1、1262 二次函数的图象与性质1二次函数 y ax2的图象与性质知|识|目|标1根据画一次函数图象的步骤，能够用描点法作出二次函数 y ax2的图象2通过对比几个二次函数图象的共同点和不同点，理解二次函数的性质，并能根据其性质解决问题目标一 会画二次函数 yax 2的图象例 1 教材补充例题 画二次函数 y x2的图象12【归纳总结】1画二次函数 yax 2的图象的步骤：用描点法画二次函数的图象分三步：列表、描点、连线列表：根据二次函数的关系式用表格的形式列出部分点的坐标；描点：把表格中坐标对应的点描到平面直角坐标系内；连线：用光滑的曲线顺次连结各点2画二次函数 y ax2的图象的四点技巧：(
2、1)二次函数的图象是轴对称图形，列表时先找到函数图象的对称轴，然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；(2)列好表后，观察表中各点在坐标系中对应的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系；(3)因为二次函数的自变量的取值是一切实数，所以二次函数图象的两端是无限延伸的；(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再把此段图象修成光滑的曲线目标二 能理解二次函数 y ax2的性质例 2 教材补充例题 已知二次函数 y2 x2和 y2 x2的图象如图 2621 所示，根据图象回答下列问题：2(1)指出的函数关系式是什么，的函数关系式是什么；
3、(2)写出函数 y2 x2和 y2 x2的图象的对称轴、顶点坐标及对称轴左、右两边 y 随 x 的变化情况；(3)二次函数 y2 x2和 y2 x2何时取得最大值或最小值？图 2621例 3 高频考题 下列说法中错误的是( )A在函数 y x2中，当 x0 时， y 有最大值B在函数 y2 x2中，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大C在抛物线 y ax2中，若抛物线的开口向下，则 a0D不论 a 是正数还是负数，抛物线 y ax2的顶点都是原点【归纳总结】二次函数 y ax2的图象与性质的应用：二次函数的图象与性质一般包括图象的开口方向和对称性、函数值的变化情况以及最值运用二次函数的图象
4、与性质解题需注意以下两点：(1)在二次函数 yax 2中，a 的符号决定图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况，反过来，由图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定 a 的符号；(2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象的直观性解决问题知识点一 二次函数 yax 2的图象二次函数 yax 2的图象是一条_，它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的_点拨当自变量是全体实数时，抛物线是向上或向下无限伸展的知识点二 二次函数 yax 2的图象与性质二次函数 a 的符号 图象图象的开口方向图象的顶点坐标图象的对称轴函数值 y 随 x
5、的变化情况 最值yax 2 a0 _ (0，0) _当 x0 时，函数值y 随 x 的增大而_图象有最_点，当 x0 时，y 最小值 03a0 时，函数值y 随 x 的增大而_图象有最_点，当x0 时，y 最大值 01.注意：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大2二次函数的函数值 y 随 x 的变化情况要以对称轴为界分左右两部分分别描述晓明用描点法作函数 yx 2的图象，过程如下：解：列表如下：x 2 1 0 1 2yx 2 4 1 0 1 4描点、连线，如图 2622 所示图 2622晓明的解答正确吗？如果不正确，存在哪些问题？请你写出正确的解答过程4教师详解详析【目标
6、突破】例 1 解析 二次函数 y x2的图象是轴对称图形，顶点坐标是(0，0)，所以列表时从12x0 往两边取适当的自变量的值，并计算对应的函数值，再把相应的点描到平面直角坐标系中，然后用光滑的曲线顺次连结各点解：列表：x 3 2 1 0 1 2 3 y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 在平面直角坐标系中描点、连线，得到二次函数 y x2的图象，如图所示12例 2 解：观察图象可以看出：(1)的函数关系式是 y2x 2，的函数关系式是 y2x 2.(2)函数 y2x 2的图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)，在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在 y 轴右侧，y 随
7、x 的增大而增大函数 y2x 2的图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)，在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而增大，在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而减小(3)二次函数 y2x 2，当 x0 时，y 取得最小值 0；二次函数 y2x 2，当 x0 时，y 取得最大值 0.例 3 答案 C 备选目标 二次函数的图象与性质的应用例 已知二次函数 y2x 2.(1)点 A(1，a)，B(2，b)均在二次函数 y2x 2的图象上，比较 a，b 的大小；5(2)M，N 是二次函数 y2x 2的图象上的点，它们的横坐标分别为 2 和 ，在 y 轴上找一点12P，使得 PMPN 最小解析 (1)根据
8、点 A，B 均在函数 y2x 2的图象上，将横坐标分别代入关系式，求出纵坐标a，b 的值，再比较大小，也可以利用图象进行比较，还可以利用函数值的变化情况比较其大小(2)求出点 M，N 的坐标，再作点 M 关于 y 轴的对称点 M，连结 NM，与 y 轴的交点即为点 P.解：(1)方法一：通过计算得 a2，b8，故 ab.方法二：画出函数 y2x 2的图象，如图，并把点 A，B 描于图上，可得 ab.方法三：点 B(2，b)与点 B(2，b)关于 y 轴对称，点 A 与点 B均在对称轴的右侧因为在对称轴右侧，函数值 y 随 x 的增大而增大，且 12，故 ab.(2)易得点 M，N 的坐标分别为
9、(2，8)， .作点 M 关于 y 轴的对称点 M，则(12， 12)M(2，8)，连结 NM，与 y 轴的交点即为点 P，如图所示设 NM所在直线对应的函数关系式为 ykxn，则 解得 即 y3x2，当 x0 时， 2k n 8，12k n 12， ) k 3，n 2， )y2，所以点 P 的坐标为(0，2)【总结反思】小结 知识点一 抛物线 顶点知识点二 向上 y 轴 减小 增大 低 向下 y 轴 增大 减小 高6反思 晓明的解答不正确错误的原因有三个：一是列表时取的数据不全面；二是没有用光滑的曲线连结相邻的点；三是所画的抛物线没有向上延长正解：列表如下：x 2 1 0 1 2 yx 2 4 1 0 1 4 描点、连线，如图所示
