1、- 1 -吉林省高中 2019 届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为 ，利用交集的运算，即可求解。【详解】因为 ，所以 .【点睛】本题考查集合的交集，其中解答中熟记集合交集的运算是解答的关键，考查运算求解能力.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。【详解】由题意，根据复数的运算 ，故选 A。【点睛】本题考查复数的四则
2、运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.3.八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“ ”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式（如图所示）.从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。【详解】由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为 ，故选 C。【点睛】
3、本题考查中国传统文化与古典概型，其中正确理解题意，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查读图能力和应用意识.4.设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 （ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和性质，化简即可求解数列的公比，得到答案。【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得的 ， ， ，故选 D。【点睛】本题考查等比数列通项公式和前 n 项和的应用，其中熟记等比数列的通项公式和前n 项和，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.双曲线 的左焦点为 ，且 的离心率为 ，则 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】【分析】- 3 -根据双曲线的几何性质，以及 ，求得 的值，即可得到答案。【详解】由题意，可得 ，又由 ， ，又 ，故 的方程为 ，故选 C。【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.6.某公司在十周年庆典中有一个抽奖活动，主持人将公司 450 名员工随机编号为001，002，003， ，450，采用系统抽样的方法从中抽取 50 名幸运员工.已知抽取的幸运员工中有一个编号为 025，那么以下编号中不是幸运员工编号的是（ ）A. 007 B. 106 C. 356 D. 448【答案】C【解析
5、】【分析】由题意，根据系统抽样，求得抽样间距为 ，列出方程，即可作出判定，得到答案。【详解】由题意，根据系统抽样，可得抽样间距为 ，又由 无正整数解，故选 .【点睛】本题考查系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查推理论证能力与数据处理能力.7.函数 的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。- 4 -【详解】由题意，因为 ， 不是偶函数，从而排除 ， .又由 （或方程 无解） ，从而排除 ，故选 .【点睛】本题考查函数的图像的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶
6、性和特殊点的函数值，利用排除法求解是解答的关键，着重考查推理论证能力以及数形结合的数学思想.8.设 为等差数列 的前 项和，若 , ，则公差 （ ）A. -5 B. -4 C. -3 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和，合理化简，即可求解，得到答案。【详解】由题意，因为 ， ， ， ，解得 ，故选 A。【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式的应用，其中解答中合理利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查运算求解能力.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
7、由三视图可知，该几何体的直观图，根据公式运算，即可求解。【详解】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，所以其表面积为 ，故选 B。- 5 -【点睛】本题考查三视图，及组合体的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的三视图得到几何体的直观图，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查空间想象能力与运算求解能力.10.已知曲线 在区间 内存在垂直于 轴的切线，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意，可得 ，即 在区间 内有解，设 ，利用函数的单调性，求得最值，即可求解。【详解】依题意，可得 ，即 在区间 内有解.设 ，由题意函数 为增函数，且所以 ，故选 D。
8、【点睛】本题考查导数在函数中的应用，其中解答中转化为 在区间 内有解，令，利用函数 的单调性求解是解答的关键，着重考查函数与方程及化归与转化的数学思想.11.若函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，化简得 ，由 ，得 ，利用 ，即可求解。【详解】由题意，化简得 ， ， ，- 6 -又由 ，即 ，故选 B。【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的图像，其中接种熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质合理应用是解答的关键，着重考查运算求解能力与数形结合的数学思想.12.椭圆 上一点 到两焦点的距离之和为 .若以 为圆心
