有理数时， x2 x1 也是有理数；13 12(3)等式 sin( )sin sin 对有些角 ， 成立；(4)方程 3x2 y10 有整数解解：(1)对任意实数 x，不等式 x2 x10 成立4(2)对任意有理数 x， x2 x1 是有理数13 12(3)存在角 ， ，使 sin( )sin sin 成立(4)存在一对整数 x， y，使 3x2 y10 成立.全称命题、特称命题的真假判断典例 (1)下列命题中的假命题是( )A
4、 x0R ，lg x00 B x0R，tan x01C xR， x20 D xR，e x0(2)下列命题中的真命题是( )A R，函数 f(x)sin(2 x )都不是偶函数B 0， 0R ，使 cos( 0 0)cos 0cos 0C向量 a(2,1)， b(1,0)，则 a 在 b 方向上的投影为 2D “|x|1”是“ x1”的既不充分又不必要条件解析 (1)对于 A， x1 时，lg x0；对于 B， x k (kZ)时，tan x1； 4对于 C，当 x0 时， x20，所以 C 中命题为假命题；对于 D，e x0 恒成立(2)对于 A，当 时， f(x)cos 2 x，为偶函数，故
5、 A 为假命题； 2对于 B，令 0 ， 0 ，则 cos( 0 0)cos ，cos 0cos 4 2 ( 4) 22 0 0 ，cos( 0 0)cos 0cos 0成立，故 B 为真命题；22 22对于 C，向量 a(2,1)， b(1,0)，则 a 在 b 方向上的投影为 2，ab|b| 2 01故 C 为假命题；对于 D，| x|1，即1 x1，故充分性成立，若 x1，则| x|1 不一定成立，所以“| x|1”为“ x1”的充分不必要条件，故 D 为假命题答案 (1)C (2)B全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x
6、 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x0使 p(x0)成立5即可；否则，这个特称命题就是假命题 活学活用指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假(1)若 a0，且 a1，则对任意实数 x， ax0.(2)对任意实数 x1， x2，若 x10(a0，且 a1)恒成立，命题(1)是真命题(2)是全称命题存在 x10， x2， x10，命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定典例 (1)设命题 p： nN， n22n，则綈 p 为( )A nN，
7、 n22n B nN， n22 nC nN， n22 n D nN， n22 n(2)(2016浙江高考)命题“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式是( )A xR， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x2C xR ， nN *，使得 n x2D xR ， nN *，使得 n x2解析 (1)因为“ x M， p(x)”的否定是“ x M，綈 p(x)”，所以命题“nN ， n22n”的否定是“ nN， n22 n”，故选 C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR， nN *，使得 n x2”的否定形式为“ xR， n
8、N *，使得 n x2”答案 (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路6(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定 活学活用判断下列命题的真假，并写出它们的否定(1)三角形的内角和为 180；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形解：(1)三角形的内角和为 180，是全称命题，是真命题命题的否定：三角形的内角和不全为 1
9、80，即存在一个三角形，其内角和不等于 180.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数典例 若命题“ x1， )， x22 ax2 a”是真命题，求实数 a 的取值范围解 法一：由题意， x 1，)，令 f(x) x22 ax2 a 恒成立，所以 f(x)( x a)22 a2 a 可转化为 x1，) ， f(x)min a 恒成立，而 x1，)，f(x)minError!由 f(x)的最小值 f(x)min
10、a，知 a3,1法二： x22 ax2 a，即 x22 ax2 a0，令 f(x) x22 ax2 a，所以全称命题转化为 x 1，)，f(x)0 恒成立，所以 0 或Error!即2 a1 或3 a .32答案： (32， )2已知命题 p： x0R，使 x mx010，命题 q： xR，有 x22 x m0.若命题20q( p q)为真，綈 p 为真，求实数 m 的取值范围解：由于綈 p 为真，所以 p 为假，则 p q 为假又 q( p q)为真，故 q 为真，即 p 假、 q 真命题 p 为假，即关于 x 的方程 x2 mx10 无实数解，则 m241.故实数 m 的取值范围是(1,2
11、)层级一 学业水平达标1已知命题 p： x0，总有 ex1，则綈 p 为( )8A x00 ，使得 ex01 B x00，使得 ex01C x0，总有 ex1 D x0，总有 ex0，使得ex01.故选 B.2下列四个命题中的真命题为( )A若 sin Asin B，则 A BB xR，都有 x210C若 lg x20，则 x1D x0Z ，使 1x0”的否定是( )12 20A x0R,2 x0 或 x x012 20B xR,2 x 或 x2 x12C xR,2 x 且 x2 x12D x0R,2 x0 且 x x012 20解析：选 C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选 C.4以
