1、- 1 -2017-2018 学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.若直线过点（1，2） ， （2，2+ ） ，则此直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用斜率公式计算出斜率，又由 ,可求出倾斜角【详解】 直线过点直线的斜率则直线的倾斜角 满足，故选【点睛】本题给出两点的坐标，求经过两点直线的倾斜角着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念，属于基础题2.已知两条直线 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 及两条直线方程 ， 可得 ，解此方程可得 。详解：因为所以 ，即 解得
2、 故选 D。点睛：两直线 ，若 ，则 。本题考查两直线之间的位置关系及学生的运算能力。- 2 -3.若 a、 b 表示直线， 表示平面，下列命题中正确的个数为（ ） a， b a b； a， a bb； a， a bbA. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用空间内线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系逐一分析三个选项即可求解【详解】 ，则 与 相交垂直或者异面垂直，故 ,故正确 ，则 或 ，故错误 ， 则 与 相交，平行或者 ，故错误综上，则正确的个数为 1故选【点睛】本题主要考查命题真假的判断，解题时要认真审题，运用所学知识来判断，属于基础题4.在空间直角坐标系
3、中，点 B 是 A（1，2，3）在 xOz 坐标平面内的射影， O 为坐标原点，则|OB|等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出点 在 xOz 坐标平面内的射影为 ，由此求得答案【详解】 点 B 是 A（1，2，3）在 xOz 坐标平面内的射影，可得点 又 O 为坐标原点，,故选【点睛】本题主要考查了空间两点之间的距离，考查空间直角坐标系等基础知识，属于基础题- 3 -5.两圆 x2+y2-1=0 和 x2+y2-4x+2y-4=0 的位置关系是（ ）A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离【答案】B【解析】【分析】由知两圆的方程，先求出圆心坐标及半径，进而求
4、出圆心距 ，比较 与 及的大小，即可得到两个圆之间的位置关系【详解】圆 表示以 点为圆心，以 为半径的圆圆 表示以 点为圆心，以 为半径的圆，则则圆 与圆 相交故选【点睛】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，建立圆心距与半径之和以及半径之差之间的数量关系，即可得到圆与圆的位置关系，较为基础6.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C- 4 -【解析】试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为 的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为 的直角三角形故选 C考点：空间几何体的三视图、直观图【此处有视频，请去附件查
5、看】7.已知圆 C： ，则过点 P(1,2)的最短弦所在直线 l 的方程是( )A. B. C. D. .【答案】D【解析】【分析】由题可知，当直线 l 与直线 垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线 l 的方程.【详解】由题可知，当直线 l 与直线 垂直时，所截得弦长最短，P(1,2)，圆 C： x2 y24 x50，标准方程为 ， ；由点斜式得直线 l 方程为： ，即 .故选 D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.8.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 BAC=90
6、， AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】延长 到 ，使得 ，根据异面直线所成角的定义可知 就是异面直线 与所成的角，而三角形 为等边三角形，可求得此角【详解】延长 到 ，使得 ，则 为平行四边形就是异面直线 与 所成的角又则三角形 为等边三角形，故选【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，要先构造出异面直线所成的角，然后解三角形，属于基础题9.从直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设直线 上的点为 ，已知圆的圆心和半径分别为 ，则切线长为，故当 时，
