1、1课时作业(三十八)19.3 第 2 课时 正方形的判定一、选择题1已知在四边形 ABCD 中， A B C90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结A D90 B AB CDC AD BC D BC CD2四边形的两条对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形一定是( )A平行四边形 B矩形C菱形 D正方形图 K3813如图 K381，在 ABCD 中， AC BD 于点 O，若增加一个条件，使得四边形 ABCD是正方形，则下列条件中，不正确的是( )A AC BD B AB BCC ABC90 D AO BO4在四边形 AB
2、CD 中， AC， BD 相交于点 O，能判定这个四边形是正方形的是( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结A AO BO CO DO， AC BDB AB CD， AC BDC AO BO， A CD AO CO， BO DO， AB BC52017舟山 一张矩形纸片 ABCD，已知 AB3， AD2，小明按图 K382 中步骤折叠纸片，则线段 DG 的长为( )图 K382A. B2 C1 D22 2图 K3836如图 K383，正方形 ABCD 的边长为 8，在各边上依次截取2AE BF CG DH5，则四边形 EFGH 的面积是( )A30 B34C36 D40二、填空题图 K384
3、7如图 K384 所示，在菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，若再补充一个条件能使菱形 ABCD 成为正方形，则这个条件是_链 接 听 课 例 1归 纳 总 结8矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件：_，使其成为正方形(只填其中一个即可)9如图 K385，在 ABC 中， C90， AC BC4， D 是 AB 的中点，点 E， F 分别在 AC， BC 边上运动(点 E 不与点 A， C 重合)，且保持 AE CF，连结 DE， DF， EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：图 K385 DFE 是等腰直角三角形；四边形 CEDF
4、 可能为正方形；四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化其中正确的结论是_(填写序号)三、解答题10如图 K386，已知在 Rt ABC 中， ACB90， CD 平分 ACB， DE BC， DF AC，垂足分别为 E， F.求证：四边形 CFDE 是正方形图 K38611.如图 K387，四边形 ABCD 为矩形， E 是 BC 延长线上一点， AE 交 CD 于点 G， F是 AE 上一点，并且 AC CF EF， AEB15.(1)求 ACF 的度数；(2)求证：矩形 ABCD 为正方形3图 K38712如图 K388，在 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点
5、O， E 是 BD 延长线上的点，且 ACE 是等边三角形(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若 AED2 EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形图 K38813如图 K389，在 ABC 中， AB AC， AD 是 ABC 的角平分线， O 为 AB 的中点，连结 DO 并延长到点 E，使 OE OD，连结 AE， BE.(1)求证：四边形 AEBD 是矩形；(2)当 ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形？请说明理由图 K389问题背景：如图 K3810，在正方形 ABCD 的内部，作 DAE ABF BCG CDH，根据三角形全等的条件，易得 DAE ABF BCG
6、 CDH，从而得到四边形 EFGH 是正方形类比探究：如图 K3810，在正三角形 ABC 的内部，作 BAD CBE ACF， AD， BE， CF 两两相交于 D， E， F 三点( D， E， F 三点不重合)(1) ABD， BCE， CAF 是否全等？如果全等，请选择其中一对进行证明；(2) DEF 是不是正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现， ABD 的三边存在一定的等量关系设 BD a， AD b， AB c，请探索 a， b， c 满足的等量关系. 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结4图 K38105详解详析【课时作业】课堂达标1解析 D 由ABC90知，四边形 ABC
