1、1第 5讲 简单的三角恒等变换第 1课时 两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C( )：cos( ) cos cos sin sin .01 (2)S( )：sin( ) sin cos cos sin .02 (3)T( )：tan( ) 03 tan tan1tan tan.( ， ， 2 k ， k Z)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2 ：sin2 2sin cos .01 (2)C2 ：cos2 cos2 sin 2 2cos2 1 12sin 2 .02 03 04 (3)T2 ：tan2 05 2tan1 tan2.( 4 k ， 且 k 2，
2、k Z)3.公式的常用变形(1)tan tan tan( )(1tan tan )01 (2)cos2 ，02 1 cos22sin2 .03 1 cos22(3)1sin2 (sin cos )2，sin cos sin .2 ( 4)(4)asin bcos sin( )，其中 cos ，sin 04 a2 b2 aa2 b22，tan (a0)ba2 b2 ba1.概念辨析(1)公式 C( )，S ( )，S 2 ，C 2 中的角 ， 是任意的( )(2)存在实数 ， ，使等式 sin( )sin sin 成立( )(3)在锐角 ABC中，sin AsinB和 cosAcosB大小关系不
3、确定( )(4)公式 tan( ) 可以变形为 tan tan tan( )tan tan1 tan tan(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立( )(5)对任意角 都有 1sin 2.( )3 (sin6 cos6)答案 (1) (2) (3) (4) (5)2.小题热身(1)若 cos ， 是第三象限的角，则 sin ( )45 ( 4)A. B. C D.210 210 7210 7210答案 C解析 因为 cos ， 是第三象限的角，45所以 sin ，1 cos235所以 sin sin cos cos sin( 4) 4 4 .(35) 22 ( 45) 22 7210(
4、2)计算：cos( )cos sin( )sin ( )A.sin( 2 ) Bsin C.cos( 2 ) Dcos 答案 D解析 cos( )cos sin( )sin cos( ) cos .(3)已知 cosx ，则 cos2x( )34A. B. C D.14 14 18 18答案 D解析 cos2 x2cos 2x12 21 .(34) 18(4)在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于 y轴对3称若 tan ，则 tan( )的值为( )35A.0 B. C. D.3034 916 158答案 D解析 由角 与角 的始边相同，终边关于 y轴对称可知
5、tan tan .又tan ，所以 tan ，35 35所以 tan( ) ，故选 D.tan tan1 tan tan35 ( 35)1 35( 35) 158题型 两角和、差及倍角公式的直接应用一1.已知角 与角 均以 x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于 y轴对称，且角 的终边与单位圆交于点 P ，则 sin( ) _.(223， 13)答案 429解析 因为角 的终边与单位圆交于点 P ，(223， 13)所以 sin ，cos .13 223因为角 与角 的终边关于 y轴对称，所以角 的终边与单位圆交于点 Q ，(223， 13)所以 sin ，cos ，13 223所以 sin(
6、)sin cos cos sin .13 ( 223) 223 13 4292.(2018全国卷)已知 tan ，则 tan _.( 54) 15答案 32解析 tan ，( 54)tan tan541 tan tan54 tan 11 tan 154解方程得 tan .323.已知 ，sin ，则 cos 的值为_(2， ) 55 (56 2 )答案 4 3310解析 因为 ，sin .(2， ) 55所以 cos .1 sin2255所以 sin2 2sin cos ，45cos2 cos 2 sin 2 ，35所以 cos cos cos2 sin sin2(56 2 ) 56 56 .
