1、127.2.3 切线第 2 课时 切线长定理及三角形的内切圆知|识|目|标1经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理2经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识目标一 能探索并掌握切线长定理例 1 教材补充例题 如图 27212，已知 O 的切线 PA， PB， A， B 为切点，把 O 沿着直线 OP 对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论结论： PA_， OPA_.图 27212证明：如图 27213，连结 OA， OB. PA， PB 与 O 相切， A， B 是切点， OA_， OB_，即 OAP_90._，Rt AOPRt BOP(H.L.)，
2、PA_， OPA_ 图 27213试用文字语言叙述你所发现的结论例 2 高频考题 如图 27214， PA， PB 分别切 O 于 A， B 两点， OAB30.(1)求 APB 的度数；(2)当 OA3 时，求 AP 的长图 272142【归纳总结】切线长定理中的基本图形：如图 27215， PA， PB 为 O 的切线， A， B 为切点，此图形中含有： 图 27215(1)两个等腰三角形 ( PAB， OAB)；(2)一条特殊的角平分线( OP 平分 APB 和 AOB); (3)三个垂直关系 ( OA PA, OB PB， OP AB)目标二 理解三角形的内切圆例 3 教材补充例题 如
3、图 27216，已知 ABC 的内切圆 O 与各边分别相切于点D， E， F，则点 O 是 DEF 的( )图 27216A三条中线的交点B三条高的交点C三条角平分线的交点D三条边的垂直平分线的交点例 4 教材补充例题 ABC 的内切圆的半径为 r， ABC 的周长为 l，求 ABC 的面积 S.3【归纳总结】三角形“四心”的区别：外心 三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点内心 三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点重心 三角形三条中线的交点垂心 三角形三条高的交点提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的
4、内心都在三角形内部(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形(3)常用 S ABC (a b c)r(其中 a， b， c 为 ABC 的三边长)求三角形的内切圆的半径 r.12(4)若 ABC 为直角三角形(不妨设 C90)，则 ABC 内切圆的半径 r 或 ra b c2(其中 a， b， c 分别为 A， B， C 的对边)aba b c知识点一 切线长及切线长定理(1)圆的切线上某一点与_之间的线段的长叫做这点到圆的切线长(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，_相等这一点和圆心的连线平分_知识点二 三角形的内切圆(1)与三角形_叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫
5、做这个三角形的_，这个三角形叫做这个圆的外切三角形(2)三角形的内心就是三角形_，三角形的内心到_的距离相等4如图 27217 是切线长定理的一个基本图形( PA， PB 为 O 的切线， A， B 为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：(1)垂直： OA_， OB_， AB_；(2)角相等：1_，5_；(3)线段相等： PA_， AC_；(4)弧相等： _， _AD AE 图 272175教师详解详析【目标突破】例 1 解：PB OPB PA PB OBP OAOB，OPOP PB OPB 用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条
6、切线的夹角例 2 解析 (1)方法一：根据切线的性质可知：OAPOBP90.根据三角形的内角和为 180可求出AOB 的度数，再根据四边形的内角和为 360可求出APB 的度数；方法二：证明ABP 为等边三角形，从而可求出APB 的度数(2)方法一：作辅助线，连结 OP.在 RtOAP 中，利用三角函数可求出 AP 的长；方法二：作辅助线，过点 O 作 ODAB 于点 D.在 RtOAD 中，求出 AD 的长，从而求出 AB 的长，即为 AP的长解：(1)方法一：在ABO 中，OAOB，OAB30，AOB180230120.PA，PB 是O 的切线，OAPA，OBPB，OAPOBP90，在四边
7、形 OAPB 中，APB360120909060.方法二：PA，PB 是O 的切线，PAPB，OAPA.OAB30，BAP903060，ABP 是等边三角形，APB60.(2)方法一：如图，连结 OP.PA，PB 是O 的切线，PO 平分APB，即APO APB30.12又在 RtOAP 中，OA3，AP 3 .OAtan30 3方法二：如图，过点 O 作 ODAB 于点 D.在OAB 中，OAOB，AD AB.12在 RtAOD 中，OA3，OAD30，6ADOA cos30 ，3 32AB2AD3 ，3APAB3 .3例 3 答案 D例 4 解：如图，设ABC 的内切圆O 与三边分别相切于点 D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则 ODAB，OEBC，OFAC.所以 SS AOB S AOC S BOC ABOD ACOF BCOE lr.12 12 12 12【总结反思】小结 知识点一 (1)切点 (2)它们的切线长 这两条切线的夹角知识点二 (1)各边都相切的圆 内心 (2)三条角平分线的交点 三角形三边反思 (1)PA PB PO (2)2 3 4 6 7 8(3)PB BC (4) BD BE
