1、1第 3讲 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x， x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)， ，(，0)，(2， 1)，(2，0)(32， 1)余弦函数 ycos x， x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)， ，(，1)，(2， 0)，(2，1)(32， 0)2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质21概念辨析3(1)ytan x在整个定义域上是增函数( )(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期( )(3)由 sin sin 知， 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( )(6 23) 6 23(4)三角函数中
2、奇函数一般可化为 y Asinx 或 y Atanx 的形式，偶函数一般可化为 y Acosx b的形式( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)(2017全国卷)函数 f(x)sin 的最小正周期为( )(2x3)A4 B2 C D.2答案 C解析 函数 f(x)sin 的最小正周期 T .故选 C.(2x3) 22(2)函数 y12cos x的单调递减区间是_答案 2 k，2 k( kZ)解析 y12cos x的单调递减区间就是 ycos x的单调递增区间，即2k，2 k( kZ)(3)函数 y32sin 的最大值为_，此时 x_.(x4)答案 5 2 k( kZ)54解析
3、 函数 y32sin 的最大值为 325，此时 x 2 k，即 x(x4) 4 322 k( kZ)54(4)cos23，sin68，cos97从小到大的顺序是_答案 cos970，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则 的取值范围是( x4) (2， )( )A. B.12， 54 12， 34C. D(0,2(0，12答案 A解析 由 0)的周期为，函数 y Atan(x )( 0)的周期为 求解2 2函数具有奇偶性的充要条件函数 y Asin(x )(xR)是奇函数 k( kZ) ；函数 y Asin(x )(xR)是偶函数 k (kZ)；2函数 y Acos(x )(xR)是奇函数
4、k (kZ)；2函数 y Acos(x )(xR)是偶函数 k( kZ) 3与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数 y Asin(x )，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断 x x0或点( x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断.1关于函数 ytan ，下列说法正确的是( )(2x3)A是奇函数B在区间 上单调递减(0，3)C. 为其图象的一个对称中心(6， 0)D最小正周期为 答案 C解析 ytan 是非奇非偶函数，A 错误； ytan 在区间 上单(2x3) (2x 3) (0， 3)调递增，B 错误
5、；由 2x 得 x (kZ)，得函数 ytan 的对称中3 k2 k4 6 (2x 3)11心为 ， kZ，故 C正确；函数 ytan 的最小正周期为 ，D 错误(k4 6， 0) (2x 3) 22(2016浙江高考)函数 ysin x2的图象是( )答案 D解析 由 ysin x2为偶函数，其图象关于 y轴对称，可以排除 A，C；当 x 时，2ysin 2sin 1，排除 B，故选 D.(2) 243(2018江苏高考)函数 f(x)满足 f(x4) f(x)(xR)，且在区间(2,2上， f(x)Error!则 ff(15)的值为_答案 22解析 因为 f(x4) f(x)，函数的周期为
6、 4，所以 f(15) f(1)， f(1) ，| 112| 12所以 ff(15) f cos .(12) 4 22高频考点 三角函数的图象与性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分典例 1 (2017全国卷)设函数 f(x)cos ，则下列结论错误的是(x3)( )A f(x)的一个周期为2B y f(x)的图象关于直线 x 对称8312C f(x)的一个零点为 x6D f(x)在 上单调递减(2， )答案 D解析 因为 f(x)cos 的周期为 2k(
7、 kZ)，所以 f(x)的一个周期为(x3)2，A 项正确因为 f(x)cos 的图象的对称轴为直线 x k (kZ)，所(x3) 3以 y f(x)的图象关于直线 x 对称，B 项正确 f(x)cos .令83 (x 43)x k (kZ)，得 x k ，当 k1 时， x ，所以 f(x)的一个零点43 2 56 6为 x ，C 项正确因为 f(x)cos 的递减区间为 (kZ)，6 (x 3) 2k 3， 2k 23递增区间为 (kZ)，所以 是减区间， 是增区间，2k 23， 2k 53 (2， 23) 23， )D项错误故选 D.典例 2 (2018北京高考)设函数 f(x)cos
8、( 0)若 f(x) f 对任( x6) (4)意的实数 x都成立，则 的最小值为_答案 23解析 结合余弦函数的图象得 2 k， kZ，解得 8 k ， kZ.又4 6 23 0，当 k0 时， 取得最小值，最小值为 .23方法指导 函数 y Asin(x )(A0， 0)的性质(1)奇偶性： k( kZ)时，函数 y Asin(x )为奇函数； k (kZ)时，2函数 y Asin(x )为偶函数(原理：诱导公式、 y Asinx 为奇函数、y Acosx b为偶函数)(2)周期性： y Asin(x )存在周期性，其最小正周期为 T .2(3)单调性：根据 ysin t和 t x 的单调性来研究，由 2 k x 22 k， kZ 得单调递增区间；由 2 k x 2 k， kZ 得单调递减区2 2 32间(原理：复合函数同增异减)(4)对称性：利用 ysin x的对称中心为( k，0)( kZ)求解，令 x k( kZ)，求得 x.利用 ysin x的对称轴为 x k (kZ)求解，令 x k (kZ)，2 2求得其对称轴(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)13注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出 y Acos(x )、y Atan(x )的相关性质.