7、，应选答案 B。点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次- 6 -函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解。本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想。10.如图，等边三角形 的中线 与中位线 相交于 ，已知 是 绕 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A. 恒有 B. 异面直线 与 不可能垂直C. 恒有平面 平面D. 动点 在平面 上的射影在线段 上【答案】B【解析】对 A 来说，DE平面 ， ；对 B 来说，E、F 为线段 AC、BC 的中点，EFAB，AEF 就是异面直线 AE 与 BD所成的角，当（AE） 2+EF2=
8、（AF） 2时，直线 AE 与 BD 垂直，故 B 不正确；对 C 来说，因为 DE平面 ，DE 平面 ，平面 平面 ，故 C 正确； 对 D 来说，AD=AE，DEAG，ABC 是正三角形，DEAG，又AGAG=G，DE平面 AGF，从而平面 ABC平面 AAF，且两平面的交线为 AF，A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上，正确；故选：B11.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ，若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的
9、 等于（ ）- 7 -A. 21 B. 22 C. 23 D. 24【答案】C【解析】从 21 开始，输出的数是除以 3 余 2，除以 5 余 3，满足条件的是 23，故选 C.12.四棱锥 P-ABCD 中， AD面 PAB， BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4， BC=8， AB=6， APD= CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 球的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点 的坐标，根据条件设出点 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论【详解】
10、在平面 PAB 内，以 所在直线为 x 轴， 的中垂线为 轴,建立平面直角坐标系设点 P（x，y） ，则由题意可得 A（-3，0） ，B（3，0）则，即 ，则有整理可得 ，表示一个圆- 8 -由于点 P 不能在直线 AB 上（否则，不能构成四棱锥） ，故点 P 的轨迹是圆的一部分故选【点睛】本题考查点轨迹方程的求法，以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.如图， O A B是水平放置的 OAB 的直观图， O A=3， O B=4，则 AOB 的面积是_【答案
11、】【解析】【分析】根据平面图形的斜二测画法，得出 为直角三角形，求出两直角边，计算三角形的面积【详解】根据平面图形的斜二测画法知，原OAB 为直角三角形，且两直角边分别为 ，的面积为 故答案为：12【点睛】本题主要考查了三角形的斜二测画法与应用问题，属于基础题14.在三棱锥 A-BCD 中， AB AC， AB AD， AC AD，若 AB=3， AC=4， AD=5，则三棱锥 A-BCD的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由题意 ，将三棱锥 中放到长方体中，可得长宽高分别为3、4、5 的长方体的外接球，即可求解球的半径，可得表面积【详解】由题意 将三棱锥 中放到长方体中，可得长宽-
12、9 -高分别为 3、4、5 的长方体的外接球；所以外接球的半径 R 满足： 所以三棱锥 的外接球的表面积故答案为：【点睛】本题主要考查了球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养15.已知矩形 ABCD 中 AB=3， BC=a，若 PA平面 AC，在 BC 边上取点 E，使 PE DE，则满足条件的 E 点有两个时， a 的取值范围是_【答案】 【解析】PA平面 AC，PADE又PEDE，PAPE=PDE平面 PAEDEAE即 E 点为以 AD 为直径的圆与 BC 的交点AB=3，BC=a，满足条件的 E 点有 2 个故答案为：16.定义在 R 上的奇函数 f（ x
13、） ，当 x0 时， f（ x）= ，则关于 x 的函数 F（ x）= f（ x）- 的所有零点之和为_【答案】【解析】【分析】- 10 -根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数 在 上的图象和 的图象，利用数形结合的方法求解即可【详解】当 x0 时，f（x）= ；即 x 时，f（x）=x1，3时，f（x）=x-2-1，1；x（3，+）时，f（x）=4-x（-，-1）画出 x0 时 f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出 x0 时 f（x）的图象，如图所示；则直线 ，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x）- =0 共五个实根，最左边两根之和为-6，最右边两根之和为 6