9、的圆经过点 ，则圆 与 的四个交点围成的四边形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意，求得椭圆 的方程为 ，又圆 的方程与椭圆联立，解得 或 ，即可求解四个点的坐标，进而求解四边形的面积，得到答案。【详解】依题意，可得 ，则 ，又 ，即 ，则 ，故 的方程为 .又圆 的方程为 ，与 联立，得 ，从而 或 ，则这四个点的坐标分别为 ， ， ， ，故所求四边形的面积为 ，故选 D。【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，其中解答中利用椭圆的方程和圆的方程联立，求得四个点的坐标是解答本题的关键，着重考查抽象概括能力与运算求解能力，属于中档试题.二、填空题（每题 5 分，满
10、分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，则 _- 7 -【答案】 (或 )【解析】【分析】由题意，利用向量的夹角公式，得 ，进而求解向量的夹角，得到答案。【详解】由题意，利用向量的夹角公式，得 ，又由 ， .【点睛】本题考查平面向量的夹角，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力.14.设 、 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】8【解析】【分析】由题意，作出约束条件的可行域，由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值，即可求解。【详解】由题意，作出约束条件的可行域，如图所示，由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值，又由
11、 ，解得 ，所以目标函数的最大值为 。【点睛】本题考查线性规划求目标函数的最大值问题，其中解答中准确作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得出最优解是解答的关键，着重- 8 -考查数形结合的数学思想，以及推理与运算能力.15.设 ， ，则 _（结果用 ， 表示） 【答案】【解析】【分析】由题意，根据对数的运算性质，准确化简，即可得到答案。【详解】依题意，由 ，即 ，可得 ，则 .【点睛】本题考查对数的运算性质的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理、准确运算是解答的挂念，着重考查运算求解能力.16.正三棱锥 的每个顶点都在半径为 2 的球 的球面上， ,则三棱锥 的体积为_【答案】 或【解析
12、】【分析】由题意正 的中心为 ，则 ，在 中，由勾股定理，可得 ，分类讨论，即可求解三棱锥的体积。【详解】设正 的中心为 ，则 ，在 中，由勾股定理，可得 ，当球心 在三棱锥内部时，三棱锥 的高 ，所以 .当球心 在三棱锥的外部时， ，所以 .【点睛】本题考查球体与三棱锥的体积计算，其中解答中合理利用球的性质 和三棱锥的体积公式，分类讨论求解是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，- 9 -每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：
13、60 分17. 的内角 的对边分别为 ， , .（1）求 ；（2）若 的面积为 ，求 的周长.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，化简得 ，在由余弦定理，即可求解。.（2）由（1） ，求得 ，利用三角形的面积公式，可得 ，进而得到三角形的周长。【详解】 （1） ， ，则 ，由余弦定理，可得 .（2） ， ，则 的面积 ，解得 ，从而 的周长为 .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题。18.某脐橙种植基地记
14、录了 10 棵脐橙树在未使用新技术的年产量（单位： ）和使用了新技术后的年产量的数据变化，得到表格如下：未使用新技术的 10 棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量30 32 30 40 40 35 36 45 42 30- 10 -使用了新技术后的 10 棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量40 40 35 50 55 45 42 50 51 42已知该基地共有 20 亩地，每亩地有 50 棵脐橙树.（1）估计该基地使用了新技术后，平均 1 棵脐橙树的产量；（2）估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比
15、未使用新技术将增产多少？（3）由于受市场影响，导致使用新技术后脐橙的售价由原来（未使用新技术时）的每千克10 元降为每千克 9 元，试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.【答案】 （1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式，得使用了新技术后的 10 棵脐橙树的年产量的平均值，即可作出结论；（2）求得未使用新技术的 10 棵脐橙树的年产量的平均值，比较即可得出基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产量.（3）分别求得未使用新技术时的脐橙销售总收入和使用了新技术后的脐橙销售总收入，即可得到答案。【详解】 （1）使用了新技术后的 10 棵脐橙树的年
16、产量的平均值为，故可估计该基地使用了新技术后，平均 1 棵脐橙树的产量为 .（2）未使用新技术的 10 棵脐橙树的年产量的平均值为，故估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产.- 11 -（3）未使用新技术时的脐橙销售总收入为 ，使用了新技术后的脐橙销售总收入为 ，故估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数为 .【点睛】本题主要考查了用平均数估计总体的实际应用问题，其中解答中熟记平均数的计算公式，准确计算，合理比较、估计是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理运算能力，属于基础题。19.如图，在长方体 中， 分别为棱 ， ， 的中点， .（1）证
