1、127.3 圆中的计算问题第 2 课时 圆锥及其侧面积知|识|目|标1经历阅读、动手实践和思考，理解圆锥的侧面展开图是一个扇形，并知道圆锥母线、底面周长与扇形半径、弧长的关系2通过阅读、思考、归纳等过程，能熟练进行圆锥的半径、高、母线等相关计算3通过例题学习、变式和总结，能够正确地计算圆锥的侧面积和全面积目标一 理解圆锥的相关概念例 1 教材补充例题将一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开铺平，思考圆锥中的各元素与它的侧面展开图中的各元素之间的关系圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图 2734，设圆锥的母线长为 a，底面半径为 r，那么这个扇形的半径为_，扇形的弧长为_，因此， 圆锥的侧面积为_，圆锥的
2、全面积为_图 2734目标二 掌握圆锥中半径、高、母线等有关计算例 2 教材例 2 针对训练 (1)如图 2735，圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 90的扇形，则该圆锥的底面周长为( )图 2735A. B. C. D.34 32 34 322(2)用圆心角为 120，半径为 6 cm 的扇形纸片无重叠地卷成一个圆锥形纸帽(如图2736 所示)，则这个纸帽的高是( )图 2736A2 cm B3 cm2C4 cm D4 cm2(3)若一个圆锥的底面半径为 6 cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为( )A9 cm B12 cmC15 cm D18 cm【归纳总结】圆锥及其侧面展开图
3、之间转换的“两个对应”：(1)圆锥的母线与展开后扇形的半径对应；(2)展开后扇形的弧长与圆锥底面的周长对应根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法目标三 会计算圆锥的侧面积和全面积例 3 教材补充例题 (1)如图 2737，圆锥的底面半径 r 为 6 cm，高 h 为 8 cm，则圆锥的侧面积为( )图 2737A. 30 cm 2 B48 cm 2C60 cm 2 D80 cm 2(2)若圆锥底面的直径为 6 cm，高为 4 cm，则它的全面积为_(结果保留 )【归纳总结】求圆锥侧面积的“三个公式”：(1)已知圆锥的侧面展开扇形的圆心角 n和母线长 r，一般用 S 侧 .n
4、 r2360(2)已知圆锥的侧面展开扇形的弧长 l 和母线长 r，一般用 S 侧 lr.12(3)已知圆锥的底面半径 r 和母线长 l，一般用 S 侧 rl.例 4 教材补充例题 如图 2738 所示，在 Rt ABC 中， C90， AB13 cm， BC5 cm，求以 AB 所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体的全面积图 27383【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”：(1)分析清楚几何体表面的构成(2)弄清圆锥与其侧面展开图扇形各元素之间的对应关系(3)圆锥的母线 l，底面半径 r 和圆锥的高 h 之间的关系为 l2 r2 h2.(4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和.知识点一
5、 圆锥的相关概念(1)圆锥的母线：我们把圆锥底面_任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，如图 2739 中的 a.图 2739(2)圆锥的高：连结顶点与底面_的线段叫做圆锥的高，如图 2739 中的 h.点拨 (1)圆锥的侧面展开图是扇形；(2)扇形的半径是圆锥的母线；(3)扇形的弧长是圆锥的底面周长知识点二 圆锥的侧面积和全面积(1)圆锥的侧面展开图如图 27310.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个_，这个扇形的弧长等于圆锥_的周长，而扇形的半径等于圆锥母线的长(2)圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长，半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与底面积
6、的和图 27310计算公式： S 侧 a2 r ra(其中 r 为圆锥底面的半径， a 为圆锥的母线长)12圆锥的全面积侧面积底面积，计算公式： S 全 S 侧 S 底 ra r2 r(a r)(其中 r 为圆锥底面的半径， a 为圆锥的母线长)4已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 180的扇形，底面积为 15 cm2，求圆锥的侧面积 S.解：设圆锥底面的半径为 r cm，则 r215， r2 .15圆锥的侧面展开图是圆心角为 180的扇形， S 7.5(cm 2)180 r2360 12 15上述解答过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程5教师详解详析【目标突破】例 1 答案 a 2 r
7、ra ra r2例 2 解析 (1) B 根据题意可知：扇形的弧长为 ，圆锥的底面周长是90 3180 32.32(2)C 设圆锥形纸帽的底面半径为 r cm，则 2 r ，解得 r2.设圆锥形120 6180纸帽的高为 h cm，由 h2r 26 2，得 h22 26 2，解得 h4 .2(3)B 设圆锥的母线长为 l cm，则 l2 6，解得 l12.例 3 答案 (1) C (2)24 cm2解析 (1)r6 cm，h8 cm，l 10( cm)，r2 h2 62 82圆锥的侧面积为 rl 61060 (cm2)故选 C.(2)如图，AO4 cm，BC6 cm，BO3 cm.在 RtAO
8、B 中，AB 5 cm，运用AO2 BO2圆锥的全面积公式得 S 全 53 3224 (cm2)例 4 解析 以 AB 所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求圆锥的侧面积之和解： 如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D.ABC 是直角三角形，且ACB90，AB13 cm，BC5 cm，由勾股定理得 AC12 cm，CD (cm)，ACBCAB 12513 6013以 D 为圆心，以 CD 长为半径的圆的周长为 2 (cm)，6013 12013S 全 5 12 (cm2)12 12013 12 12013 1020136即以 AB 所在的
9、直线为轴旋转一周所得到的几何体的全面积为 cm2.102013备选目标 圆锥中的最短路径问题例 如图，圆锥的底面半径为 1，母线长为 6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点 B，它爬行的最短路程是多少？解：如图，设圆锥的侧面展开图为扇形 ABB，BABn，连结 BB，BB即为蚂蚁爬行的最短路线圆锥底面半径为 1, l 2 .BB 又l ，BB 6n1802 ，解得 n60，6n180ABB是等边三角形，BBAB6. 即蚂蚁爬行的最短路程为 6.【总结反思】小结 知识点一 (1)圆周上 (2)圆心知识点二 (1)扇形 底面反思 不正确正解：设圆锥底面的半径为 r cm，扇形的半径为 R cm，则 r215，r .15圆锥的侧面展开图是圆心角为 180的扇形，2 r R，R2r2 ，15S rR 2 30( cm2)15 15
