1、122.3 实际问题与二次函数第 1 课时 实际问题与二次函数(1)知能演练提升能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产 .现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润 y 和月份 n 之间的函数关系式为 y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是( )A.1 月、2 月、3 月 B.2 月、3 月、4 月C.1 月、2 月、12 月 D.1 月、11 月、12 月2.如图,在正方形 ABCD 中, AB=8 cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发,以1 cm/s 的速度沿 BC,CD 运动,到点 C,D 时停
2、止运动 .设运动时间为 t(单位:s), OEF 的面积为 S(单位:cm 2),则 S 与 t 的函数关系可用图象表示为( )3.某果园有 100 棵橘子树,平均每一棵树结 600 个橘子 .根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橘子 .设果园增种 x 棵橘子树,果园橘子总个数为 y 个,则果园里增种 棵橘子树,橘子总个数最多 . 4.某电商销售一款夏季时装,进价 40 元 /件,售价 110 元 /件,每天销售 20 件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用 a 元( a0).未来 30 天,这款时装将开展“每天降价 1 元”的夏令促销活动,即从第1 天起每天的单价均比前一天降
3、 1 元 .通过市场调研发现,该时装单价每降 1 元,每天销量增加 4 件 .在这 30 天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t(t 为正整数)的增大而增大, a 的取值范围应为 . 5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以 5 元 /千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗 5%,运输费用是 0.7 元 /千克,假设不计其他费用 .(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少钱才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量 m(单位:千克)与销售单价 x(单位:元 /千克)之间满足关系: m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润 w
4、 最大?26.如图,在 ABCD 中, AB=4,BC=3, BAD=120,E 为 BC 上一动点(不与 B 重合),作 EF AB 于点F,FE,DC 的延长线交于点 G,设 BE=x, DEF 的面积为 S.(1)求用 x 表示 S 的函数解析式,并写出 x 的取值范围;(2)当 E 运动到何处时, S 有最大值,最大值为多少?7.某城镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售 .当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润 P=- (x-60)2+41(单位:万元) .当地政府拟在五年规划中加快开发该特产11003的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投
5、入 100 万元的销售投资,在实施规划五年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的三年中,该特产既在本地销售,也在外地销售 .在外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润 Q=- (100-x)2+ (100-x)+160(单位:万元) .99100 2945(1)若不进行开发,求五年所获利润的最大值是多少;(2)若按规划实施,求五年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少;(3)根据(1)(2),该方案是否具有实施价值?8.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为 30 m
6、的篱笆围成 .已知墙长为 18 m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x m.(1)若苗圃园的面积为 72 m2,求 x.(2)若平行于墙的一边长不小于 8 m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由 .(3)当这个苗圃园的面积不小于 100 m2时,直接写出 x 的取值范围 .9.某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:4销售价x/(元 /千克)25 24 23 22 销售量 y/千克 2 0002 5003 0003 500 (1)在如图的直角坐标系内,描出各组有序数对( x,y)所对应的
7、点,连接各点并观察所得的图形,判断y 与 x 之间的函数关系,并求出 y 与 x 之间的函数解析式;(2)若樱桃进价为 13 元 /千克,试求销售利润 P(单位:元)与销售价 x(单位:元 /千克)之间的函数关系式,并求出当 x 取何值时, P 的值最大 .10 .由于受干旱的影响,5 月份,某市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:5周 数x 12 3 4价格y(元 /千克)22.22.42.6进入 6 月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格 y(单位:元 /千克)从 6 月第 1 周的 2.8 元/千克下降至第 2 周的 2.4 元 /千克,且 y 与周数 x
8、 的变化情况满足二次函数 y=- x2+bx+c.120(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出 5 月份 y 与 x 的函数解析式,并求出 6 月份 y 与 x 的函数解析式 .(2)若 5 月份此种蔬菜的进价 m(单位:元 /千克)与周数 x 所满足的函数关系为 m= x+1.2,6 月份此种14蔬菜的进价 m(单位:元 /千克)与周数 x 所满足的函数关系为 m=- x+2.试问 5 月份与 6 月份分别在哪15一周销售此种蔬菜 1 千克的利润最大?且最大利润分别是多少?创新应用11 .某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为 18 元,试销过程中发现
9、,每月销售量 y(单位:万件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一次函数 y=-2x+100.(利润 =售价 -制造成本)(1)写出每月的利润 z(单位:万元)与销售单价 x(单位:元)之间的函数解析式 .(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 350 万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于 32 元,如果厂商要获得每月不低于 350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?答案：能力提升61.C y=-n 2+14n-24=-(n-2)(n-12), 当 y=0
10、时, n=2 或 n=12.又该函数的图象开口向下, 1 月, y29.5,所以 a18,故舍去 x=3.x=12.(2)依题意,得 830 -2x18,解得 6 x11 .面积 S=x(30-2x)=-2 (6 x11) .(x-152)2+2252 当 x= 时, S 有最大值, Smax= (m2);152 2252 当 x=11 时, S 有最小值, Smin=11(30-22)=88(m2).(3)令 x(30-2x)=100,得 x2-15x+50=0.解得 x1=5,x2=10.又 30-2x18, x6,故 x 的取值范围是 6 x10 .9.解 (1)正确描点、连线 .由图象
11、可知, y 是 x 的一次函数 .设 y=kx+b,因为点(25,2 000),(24,2 500)在图象上,则 2 000=25k+b,2 500=24k+b,解得 k= -500,b=14 500.故 y=-500x+14 500(x0) .(2)P=(x-13)y=(x-13)(-500x+14 500)=-500x2+21 000x-188 5008=-500(x-21)2+32 000.因此 P 与 x 的函数解析式为 P=-500x2+21 000x-188 500,当销售价为 21 元 /千克时,能获得最大利润 .10.解 (1)通过观察可见 5 月份价格 y 与周数 x 符合一
12、次函数解析式,即 y=0.2x+1.8.将(1,2 .8),(2,2.4)代入 y=- x2+bx+c,120可得 2.8= -120+b+c,2.4= -15+2b+c,解之,得 b= -14,c=3.1,即 y=- x2- x+3.1.12014(2)设 5 月份第 x 周销售此种蔬菜 1 千克的利润为 W1元,6 月份第 x 周销售此种蔬菜 1 千克的利润为 W2元,W1=(0.2x+1.8)- =-0.05x+0.6,(14x+1.2)因为 -0.05-0.5 时, y 随 x 的增大而减小 .所以当 x=1 时, =1.W2最大所以 5 月份销售此种蔬菜 1 千克的利润在第 1 周最
13、大,最大利润为 0.55 元;6 月份销售此种蔬菜 1 千克的利润在第 1 周最大,最大利润为 1 元 .创新应用11.解 (1) z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1 800,所以 z 与 x 之间的函数解析式为 z=-2x2+136x-1 800.(2)由 z=350,得 350=-2x2+136x-1 800,解这个方程得 x1=25,x2=43.所以销售单价定为 25 元或43 元 .将 z=-2x2+136x-1 800 配方,得 z=-2(x-34)2+512,因此,当销售单价为 34 元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是 512 万元 .(3)结合(2)及函数 z=-2x2+136x-1 800 的图象(如图)可知,9当 25 x43 时, z350 .又由这种电子产品的销售单价不能高于 32 元,得 25 x32 .根据一次函数的性质,得 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小,所以当 x=32 时,每月制造成本最低 .最低成本是 18(-232+100)=648(万元),即所求每月最低制造成本为 648 万元 .