14、，x（-1，0）时，-x（0，1） ，f（-x）=又 f（-x）=-f（x） ，f（x）=- =中间的一个根满足即 1-x= ，解得 x=1- ，所有根的和为故答案为：【点睛】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）- 11 -17.已知直线 l 经过点 P（2，5） ，且斜率为（1）求直线 l 的方程；（2）求与直线 l 切于点（2，2） ，圆心在直线 上的圆的方程.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据点斜式方程 ,即可求出直线方程；（2）先求圆心，利用过点 与直线
15、 垂直的直线必过圆心，圆心在直线 上，求出圆心，然后圆心与点 的距离等于半径，即可得到圆的方程.解：（1）由直线方程的点斜式，得 整理，得所求直线方程为4 分（2）过点（2，2）与 l 垂直的直线方程为 ， 6 分由 得圆心为（5，6） ， 8 分半径 ， 10 分故所求圆的方程为 12 分考点：1.直线方程；2.圆的方程18.已知坐标平面上点 与两个定点 ， 的距离之比等于 5.（1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为 ，过点 的直线 被 所截得的线段的长为 8，求直线 的方程.【答案】 （1） （2） ，或 【解析】【试题分析】 （1）运用两点间距离公式建立方
16、程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程- 12 -分析求解：(1)由题意，得 化简，得 即 点 的轨迹方程是轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆(2)当直线 的斜率不存在时， ，此时所截得的线段的长为 ，符合题意当直线 的斜率存在时，设 的方程为，即 ，圆心到 的距离 ，由题意，得 ，解得 直线 的方程为 即 .综上，直线 的方程为，或 .点睛：轨迹方程的探求是高中数学中重要的题型之一，本题中的第一问是典型的到两定点距离之比为定值的点的轨迹的探求。求解时直接运用两点间距离公式建立方程，然后再两边平方进行化简，从而获得答
17、案；第二问也是传统的直线与圆相交的问题题型。求解时先运用点斜式建立直线的方程，然后运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程使得问题获解。- 13 -19.如图所示， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO底面 ABCD，底面边长为 a， E 是 PC的中点（）求证： PA平面 BDE；（）平面 PAC平面 BDE；（）若二面角 E-BD-C 为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积【答案】 （I）详见解析；（II）详见解析；（III） .【解析】【分析】（）连接 ，证明 然后证明 平面（）证明 ， ，推出 平面 ，然后证明平面 平面（）取 中点 ，
18、连接 ，说明 为二面角 的平面角，求出 ， ，然后求解几何体的体积【详解】解：（）证明：连接 OE，如图所示 O、 E 分别为 AC、 PC 中点， OE PA OE 面 BDE， PA 平面 BDE， PA平面 BDE（）证明： PO平面 ABCD， PO BD在正方形 ABCD 中， BD AC，又 PO AC=O， BD平面 PAC又 BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE（）取 OC 中点 F，连接 EF E 为 PC 中点， EF 为 POC 的中位线， EF PO- 14 -又 PO平面 ABCD， EF平面 ABCD， OF BD， OE BD EOF 为二面角 E-BD-C
19、 的平面角， EOF=30在 Rt OEF 中，OF= OC= AC= a， EF=OFtan30= a， OP=2EF= a VP-ABCD= a2 a= a3【点睛】本题考查平面与平面垂直，直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力，熟练运用各知识点来解题是关键20.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中（I）求证：AC BD1；（）是否存在直线与直线 AA1， CC1， BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由） ；若不存在，请说明理由【答案】 （I）详见解析；（II）存在，图形见解析.【解析】【分析】（）连结 ，推导出 ，
