1、127.1.2 圆的对称性第 2 课时 垂径定理知|识|目|标1通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形2通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题3会利用垂径定理解决实际生活中的问题目标一 理解圆的轴对称性例 1 教材补充例题 下列说法正确的是( )A每一条直径都是圆的对称轴B圆的对称轴是唯一的C圆的对称轴一定经过圆心D圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”
2、目标二 能应用垂径定理及其推论进行证明或计算例 2 教材补充例题 如图 2719， AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 M，下列结论不成立的是( )图 2719A CM DM B. C ACD ADC D OM MBCB DB 【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心” (2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧例 3 教材补充例题 如图 27110， AB 是 O 的直径， CD 为弦， AB CD，垂足为 H，连结BC， BD.(1)求证： BC
3、 BD；(2)已知 CD6， OH2，求 O 的半径2图 27110【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等目标三 会用垂径定理解决实际生活中的问题例 4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图 27111 所示， CD 是 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 E， CE1寸， AB10 寸，求直径 CD 的长请你解决这个问题图 2711
4、1【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：1四变量：设弦长为 a，圆心到弦的距离为 d，半径为 r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个2两关系：(1)( )2 d2 r2；a2(2)h d r. 图 27112知识点一 圆的轴对称性圆是_，它的任意一条直径所在的直线都是它的_，圆有_条对称轴知识点二 垂径定理及其推论垂直于弦的直径_，并且_推论： 平分弦(不是直径)的直径_，并且_；平分弧的3直径垂直平分这条弧所对的弦已知 CD 是 O 的一条弦，作直径 AB，使 AB CD，垂足为 E，若 AB10， CD8，求 BE 的长解：如图 27
5、113，连结 OC，则 OC5. AB 是 O 的直径， AB CD， CE CD4.12在 Rt OCE 中，OE 3，OC2 CE2 BE OB OE538. 图 27113以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充4教师详解详析【目标突破】例 1 解析 C 因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故 A 不正确；因为圆的对称轴有无数条，故 B 不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故 D 不正确， C 正确故选 C.例 2 解析 D AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，M 为 CD 的中点，即CMDM，故选项 A 成立；由垂径定理可得 ，故选项 B 成立
6、；在ACM 和ADM 中，CB DB AMAM，AMCAMD90，CMDM，ACMADM，ACDADC，故选项 C 成立；而 OM 与 MB 不一定相等，故选项 D 不成立故选 D.例 3 解：(1)证明：AB 是O 的直径，CD 为弦，ABCD， ，BCBD.BC BD (2)如图，连结 OC.AB 是O 的直径，CD 为弦，ABCD，CD6，CH3，OC ，OH2 CH2 22 32 13故O 的半径为 .13例 4 解析 连结 OA，构造 RtAOE，利用勾股定理及垂径定理解答解：连结 OA.CDAB 于点 E，CD 为O 的直径，AE AB 105(寸)12 12在 RtAEO 中，设 AOx 寸，则 OE(x1)寸由勾股定理，得 x25 2(x1) 2，解得 x13.AO13 寸，CD2AO26 寸答：直径 CD 的长为 26 寸【总结反思】小结 知识点一 轴对称图形 对称轴 无数知识点二 平分这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直于这条弦 平分这条弦所对的两条弧反思 不完整补充如下：如图，当垂足 E 在线段 OB 上时，此时，BEOBOE532.BE 的长为 8 或 2.