7、D 是矩形，只需要邻边相等就可以推出该四边形是正方形2答案 D3解析 B A 项，在ABCD 中，ACBD 于点 O，四边形 ABCD 是菱形，当ACBD 时，菱形 ABCD 就是正方形，故此选项不符合题意； B 项，在ABCD 中，ACBD 于点 O，四边形 ABCD 是菱形，当 ABBC 时，无法得出菱形 ABCD 是正方形，故此选项符合题意； C 项，在ABCD 中，ACBD 于点 O，四边形 ABCD 是菱形，当ABC90时，菱形 ABCD 就是正方形，故此选项不符合题意； D 项，在ABCD 中，ACBD 于点 O，四边形 ABCD 是菱形，当 AOBO 时，则 AOBOCODO，故
8、菱形 ABCD 就是正方形，故此选项不符合题意故选 B.4解析 A A 项，能，因为对角线相等且互相垂直平分；B 项，不能，只能判定为等腰梯形；C 项，不能，不能判定为特殊的四边形；D 项，不能，只能判定为菱形故选 A.5答案 A 6解析 B 四边形 ABCD 是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.AEBFCGDH，AHBECFDG.在AEH，BFE，CGF 和DHG 中，AEBFCGDH，ABCD，AHBECFDG，AEHBFECGFDHG，EHFEGFHG，AEHBFE，四边形 EFGH 是菱形BEFBFE90，BEFAEH90，HEF90，四边形 EFGH 是正方形ABBCCDDA8
9、，AEBFCGDH5，EHFEGFHG ，52 32 34四边形 EFGH 的面积是( )234.故选 B.347答案 答案不唯一，如 ACBD 或ABC90等解析 由题意可得四边形 ABCD 是菱形，因此只需增加一个条件使菱形 ABCD 成为正方形即可，所以可使其对角线相等，即增加条件 ACBD，或增加一个角为直角，即增加条件ABC90等点评 本题是一道条件开放题，在添加条件时，要结合图形挖掘隐含的条件8答案 答案不唯一，如 ACBD 或 ABBC 或 BCCD 或 CDAD 或 ADAB解析 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件所以可以添加的条件是 ACB
10、D 或 ABBC 或 BCCD 或 CDAD 或 ADAB.9答案 6解析 连结 CD.因为 D 是等腰直角三角形 ABC 底边的中点，所以DCF45A，CDAD.又因为 CFAE，所以CDFADE，所以 DFDE，CDFADE.因为ADECDE90，所以CDFCDE90，即EDF90，正确；当 E，F 分别为 AC，BC 的中点时，四边形 CEDF 为正方形，正确；因为CDFADE，所以四边形CEDF 的面积等于ACD 的面积ABC 面积的一半，正确10证明：ACB90，DEBC，DFAC，四边形 CFDE 是矩形又CD 平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF.四边形 CFDE 是正方形(
11、有一组邻边相等的矩形是正方形)11解：(1)CFEF，FCEAEB15，AFCFCEAEB30.ACCF，FACAFC30，ACF180FACAFC120.(2)证明：四边形 ABCD 为矩形，ADBC，D90，DAGAEB15.由(1)知FAC30，DACDAGFAC45.D90，ACDDAC45，ADCD，矩形 ABCD 为正方形12证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，AOCO.又ACE 是等边三角形，EOAC，即 DBAC， 平行四边形 ABCD 是菱形(2)ACE 是等边三角形，AEC60.EOAC，AEO AEC30.12AED2EAD，EAD15，ADOEAD AED45.
12、四边形 ABCD 是菱形，ADC2ADO90， 四边形 ABCD 是正方形13解：(1)证明：由已知得 OAOB，OEOD，四边形 AEBD 是平行四边形ABAC，AD 是ABC 的角平分线，ADBC，ADB90，AEBD 是矩形(2)当BAC90时，矩形 AEBD 是正方形7理由：BAC90，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，ADBDCD.由(1)知四边形 AEBD 是矩形，矩形 AEBD 是正方形素养提升解析 (1)已知有一组对应边相等，由旋转可得一组对应角相等，证明另一组对应角相等即可(2)由(1)中全等可得DEF 三个外角对应相等，从而可得三个内角对应相等(3)由(2)知ADB120，根据特殊角构造直角三角形，作 AGBD，利用勾股定理即可求解解：(1)ABDBCECAF.选择证明ABDBCE 如下：ABC 是正三角形，CABABCACB60，ABBC.ABDABCCBE，BCEACBACF，而CBEACF，ABDBCE.又BADCBE，ABDBCE.(2)DEF 是正三角形理由：ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD，DEF 是正三角形(3)过点 A 作 AGBD，交 BD 的延长线于点 G.由DEF 是正三角形得到ADG60，在 RtABG 中，c 2(a b)2( b)2，12 32c 2a 2abb 2.