20、，由此能证明（）作出满足条件的直线一定在平面 中，且过 的中点并与直线 ， 相交【详解】 （）证明：如图，连结 BD- 15 -正方体 ABCD-A1B1C1D1， D1D平面 ABCD AC平面 ABCD， D1D AC四边形 ABCD 是正方形， AC BD BD D1D=D， AC平面 BDD1 BD1平面 BDD1， AC BD1（）存在答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面 ACC1A1中，且过 BD1的中点并与直线 A1A， C1C 相交【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的直线的作法，是中档题，解题时要认真题、注意空间思维能力的培养21.平面直角坐标系中，在 x 轴的上
21、方作半径为 1 的圆 ，与 x 轴相切于坐标原点 O平行于 x 轴的直线 l1与 y 轴交点的纵坐标为-1， A（ x， y）是圆 外一动点， A 与圆 上的点的最小距离比 A 到 l1的距离小 1（）求动点 A 的轨迹方程；（）设 l2是圆 平行于 x 轴的切线，试探究在 y 轴上是否存在一定点 B，使得以 AB 为直径的圆截直线 l2所得的弦长不变- 16 -【答案】 （I） ；（II）存在 满足题意.【解析】【分析】（）由题意，圆 上距 距离最小的点在 上，于是依题意知 的长度等于 到 的距离，即可求解；（）假设存在这样的点 ，设其坐标为 ，以 为直径的圆的圆心为 ，过 作 的垂线，垂足
22、为 ，则 点坐标为 ，于是 ， ，根据弦长公式建立关系，待定系数法，即可求解 的值，可得其坐标【详解】解：（）设圆 的圆心为 O1，显然圆 上距 A 距离最小的点在 AO1上，于是依题意知 AO1的长度等于 A 到 l1的距离显然 A 不能在 l1的下方，若不然 A 到 l1的距离小于 AO1的长度，故有 ，即 y= x2（ x0） （）若存在这样的点 B，设其坐标为（0， t） ，以 AB 为直径的圆的圆心为 C，过 C 作 l2的垂线，垂足为 D则 C 点坐标为（ ） ，于是 CD= ，- 17 -AB=设所截弦长为 l，则 = CD2=于是 l2=（12-4 t） y+8t-16，弦长不
23、变即 l 不随 y 的变化而变化，故 12-4t=0，即 t=3即存在点 B（0，3） ，满足以 AB 为直径的圆截直线 l2所得的弦长不变【点睛】本题考查了轨迹方程的求法和待定系数法的应用，是中档题，解题时需要设点坐标，表示出弦长，需要掌握解题方法22.已知函数 f（ x）=log 2（ x+a） （）当 a=1 时，若 f（ x）+ f（ x-1）0 成立，求 x 的取值范围；（）若定义在 R 上奇函数 g（ x）满足 g（ x+2）=- g（ x） ，且当 0 x1 时， g（ x）= f（ x） ，求 g（ x）在-3，-1上的解析式，并写出 g（ x）在-3，3上的单调区间（不必证明
24、） ；（）对于（）中的 g（ x） ，若关于 x 的不等式 g（ ） g（- ）在 R 上恒成立，求实数 t 的取值范围【答案】 （I） ；（II）见解析；（III） .【解析】【分析】（）当 时， 可化为 ，解不等式组可得答案（II）根据已知可得 ，在结合条件求得 的解析式，进而分析出 在 上的单调区间（III）关于 的不等式 在 上恒成立，即 ，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案【详解】解：（）当 a=1 时， f（ x）=log 2（ x+1） - 18 - f（ x-1）=log 2x， f（ x）+ f（ x-1）=log 2（ x+1）+log 2x=log2x（ x+1），若 f
25、（ x）+ f（ x-1）0，则 ，解得： x（ ，+） ，即 x 的取值范围为（ ，+） ；（）函数 g（ x）是定义在 R 上奇函数，故 g（0）=0，又当 0 x1 时， g（ x）= f（ x）=log 2（ x+a） 故 a=1，当 x-2，-1时， x+20，1， g（ x）=- g（ x+2）=-log 2（ x+3） 当 x-3，-2时， x+2-1，0，-（ x+2）0，1， g（ x）=- g（ x+2）= g-（ x+2）=log 2-（ x+2）+1=log 2（- x-1） 故 g（ x）= ，g（ x）在-3，-1和1，3上递减，在-1，1上递增；（ III）记 u= =- + ，当 t+10 时， u（- ，- + ）=（- ， ） ，由 g（ ） g（- ）在 R 上恒成立可得：（- ， ） ， ，解得： t-1，20当 t+10 时， u（- + ，- ）=（ ，- ） ，由 g（ ） g（- ）在 R 上恒成立可得：（ ，- ） . ，解得： t-4，-1） 综上所述实数 t 的取值范围为-4，20【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，对数不等式的解法，求函数的解析式，- 19 -恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大，属于难题