12、下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数 x，使 x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数 x，使 21x解析：选 B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中 x0 时， x20，所以 B 既是特称命题又是真命题；C 中因为 ( ) 0，所以 C 是假命题；D 中对于任3 3一个负数 x，都有 4.6下列命题中，是全称命题的是_；是特称命题的是_(填序号)正方形的四条边相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形；正数的平方根不等于 0；至少有一个正整数是偶数解析：可表述为“每一个正方形的四条边相等” ，是全称命题；是全称命题，即“
13、凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形” ；可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；是特称命题答案： 7命题“至少有一个正实数 x 满足方程 x22( a1) x2 a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有” ， “满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数 x 都不满足方程 x22( a1) x2 a608已知命题“ x0R,2 x ( a1) x0 0”是假命题，则实数 a 的取值范围是2012_解析：原命题等价于“ xR,2 x2( a1) x 0”是真命题，即 ( a1) 240)，函数 f(x) sin 的周期不大于3 (xa 3)4.(1)写出綈 p；
14、(2)当綈 p 是假命题时，求实数 b 的最大值解：(1)綈 p： a0(0， b(bR 且 b0)，函数 f(x) sin 的周期大于 4.3 (xa0 3)(2)因为綈 p 是假命题，所以 p 是真命题，所以 a(0， b， 4 恒成立，解得 a2，21a所以 b2，所以实数 b 的最大值是 2.层级二 应试能力达标1已知 f(x)3sin x x，命题 p： x ， f(x)0.给出下52 12 34列结论：命题 p 是真命题；命题 q 是假命题；命题(綈 p) q 是真命题；命题 p(綈 q)是假命题其中正确的是( )A BC D解析：选 C 对于命题 p，因为函数 ysin x 的值
15、域为1,1，所以命题 p 为假命题；对于命题 q，因为函数 y x2 x 的图象开口向上，最小值在 x 处取得，且 f12 34 14 0，所以命题 q 为真命题(14) 1116由命题 p 为假命题和命题 q 为真命题可得：命题(綈 p) q 是真命题，命题 p(綈 q)是假命题故正确4命题“ nN *， f(n)N *且 f(n) n”的否定形式是( )A nN *， f(n)N*且 f(n)nB nN *， f(n)N*或 f(n)nC n0N *， f(n0)N*且 f(n0)n0D n0N *， f(n0)N*或 f(n0)n0解析：选 D 写全称命题的否定时，要把量词改为，并且否定
16、结论，注意把“且”改为“或” 125有下列四个命题： xR,2 x23 x40； x1，1,0,2 x10； x0N ， x x0；20 x0N *， x0为 29 的约数其中真命题有_个解析：易知正确当 x1 时，2 x10， y(3 c)x在 R 上为减函数，命题 q： xR， x22 c30.若 p q 为真命题，则实数 c 的取值范围为_解析：由于 p q 为真命题，所以 p， q 都是真命题，所以Error!解得 20 成立”为真，试求参数 a 的取值范围解：法一：由题意知， x22 ax2 a0 在1,2上有解，令 f(x) x22 ax2 a，则只需 f(1)0 或 f(2)0，
17、即 12 a2 a0，或 44 a2 a0.整理得 a3 或 a2.即 a3.故参数 a 的取值范围为(3，)法二：綈 p： x1,2， x22 ax2 a0 无解，令 f(x) x22 ax2 a，则Error! 即Error!解得 a3.故命题 p 中， a3.即参数 a 的取值范围为(3，)8已知 f(t)log 2t， t ，8，若命题“对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立”为真命题，求实数 x 的取值范围解：易知 f(t) .12， 3由题意，令 g(m)( x2) m x24 x4( x2) m( x2) 2，则 g(m)0 对 m恒成立12
18、， 3所以Error! 即Error!解得 x2 或 x0， yR，则“ xy”是“ x|y|”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出 xy，所以“ xy”是“ x|y|”的必要不充分条件3已知命题若 ab，则 b，若 a2， b3，则不成立故 A 错；的1a1b逆命题为若( x2)( x3)0，则2 x0 是假命题，故 B 错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故 C 错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确4已知命题 p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A命题綈 p 是真命题B命
