1、1第 7 章 数系的扩充与复数1虚数单位 i(1)i21(即1 的平方根是i)(2)实数可以与 i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i 的幂具有周期性：i 4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i( nN )，则有ini n1 i n2 i n3 0( nN )2复数的分类复数 a bi，( a， bR)Error!3共轭复数设复数 z 的共轭复数为 ，则z(1)z | z|2| |2；z z(2)z 为实数 z ； z 为纯虚数 z .z z4复数相等的条件复数相等的充要条件为 a bi c dia c， b d(a， b， c， dR)特别地，a bi
2、0 a b0( a， bR)5复数的运算(1)加法和减法运算：( a bi)(c di)( ac)( bd)i(a， b， c， dR)(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化复数的概念例 1 复数 zlog 3(x23 x3)ilog 2(x3)，当 x 为何实数时，(1)zR？(2) z 为虚数？(3) z 为纯虚数？解 (1)一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，Error!由得 x4，经验证满足式当 x4 时， zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0，2
3、Error!解得Error!即 4.3 212当 4 时， z 为虚数3 212(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为 0，Error!解得Error! 无解复数 z 不可能是纯虚数解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域1若复数 z (2i)为纯虚数，求实数 a.a 2i1 i解： z (2i) (2i)a 2i1 i a 2i 1 i2 (2i) a 2 2 a i2 i 为纯虚数，a 62 a2 0，即 a6.a 622已知 z (x0)，且复数 z(zi)的实部减去它的虚部所得的差等于 ，x i1 i 32求 .
4、解： z(zi)x i1 i(x i1 i i) i.x i1 i x 11 i x 12 x2 x2根据题意 ，得 x213.x 12 x2 x2 32 x0， x2. 3i.323 . (32 3i)(32 3i) 454复数的四则运算例 2 计算：(1) ； 2 2i 4 1 3i 5(2)(2i)(15i)(34i)2i.解 (1)原式16 1 i 4 1 3i 4 1 3i16 2i 2 2 23i 2 1 3i 644 1 3i 2 1 3i 16 1 3i 4 1 i. 41 3i 3(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减
5、乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意 i21.3计算 .1 i 1 i 2 1 i 1 i 2解： 1.1 i 1 i 2 1 i 1 i 2 1 i2i 1 i2i 2i2i4若复数 z12i(i 为虚数单位)，求 z z.z解： z12i， 12i.z z z(12i)(12i)(12i)512i62i.z复数问题实数化例 3 设存在复数 z 同时满足下列条件：(1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z 2i z8 ai(aR)z试求 a 的取值范围解 设 z x yi(x， yR)，则 x yi.z由(1)，知 x0，
6、y0.又 z 2i z8 ai(aR)，z4故( x yi)(x yi)2i( x yi)8 ai，即( x2 y22 y)2 xi8 ai.Error!消去 x，整理，得 4(y1) 236 a2， y0，4( y1) 20.36 a20.6 a6.又 2x a，而 x0， a0.6 a0.所以 a 的取值范围为6,0)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z x yi(x， yR)，依据是复数相等的充要条件5已知复数 z(1i) 213i.(1)求| z|；(2)若 z2 az b ，求实数 a， b 的值z解： z(1i) 213i2i13i1i.(1)|z|
7、 .12 12 2(2)z2 az b(1i) 2 a(1i) b2i a ai b a b( a2)i， 1i，z a b( a2)i1i，Error! a3， b4.复数的几何意义例 4 已知 z 是复数， z2i， 均为实数(i 为虚数单位)，且复数( z ai)2在复z2 i平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解 设 z x yi(x， yR)，则 z2i x( y2)i， (x yi)(2i)z2 i x yi2 i 155 (2x y) (2y x)i.15 15由题意知Error!Error! z42i.( z ai)24( a2)i 2(124 a a2)8( a2
8、)i，由已知得Error!2 a6.实数 a 的取值范围是(2,6)复数 z a bi(a， bR)和复平面上的点 P(a， b)一一对应，和向量 一一对应，正OP 确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键6设 O 为坐标原点，已知向量 ， 分别对应复数 z1， z2，且OZ1 OZ2 z1 (10 a2)i， z2 (2 a5)i， aR，若 1 z2可以与任意实数比较大小，3a 5 21 a z求 的值OZ1 OZ2 解： 1 (10 a2)i，z3a 5则 1 z2 ( a210)(2 a5)i 的虚部为 0，z3a 5 21 a a22 a150.解得 a5 或 a3.又 a50， a3.则 z1 i， z21i.38 ， (1,1)，OZ1 (38， 1) OZ2 .OZ1 OZ2 586
