1、1第 7 讲 解三角形应用举例考纲解读 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容预计 2020 年会强化对应用问题的考查以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角01 02
2、 叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)(2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图， i 为坡度)坡度又称为坡比1概念辨析(1)东北方向就是北偏东 45的方向( )(2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为2 180.( )(3)方位角与方向角其实质是
3、一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 .( )0， 2)答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知 A， B 两地间的距离为 10 km， B， C 两地间的距离为 20 km，现测得 ABC120，则 A， C 两地间的距离为( )A10 km B10 km C10 km D10 km3 5 7答案 D解析 由余弦定理可得， AC2 AB2 CB22 ABCBcos12010 220 221020 700.(12) AC10 (km)7(2)如图，为测一树的高度，在地面上选取 A， B 两点，在 A， B 两
4、点分别测得树顶的仰角为 30，45，且 A， B 两点之间的距离为 10 m，则树的高度 h 为( )A(55 ) m B(3015 ) m3 3C(1530 ) m D(153 ) m3 3答案 A解析 在 PAB 中，由正弦定理得 ，所以 PB ，10sin 45 30 PBsin30 1012sin15 5sin15所以 h PBsin45 (55 ) m.5sin45sin155226 24 3(3)如图，从无人机 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67，30，此时无人机的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：si
5、n670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)33答案 60解析 由图可知， AB ，在 ABC 中，由正弦定理可知 ，所46sin67 ABsin30 BCsin37以 BC 60(m)ABsin37sin30 46sin37sin67sin30460.600.920.5(4)在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30 m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ，再继续前进 10 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4 ，则 的3大小为_答案 15解析 在 ACD 中， AC BC30， AD CD10 ，3
6、 ADC1804 ，由正弦定理得 ，103sin2 30sin 180 4 所以 ，cos2 ，103sin2 302sin2 cos2 32所以 2 30， 15.题型 测量距离问题一1一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为( )A15 km B30 km2 2C45 km D60 km2 2答案 B解析 作出示意图如图所示，依题意有 AB15460， DAC60， CBM15，4 MAB30， AMB45.在 AMB 中，由正弦定理，得 ，60sin
7、45 BMsin30解得 BM30 .22如图， A， B 两点在河的同侧，且 A， B 两点均不可到达，要测出 A， B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点 C， D，测得 CD a，同时在 C， D 两点分别测得 BCA ， ACD ， CDB ， BDA .在 ADC 和 BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB.若测得 CD km， ADB CDB30， ACD60， ACB45，则 A， B 两点32间的距离为_km.答案 64解析 ADC ADB CDB60， ACD60， DAC60， AC DC (km)32在 BCD 中，
8、DBC45，由正弦定理，得BC sin BDC sin30 .DCsin DBC 32sin45 64在 ABC 中，由余弦定理，得AB2 AC2 BC22 ACBCcos45 2 .34 38 32 64 22 38 AB (km) A， B 两点间的距离为 km.64 64(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点5间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键(2)求距离问题的两个策略选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量
9、所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 (2018广州模拟)如图，在海岸线上相距 2 千米的 A， C 两地分别测得小岛 B 在 A 的6北偏西 方向，在 C 的北偏西 方向，且 cos ，则 B， C 之间的距离是( ) 2 63A30 千米 B30 千米3C12 千米 D12 千米3答案 D解析 由题意得 AC2 ，6sinAsin cos ，( 2 ) 63sinBsin cos2 2cos 2 1 ，( 2 2 ) 13在 ABC 中，由正弦定理得BC 12 ，ACsinAsin
10、B266313则 C 与 B 的距离是 12 千米题型 测量高度问题二1(2018山西五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔 15000 m，速度为 1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 15，经过 108 s 后又看6到山顶的俯角为 75，则山顶的海拔高度为_m(取 1.732)3答案 6340解析 108 s0.03 h， AB10000.0330 km. C751560， ， BC .ABsin60 BCsin15 ABsin15sin60 C 到 AB 边的距离为 h BCsin7520 sin15sin7510 sin303 35 51.7328.
11、66 km.3山顶的海拔高度为(158.66) km6340 m.2(2018福州质检)如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30，45，且 BAC135.若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到 0.1)参考数据： 1.414， 2.236.2 5答案 22.6解析 因为小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30，45，所以 BAD60， CAD45.设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14 v.在 Rt ADB 中， A
12、B 200.ADcos BAD ADcos60在 Rt ADC 中， AC 100 .ADcos CAD 100cos45 27在 ABC 中，由余弦定理，得 BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC，所以(14 v)2(100 )2200 22100 200cos135，所以 v 22.6，所2 250107以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s.条件探究 将举例说明 2 中的条件改为“如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 B 处时测得公路北侧一山顶 A 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 C 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30”，求此山的高度
13、 AD.解 由题意，在 BCD 中， CBD30， BCD18075105，故 BDC45.又 BC600 m，故由正弦定理得 ，600sin45 CDsin30解得 CD300 m.2在 Rt ACD 中， AD CDtan30300 233100 (m)6求解高度问题的注意事项(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 1如图，在离地面高
14、400 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的仰角为 15，山脚 A 处的俯角为 45，已知 BAC60，则山的高度 BC 为( )A700 m B640 m C600 m D560 m答案 C8解析 在 Rt AMD 中， AM 400 ，在 MAC 中， AMC4515MDsin4540022 260， MAC180456075， MCA180 AMC MAC45，由正弦定理得 AC 400 .在 Rt ABC 中，AMsin AMCsin MCA40023222 3BC ACsin BAC400 600(m)3322如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从
15、 A 点测得 M 点的仰角 MAN60， C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_ m.答案 150解析 在 ABC 中， AC100 ，在 MAC 中， ，解得 MA100 ，2MAsin60 ACsin45 3在 MNA 中， sin60 ，故 MN150，即山高 MN 为 150 m.MN1003 32题型 测量角度问题三在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 1
16、4 n mile 的速度沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处拦截住蓝方的小艇，则AC14 x， BC10 x， ABC120.9根据余弦定理得(14x)212 2(10 x)2240 xcos120，解得 x2.故 AC28， BC20.根据正弦定理得 ，BCsin ACsin120解得 sin .20sin12028 5314所以红方侦察艇所需的时间为 2 小时，角 的正弦值为 .5314解决测量角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在
17、三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在 A 处的正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在 A 处的南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 等于( )A. B. C. D.217 2114 32114 2128答案 B解析 在 ABC 中， AB40， AC20， BAC120，由余弦定理得BC2 AB2 AC22 ABACcos1202800，所以 BC20 .由正弦定理得7sin ACB sin BAC .由 BAC120知 ACB 为锐角，故 cos ACB ，故ABBC 217 27710cos cos( ACB30)cos ACBcos30sin ACBsin30 .2114
