1、1第三章 三角函数、解三角形第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位置所成01 的图形(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S | k360， kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于 半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角正角的弧度数是一01 个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)公式23任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么sin y，cos x，tan .01 02 03
2、 yx(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段 MP， OM， AT 分别叫做角 的 正弦线、 余弦线和 正切线04 05 06 1概念辨析(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( )(2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( )3(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)借助三角函数线可知，若 为第一象限角，则 sin cos 1.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( )94A.2k45( kZ) B k3
3、60 (kZ)94C k360315( kZ) D k (kZ)54答案 C解析 角度制与弧度制不能混用，排除 A，B；因为 2 ，所以与 终边相94 4 94同的角可表示为 k36045( kZ)或 k360315等，故选 C.(2)若角 同时满足 sin 0， L2 r 单调递增，8r所以当 r2 时，扇形的周长 L 取得最小值，此时扇形的圆心角 2.8r2 84应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在
4、的三角形.1.扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100，则该扇形的面积为_ cm 2.答案 360解析 由弧长公式 l| |r，得 r ，20100180 36 S 扇形 lr 20 .12 12 36 3602.如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的 倍，则该弧所对的圆心32角是原来的_倍答案 3解析 设这个扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 ，变化后半径为 r，弧长为l，圆心角为 ，则 3 ，所以该弧所对的圆心角是原来的 3 倍.lr32l12r题型 任意角三角函数的定义及应用三角度 1 利用三角函数的定义求值1.(2018济南二模)已知角 的终边经过点( m，2 m)，其
5、中 m0，则sin cos 等于( )A. B C D55 55 35 35答案 B解析 角 的终边经过点( m，2 m)，其中 m0，则当 m0 时，8x m， y2 m， r |m| m，sin ，cos ，sin 5 5yr 2m5m 255 xr m5m 55cos .当 m0，cos30，所以 sin2cos3tan40，则角 是( )tansinA.第一象限角 B第二象限角C.第三象限角 D第四象限角答案 D解析 由 0，得 0，cos 0，又 sin cos 0，所以 sin 0，所以tansin 1cos 为第四象限角，选 D.2.满足 cos 的角 的集合为_12答案 |2k 23 2k 43， k Z解析 由三角函数线画出满足条件的 x 的终边范围(如图阴影所示)所以 .|2k 23 2k 43， k Z3.已知角 的终边经过点 P( x，6)，且 cos ，则 x_.513答案 52解析 r| OP| ，因为 cos ，所以 x 2 6 2 x2 36513 ，显然 x0，解得 x . xx2 36 513 5210
