1、11.2 基本不等式(二)1.理解定理 3、定理 4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当 a、 b、 cR 时， ，当且仅当 a b c 时，等号成立，称 为正a b c3 3abc a b c3数 a， b， c 的算术平均值， 为正数 a、 b、 c 的几何平均值.3abc2.如果 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，当且仅当a1 a2 ann na1a2ana1 a2 an时，等号成立.基础自测1.设 a、 b、 cR，下列各不等式中成立的是( )A.a2 b22| ab| B.a b2 abC.a3 b3 c3
2、3 abc D. a b c3 3abc解析 由 a2 b22| ab| a|22| ab| b|2(| a| b|)20，故选 A.答案 A2.函数 y x2(15 x) 的最大值为( )(0 x15)A. B. 4675 2657C. D.4645 2675解析 由 y x2(15 x) x x(15 x)425 52 52 .425(52x 52x 1 5x3 )3 4675答案 A3.已知实数 a， b， c 满足 a b c0， a2 b2 c21，则 a 的最大值是_.解析 利用不等式求解.因为 a b c0，所以 b c a.2因为 a2 b2 c21，所以 a21 b2 c2(
3、 b c)22 bc a22 bc，所以 2a212 bc b2 c21 a2，所以 3a22，所以 a2 ，23所以 a ，所以 amax .63 63 63答案 63知识点 1 利用平均值不等式证明不等式【例 1】 已知 a、 b、 cR ，且 a b c1.求证： .1a b 1b c 1c a 92证明 a b c1( a b)( b c)( c a)2，(a b)( b c)( c a)(1a b 1b c 1c a)3 3 93（ a b） （ b c） （ c a）13（ a b） （ b c） （ c a） .1a b 1b c 1c a 92反思感悟：认真观察要证的不等式的结
4、构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明( a b c) (a， b， cR ).(1a b 1b c 1a c) 92证明 ( a b)( b c)( c a)3 ，3（ a b） （ b c） （ c a） 3 ，1a b 1b c 1a c 3 1a b1b c1a c( a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92当且仅当 a b c 时，等号成立.知识点 2 利用平均值不等式求最值【例 2】 若正数 a， b 满足 ab a b3，求 ab 的取值范围.解 方法一： a、 bR ，且 ab a b33 ，33ab3 a3b381 ab.又 ab0，
5、a2b281. ab9(当且仅当 a b 时，取等号). ab 的取值范围是9，).方法二： ab3 a b2 ，ab ab2 30 且 ab0，ab 3，即 ab9(当且仅当 a b 时取等号)ab ab 的取值范围是9，).反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求 ysin xcos2x， x 的最大值.(0， 2)解 x ，sin x0， y0.(0， 2)y2sin 2xcos4x2sin2xcos2xcos2x2 .12(2sin2x cos2x cos2x3 )3 12(23)3
6、 854 427故 y ，此时，2sin 2xcos 2x，tan 2x ，427 239 12y 有最大值 .239知识点 3 平均值不等式的实际应用【例 3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列 an， n1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为 P1，第三年比第二年增长的百分率为 P2，第四年比第三年增长的百分率为 P3，且 P1 P2 P31.给出如下数据： ， ， ， ， ，27 25 13 12 23则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( ) A. B.C. D.解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为 x(x0)，则 a4 a1(1 x)
7、3 a1(1 P1)(1 P2)(1 P3)，(1 x)3(1 P1)(1 P2)(1 P3)，(1 x)3(1 P1)(1 P2)(1 P3)4 .(1 P1 1 P2 1 P33 )3 (43)3 1 x ，即 x ，43 13对比所给数据，只有满足条件，故选 B.答案 B3.设长方体的体积为 1 000 cm3，则它的表面积的最小值为_ cm 2.解析 设长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c，则 abc1 000，且 a0， b0， c0.它的表面积 S2( ab bc ca)23 600.3（ abc） 2当且仅当 a b c10 (cm)时取“”号.所以它的表面积 S 的最小值为
8、 600 cm2.答案 600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设 f(x)ln x，0 a b，若 p f( )， q f ， r (f(a) f(b)，则下列关系ab (a b2 ) 12式中正确的是( )A.q r p B.p r qC.q r p D.p r q解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断 p， q， r 之间的相等与不等关系.因为 ba0，
9、故 0)为增函数，所以 f f( )，即 qp.又a b2 ab (a b2 ) abr (f(a) f(b) (ln aln b)ln p.12 12 ab答案 B2.已知 x ，则 f(x) 有( )52 x2 4x 52x 4A.最大值 B.最小值54 54C.最大值 1 D.最小值 15解析 f(x) ，（ x 2） 2 12（ x 2） 12（ x 2） 1（ x 2） 又 x ， x2 ，52 12则 f(x) 2 1.12 （ x 2） 1（ x 2）答案 D3.函数 y x2(13 x)在 上的最大值是_.(0，13)解析 由 y x2(13 x) x x(13 x)49 32
10、 32 .49(32x 32x 1 3x3 )3 3243答案 32434.用长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是_ cm 2. 解析 设矩形长为 x cm(00，8 x0，可得 S 16，(x 8 x2 )2 当且仅当 x8 x 即 x4 时， Smax16.所以矩形的最大面积是 16 cm2.答案 16基础达标1.若 x0，则 4x 的最小值是( )9x2A.9 B.3336C.13 D.不存在解析 x0，4 x 2 x2x 3 3 .9x2 9x2 32x2x9x2 336答案 B2.设 a， b， c(0，)且 a b c1，令 x ，则 x 的取值范围为(
11、1a 1) (1b 1)(1c 1)6( )A. B.0，18) 18， 1)C.1，8) D.8，)解析 x (1a 1)(1b 1)(1c 1) 1 aa 1 bb 1 cc 8，（ b c） （ c a） （ a b）abc 2bc2ca2ababc当且仅当 a b c 时取等号， x8.答案 D3.已知 x， y 都为正数，且 1，则 xy 有( )1x 4yA.最小值 16 B.最大值 16C.最小值 D.最大值116 116解析 x， y(0，)且 1，1x 4y1 2 ， 4， xy16，1x 4y 4xy 4xy xy当且仅当 即 时取等号，1x 4y，1x 4y 1，x， y