17、明： 平面 .（2）若直线 与底面 所成角为 ，且四边形 为菱形，求长方体的体积.【答案】 （1） 见解析（2）【解析】【分析】（1）连接 ，证得所以 ，利用线面平行的判定定理，即可作出证明。（2）依题意，设 ，则 ，则 ，求得 ，即可利用体积公式，求解长方体 的体积。【详解】 （1）证明：连接 ，因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .- 12 -（2）依题意可得，直线 与底面 所成角为 .设 ，则 ，则 .因为四边形 为菱形，所以 ，即 ， ，从而 ，故长方体 的体积 .【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及长方体的应用，其中解答中熟记
18、线面平行的判定定理，合理利用几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及空间想象能力。20.在直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点.（1）证明： 为定值.（2）若点 的坐标为 ，且 ，证明： .【答案】 （1） 定值 2 （2）见解析【解析】【分析】（1）设 ， ，联立方程组，利用根与系数的关系，代入即可作出证明；（2）设线段 的中点为 ，由 ，得 ，列出方程，求得 的方程，设，利用函数的单调性和最值，即可求解。【详解】 （1）证明：设 ， ，由 得 ，则 ，从而 为定值.- 13 -（2）证明：设线段 的中点为 ， ， ， . ， ，则 ，即 .设 ，则 是增函数
19、， ，且 ， ，故 .【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的应用，其中解答中由直线方程与圆锥曲线方程联立，合理利用方程的根和系数之间的关系和题设条件，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用。21.已知函数 .（1）当 时，求 的单调区间.（2）试问：是否存在实数 ，使得 对 恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）存在实数 ，使得 对 恒成立【解析】【分析】（1）当 时，得 ，求得 ，进而求解函数的单调区间；（2）假设存在实数 ，使得 对 恒成立，利用导数求得函数的单调性和最值，
20、分类讨论，即可求解。【详解】 （1）当 时， ， ，当 时， ；- 14 -当 时， .故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2） ， .假设存在实数 ，使得 对 恒成立.当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递减，从而 ，又 ，则 .当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递增，从而 ，又 ，所以 .当 时，令 ，得 ，若 ， ；若 ， .从而 ，则 .令 ，则 ，易知 在 上单调递增，则 ，从而 不可能成立.综上，存在实数 ，使得 对 恒成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的
21、几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .- 15 -（1）求曲线 ， 的直角坐标方程；（2）判断曲线 ， 是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不想交，请说明理由【答案】 （1） ； （2）【解析】【分析】
22、（1）由题意，消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线 的直角坐标方程；（2）由（1） ，将 代入曲线 ，求得 ， ，在由曲线 ， 两交点间的距离公式，即可求解。【详解】 （1）将 ，消去参数，得曲线 的直角坐标方程为 ，将 展开整理，得 ，因为 ， ，所以曲线 的直角坐标方程为 .（2）由（1）知曲线 是过定点 的直线，因为点 在曲线 的内部，所以曲线 与曲线 相交.将 代入 并整理，得 ，设曲线 ， 的两交点为 ， ，则 ， ，故曲线 ， 两交点间的距离 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及弦长公式的应用，其中解
23、答中熟记互化公式，合理消去参数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。23.已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）设 ， ，且 的最小值为 .若 ，求 的最小值.- 16 -【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）当 时， ，原不等式可化为 ，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得， 的最小值为 ，所以 ，由 ，得 ，利用基本不等式即可求解其最小值。【详解】 （1）当 时， ，原不等式可化为 ，当 时，不等式 可化为 ，解得 ，此时 ；当 时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ；当 时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ，综上，原不等式的解集为 .（2）由题意得， ，因为 的最小值为 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时， 的最小值为 .【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向- 17 -