7、32 35 12 ( 45) 4 3310应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反” (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018石家庄质检)若 sin( ) ，且 ，则 sin2 的值为( )13 2A. B C. D.429 229 229 429答案 A解析 sin( ) ，sin ，又 ，13 13 2cos ，1 sin2223sin2 2sin cos 2 .13 ( 223)
8、42952.(2018上饶三模)由射线 y x(x0)按逆时针方向旋转到射线 y x(x0)的43 512位置所成的角为 ，则 cos ( )A. B C D1665 1665 5665 5665答案 A解析 设 y x(x0)的倾斜角为 ，则 sin ，cos ，射线 y x(x0)的43 45 35 512倾斜角为 ，sin ，cos ，cos cos( )513 1213cos cos sin sin .35 ( 1213) 45 513 16653.若 sin( ) ，sin( ) ，则 等于( )12 13 tantanA.5 B1 C6 D.16答案 A解析 由题意可得 sin c
9、os cos sin ，12sin cos cos sin ，解得 sin cos ，13 512cos sin ， 5.112 tantan题型 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用二1.计算sin133cos197cos47cos73的结果为( )A. B. C. D.12 33 22 32答案 A解析 sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17sin(4717)sin30 .122.(1tan18)(1tan27)的值是( )A. B13 2C.2 D2(tan18tan27)答案 C解析 (1tan18)(1tan27)1tan18tan27
10、tan18tan271tan45(1tan18tan27)tan18tan272.63.已知 sin cos ，则 cos4 _.52答案 78解析 由 sin cos ，得 sin2 cos 2 2sin cos 1sin2 ，所52 54以 sin2 ，从而 cos4 12sin 22 12 2 .14 (14) 78条件探究 1 将举例说明 3的条件改为“sin cos ”，求 cos4 .43解 因为 sin cos ，43所以 12sin cos ，169所以 sin2 2sin cos ，79所以 cos4 12sin 22 12 2 .(79) 1781条件探究 2 将举例说明
11、3的条件改为“cos 2 ， (，2)” ，求( 4) 23sin cos .解 因为 cos2 ( 4) 1 cos(2 2)2 .所以 sin2 0，1 sin22 23 13又因为 (，2)，所以 ，( ，32)所以 sin cos 0，cos( )0，( 4)因为 cos ，sin( ) ，( 4) 13 45所以 sin ，cos( ) ，( 4) 223 35所以cos cos cos( )cos sin( )sin( 4) ( 4) ( 4) .( 4) ( 35) 13 45 223 82 315角度 2 函数名称的变换2.求值：(1) _；sin101 3tan10(2) s
12、in10 _.1 cos202sin20 ( 1tan5 tan5)答案 (1) (2)14 32解析 (1) sin101 3tan10 sin10cos10cos10 3sin109 .2sin10cos104(12cos10 32sin10) sin204sin 30 10 14(2)原式 sin102cos21022sin10cos10 (cos5sin5 sin5cos5) sin10cos102sin10 cos25 sin25sin5cos5 sin10cos102sin10 cos1012sin10 2cos10cos102sin10 cos10 2sin202sin10cos
13、10 2sin 30 102sin10 .cos10 2(12cos10 32sin10)2sin10 3sin102sin10 32三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2 ( )( )， ( ) ( ) ，406020， ， 2 等(4 ) (4 ) 2 2 4(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若 0 ， 0，cos ，cos ，则 cos 等于( )2 2 (4 )
14、 13 (4 2) 33 ( 2)A. B C. D33 33 539 69答案 C解析 0 ， .2 4 434cos ，sin .(4 ) 13 (4 ) 223 0， .2 44 22cos ，sin .(4 2) 33 (4 2) 6310cos cos( 2) (4 ) (4 2)cos cos sin sin(4 ) (4 2) (4 ) (4 2) .13 33 223 63 5392.(2018吉林第三次调研)若 sin ，则 cos2 _.(6 ) 13 (6 2)答案 23解析 因为 sin sin cos ，所以 cos2 (6 ) 2 (3 ) (3 ) 13 (6 2
15、) .1 cos(3 )21 132 233.(2018江苏高考)已知 ， 为锐角，tan ，cos( ) .43 55(1)求 cos2 的值；(2)求 tan( )的值解 (1)因为 tan ，tan ，所以 sin cos .43 sincos 43因为 sin2 cos 2 1，所以 cos2 ，925因此，cos2 2cos 2 1 .725(2)因为 ， 为锐角，所以 (0，)又因为 cos( ) ，55所以 sin( ) ，因此 tan( )2.1 cos2 255因为 tan ，所以 tan2 ，43 2tan1 tan2 247因此，tan( )tan2 ( ) .tan2
16、tan 1 tan2 tan 211思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想典例 1 (2018石嘴山一模)已知 满足 sin ，那么 sin sin12 (4 )的值为 ( )(4 )A B. C D.12 12 14 1411答案 D解析 sin sin cos ，(4 ) 2 (4 ) (4 )sin sin sin cos sin cos2 (1(4 ) (4 ) (4 ) (4 ) 12 (2 2 ) 12 122sin 2 ) .121 2(12)2 14典例 2 若 tan ，tan( ) ，则 tan _.13 12答案 17解析 因为 tan ，tan( ) ，13 12所以 tan tan( ) .tan tan1 tan tan12 131 1213 17方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.