12、 （ 0， ） ， ) x 2，y 8， )此时( xy)min16.答案 A4.已知 a， b，R *，则 _.(ab bc ca)(ba cb ac)解析 111 32 2 2(ab bc ca)(ba cb ac) acb2 a2bc b2ac abc2 bca2 c2ab acb2b2ac a2bcbca29.abc2 c2ab答案 95.要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_(单位：元).7解析 利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为 x m，则宽为 m
13、.又设该容器的造价为 y 元，则4xy2042 10，即 y8020 (x0).因为 x 2 4(x4x) (x 4x) 4x x4x，所以 ymin80204 160(元).(当 且 仅 当 x4x， 即 x 2时 取 “ ”)答案 1606.已知关于 x 的不等式| x a| b 的解集为 x|2 x4.(1)求实数 a， b 的值；(2)求 的最大值.at 12 bt解 (1)由| x a| b，得 b a x b a，则 解得 b a 2，b a 4， ) a 3，b 1. )(2) 3t 12 t 34 t t （ 3） 2 12（ 4 t） 2 （ t） 22 4，4 t t当且仅
14、当 ，即 t1 时等号成立，4 t3 t1故( )max4. 3t 12 t综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列关系式总成立的是( )A.V B.VC.V D.V 18 18解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题意得：4 r2 h6，即 2r h3，于是有 V r2h ，(r r h3 )3 (33)3 当且仅当 r h 时取等号.答案 B8.如果圆柱的轴截面周长 l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )A. B. (l6)3 (l3)3 C. D. (l4)3 14(l4)3 8解析 l4 r2 h，即 2r h ，l2V r2h .(r r h3 )3 (l6
15、)3 答案 A9.定义运算“”： xy (x， yR， xy0)，当 x0， y0 时， xy(2 y)xx2 y2xy的最小值为_.解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为 xy ，所以(2 y)x .又 x0， y0，故 xy(2 y)x x2 y2xy 4y2 x22xy x2 y2xy ，当且仅当 x y 时，等号成立.4y2 x22xy x2 2y22xy 22xy2xy 2 2答案 210.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(
16、单位：米)的值有关，其公式为 F .76 000 vv2 18v 20l(1)如果不限定车型， l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型， l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.解析 把所给 l 值代入，分子分母同除以 v，构造基本不等式的形式求最值.(1)当 l6.05 时， F 18 1 900.当且76 000vv2 18v 121 76 000v 121v 18 76 0002v121v 76 00022 18仅当 v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为 1 900 辆/时.(2)当 l5 时， F 2 000.当且仅当76 000vv2 18v 10
17、0 76 000v 100v 18 76 0002v100v 18 76 00020 18v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为 2 000 辆/时，比(1)中的最大车流量增加 100辆/时.答案 (1)1 900 (2)10011.如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 在 AM 上， D在 AN 上且对角线 MN 过 C 点，已知| AB|3 米，| AD|2 米.9(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 AN 的长应在什么范围内？(2)当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若 AN 的长度不少
18、于 6 米，则当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 设 AN 的长为 x 米( x2)，矩形 AMPN 的面积为 y. ，| AM| ，|DN|AN| |DC|AM| 3xx 2 S 矩形 AMPN| AN|AM| (x2)3x2x 2(1)由 S 矩形 AMPN32 得 32，3x2x 2 x2，3 x232 x640，即(3 x8)( x8)0，28，83即 AN 的长的取值范围是 (8，).(2，83)(2)令 y 3( x2)3x2x 2 3（ x 2） 2 12（ x 2） 12x 2 122 1224，12x 2 3（ x 2） 12x 2当且仅
19、当 3(x2) ，12x 2即 x4 时， y 取得最小值，3x2x 2即 S 矩形 AMPN取得最小值 24 平方米.(3)令 g(x)3 x (x4)，设 x1x24，12x则 g(x1) g(x2)3( x1 x2)12（ x2 x1）x1x2 ，3（ x1 x2） （ x1x2 4）x1x2 x1x24， x1 x20， x1x216， g(x1) g(x2)0， g(x)在4，)上递增. y3( x2) 12 在6，)上递增.12x 2当 x6 时， y 取得最小值，即 S 矩形 AMPN取得最小值 27 平方米.12.甲、乙两地相距 s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过
20、 c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(km/h)的10平方成正比，比例常数为 b，固定部分为 a 元.(1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v (km/h)的函数，并指出函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？解 (1)因为汽车每小时的运输成本为 bv2 a(元)，全程时间为 (小时)，故 y (bv2 a)，sv sv即 y s ， v(0， c.(av bv)(2)由于 bv2 ，当且仅当 v 时取等号，故av ab ab若 c，则当 v 时， y 取最小值.ab ab若 c，则先证 y s ， v(0， c为单调减函数，事实上，当 v1、 v2(0， c，ab (av bv)且 v10， v10.ab故 y s ， v(0， c为单调减函数，(av bv)由此知当 v c 时， y 取得最小值.综上可知，若 c，则当 v 时， y 取得最小值；ab ab若 c，则当 v c 时， y 取得最小值.ab