19、题 p 是特称命题C命题 p 是全称命题D命题 p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选 C 命题 p：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈 p 是假命题5下列命题中，真命题是( )14A命题“若| a|b，则 ab”B命题“若“ a b，则| a| b|”的逆命题C命题“当 x2 时， x25 x60”的否命题D命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选 D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等” ，是真命题，故选 D.6已知命题 p：若实数 x， y 满足 x3 y30，则 x， y 互为相反数；命题 q：若ab0，则 0，则( )A p 是真命题
20、，綈 p： x0(0，)， f(x0)0 时， f(x)f(0)0，所以 p 为真命题，綈 p： x0(0，)， f(x0)0，故选 B.8下列关于函数 f(x) x2与函数 g(x)2 x的描述，正确的是( )A a0R ，当 xa0时，总有 f(x)4 时，由图象知 f(x)2.又 p 是 q 的充分不必要条件，则 k2，故选 B.3x 110下列判断正确的是( )A命题“负数的平方是正数”不是全称命题B命题“ xN *， x3x2”的否定是 “x0N *， x 0 的一个必要不充分条件是( )A x4C| x1|1 D| x2|3解析：选 C 由 f(x) x24 x0，得 x4.由|
21、x1|1，得 x2.由|x2|3，得 x5，所以只有 C 是必要不充分条件故选 C.12有下列命题：“若 x y0，则 x0 且 y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若 m1，则 mx22( m1) x m30 的解集是 R”的逆命题；“若 a7 是无理数，则 a 是无理数”的逆否命题其中正确的是( )A BC D解析：选 C 的逆命题为“若 x0 且 y0，则 x y0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等” ，为假命题；的逆命题为，若 mx22( m1) x m30 的解集为 R，则 m1.当 m0 时，解集不是 R，应有Error! 即 m1.是真命题；
22、原命题为真，逆否命题也为真二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中的横线上)13命题“若 aA，则 b B”的逆否命题是_16解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序答案：若 bB，则 a A14命题 p：若 a， bR，则 ab0 是 a0 的充分条件，命题 q：函数 y 的定x 3义域是3，)，则“ p q”“p q”“綈 p”中是真命题的为_解析： p 为假命题， q 为真命题，故 p q 为真命题，綈 p 为真命题答案： p q，綈 p15已知 p：40，若綈 p 是綈 q 的充分条件，则实数 a的取值范围是_解析： p： a4b，
23、则 0 时， b，则必有 a0b，故 0 ，所以原命题是假命题；若 0， x 2；1x(4)x0Z ，log 2x02.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的” ，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数” ，是全称命题，且为真命题(2)命题中含有存在量词“至少有一个” ，因此是特称命题，且为真命题17(3)命题中含有全称量词“” ，是全称命题，且为假命题(4)命题中含有存在量词“” ，是特称命题，且为真命题18(本小题满分 12 分)把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假(1)能被 6 整除的数一定是偶数；(2)当 | b2|0 时， a1， b2；a 1(3)已知 x，
24、 y 为正整数，当 y x2时， y1， x1.解：(1)若一个数能被 6 整除，则这个数为偶数，是真命题(2)若 | b2|0，则 a1 且 b2，真命题a 1(3)已知 x， y 为正整数，若 y x2，则 y1 且 x1，假命题19(本小题满分 12 分)已知 c0，设命题 p： y cx为减函数，命题 q：函数 f(x) x 在 x 上恒成立若 p q 为真命题， p q 为假命题，求 c 的取值范围1x1c解：由 p q 真， p q 假，知 p 与 q 为一真一假，对 p， q 进行分类讨论即可若 p 真，由 y cx为减函数，得 0 .1c 12若 p 真 q 假，则 0 ，所以
25、 c1.12综上可得， c 1，)20(本小题满分 12 分)已知 kR 且 k1，直线 l1： y x1 和 l2： y x k.k2 1k 1(1)求直线 l1 l2的充要条件；(2)当 x1,2时，直线 l1恒在 x 轴上方，求 k 的取值范围解：(1)由题意得Error!解得 k2.当 k2 时， l1： y x1， l2： y x2，此时 l1 l2.直线 l1 l2的充要条件为 k2.(2)设 f(x) x1.由题意，得Error!k218即Error! 解得12 a，即 a1 时， N(2 a， a)，则Error! 解得 a .94当 a(x2 x)max，得 m2，即 B m|m2(2)不等式( x3 a)(x a2)2 a，即 a1 时，解集 A x|2 ax3a，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则 A B，2 a2，此时 a(1，)；当 3a2 a，即 a1 时，解集 A，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则A B 成立；当 3a2 a，即 a1 时，解集 A x|3ax2 a，若 x A 是 x B 的充分不必要条19件，则 A B 成立，3 a2，此时 a .综上可得 a .
