1、13.2.1 复数的加法和减法学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识点一 复数的加法和减法思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a bi)(c di)( ac)( bd)i.思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗？答案 满足梳理 复数的加法与减法(1)运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，定义 z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i，z1 z2( a b
2、i)( c di)( a c)( b d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)知识点二 复数加减法的几何意义如图 ， 分别与复数 a bi， c di 对应OZ1 OZ2 思考 1 试写出 ， ， ， 的坐标OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 答案 ( a， b)， ( c， d)，OZ1 OZ2 ( a c， b d)， ( a c， b d)OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 思考 2 向量 ， 对应的复数分别是什么？OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 答案 ( a c)( b d)i，( a c)(
3、 b d)i.2梳理 复数加减法的几何意义复数加法的几何意义 复数 z1 z2是以 ， 为邻边的平行四边形的OZ1 OZ2 对角线 所对应的复数OZ 复数减法的几何意义 复数 z1 z2是从向量 的终点指向向量 的终OZ2 OZ1 点的向量 所对应的复数Z2Z1 1两个虚数的和或差可能是实数( )2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部( )3复数的减法不满足结合律，即( z1 z2) z3 z1( z2 z3)可能不成立( )类型一 复数的加减法运算例 1 (1)若 z12i， z23 ai(aR)，复数 z1 z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数 z 满足
4、| z|i z13i，则 z_.答案 (1)1 (2)1 i43解析 (1) z1 z2(2i)(3 ai)5( a1)i，由题意得 a10，则 a1.(2)设 z x yi(x， yR)，则| z| ，x2 y2| z|i z i x yi x( y)ix2 y2 x2 y213i，Error! 解得Error! z1 i.43反思与感悟 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z x yi(x， yR)跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 zi33i，则 z_.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i_
5、( a， bR)(3)已知复数 z 满足| z| z13i，则 z_.答案 (1)62i (2) a(4 b3)i (3)43i解析 (1) zi33i，3 z62i.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i( a2 a)( b3 b3)i a(4 b3)i.(3)设 z x yi(x， yR)，| z| ，x2 y2| z| z( x) yi13i，x2 y2Error!解得Error! z43i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 分别对应的复数为 0，32i，24i.求： 表示的复数； 表示的复数； 表示的复数AO CA OB 解
6、 因为 A， C 对应的复数分别为 32i，24i，由复数的几何意义知， 与 表示的复数分别为 32i，24i.OA OC 因为 ，所以 表示的复数为32i.AO OA AO 因为 ，CA OA OC 所以 表示的复数为(32i)(24i)52i.CA ，OB OA OC 所以 表示的复数为(32i)(24i)16i.OB 反思与感悟 (1)常用技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常 见 结 论 ： 在 复 平 面 内 ， z1， z2对 应 的 点 分 别 为 A， B， z1
7、z2对 应 的 点 为 C， O 为 坐 标 原点四边形 OACB 为平行四边形若| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为矩形若| z1| z2|，则四边形 OACB 为菱形若| z1| z2|且| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为正方形4跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量 ， 表示的复数分别是2i,32i，则OA AB | |_.OB (2)若 z12i， z23 ai，复数 z2 z1所对应的点在第四象限内，则实数 a 的取值范围是_答案 (1) (2)(，1)10解析 (1) ，OB OA AB 表示的复数为(2i)(32i)13i，OB | |
8、.OB 12 32 10(2)z2 z11( a1)i，由题意知 a10，即 a1.1已知实数 x， y 满足(1i) x(1i) y2，则 xy 的值是( )A1 B2 C2 D1答案 A解析 (1i) x(1i) y x y( x y)i2，由Error! 得 x y1，则 xy1.2设 z134i， z223i，则 z1 z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 z1 z257i， z1 z2在复平面内对应的点位于第四象限3设 z12 bi， z2 ai，当 z1 z20 时，复数 a bi 为( )A1i B2iC3 D2i答案 D解析
9、由Error!得Error! ， a bi2i.4设 f(z)| z|， z134i， z22i，则 f(z1 z2)等于( )A. B510 5C. D52 25考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 因为 z1 z255i，所以 f(z1 z2) f(55i)|55i|5 .25已知复数 z1( a22)( a4)i， z2 a( a22)i( aR)，且 z1 z2为纯虚数，则a_.答案 1解析 z1 z2( a2 a2)( a4 a22)i( aR)为纯虚数，Error!解得 a1.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的
10、几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1已知复数 z 满足 z(3i)3i，则 z 等于( )A0 B2iC6 D62i答案 D解析 z(3i)(3i)62i.2已知复数 z1( a22)3 ai， z2 a( a22)i，若 z1 z2是纯虚数，那么实数 a 的值为( )A1 B2C2 D2 或 1答案 C解析 z1 z2( a2 a2)( a23 a2)i，由题意知Error! 得 a2.3设复数 z 满足关系式 z| z|2i，那么 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 346答案 D解析 设 z a bi(a
11、， bR)，则 z| z|( a ) bi2i，a2 b2则Error! 解得Error! z i.344复数 z12 i， z2 2i，则 z1 z2等于( )12 12A0 B. i32 52C. i D. i52 52 52 32答案 C解析 z1 z2 i i.(212) (12 2) 52 525在复平面内点 A， B， C 所对应的复数分别为 13i，i，2i，若 ，则点 D 表示AD BC 的复数是( )A13i B3iC35i D53i答案 C解析 点 A， B， C 对应的复数分别为 13i，i,2i， 对应的复数为 22i.设 D(x， y)，BC ，( x1， y3)(2
12、,2)，AD BC Error! 解得Error!点 D 表示的复数为 35i.6已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z1 所对应的向量正确的是( )答案 A解析 由图知 z2i，则 z11i，由复数的几何意义可知，A 正确7复数 z11icos ， z2sin i，则| z1 z2|的最大值为( )7A32 B. 12 2C32 D. 12 2答案 D解析 | z1 z2|(1sin )(cos 1)i| 1 sin 2 1 cos 2 3 2cos sin .3 22cos( 4) max1，|cos( 4)| z1 z2|max 1.3 22 2二、填空题8已知| z|3，且 z3
13、i 是纯虚数，则 z_.答案 3i解析 设 z a bi(a， bR)，则 z3i a bi3i a( b3)i 为纯虚数， a0， b30，又| b|3， b3， z3i.9已知 z1(3 x y)( y4 x)i(x， yR)， z2(4 y2 x)(5 x3 y)i(x， yR)设z z1 z2，且 z132i，则 z1_， z2_.答案 59i 87i解析 z z1 z2(3 x y4 y2 x)( y4 x5 x3 y)i(5 x3 y)( x4 y)i132i，Error!解得Error! z159i， z287i.10.如图所示，在复平面内的四个点 O， A， B， C 恰好构成
14、平行四边形，其中 O 为原点，A， B， C 所对应的复数分别是 zA4 ai， zB68i， zC a bi(a， bR)，则zA zC_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应8答案 24i解析 因为 ，OA OC OB 所以 4 ai( a bi)68i.因为 a， bR，所以Error! 所以Error!所以 zA42i， zC26i，所以 zA zC(42i)(26i)24i.三、解答题11计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解 (1)(12i)(34i)(56i)(135)(246)i18i.(2)5i(34i)(13i)5i(
15、4i)44i.12设 O 为坐标原点已知向量 ， 分别对应复数 z1， z2，且 z1 (10 a2)OZ1 OZ2 3a 5i， z2 (2 a5)i(其中 aR)，若 1 z2可以与任意实数比较大小，求 z1与 z2的21 a z值解 因为 1 z2可以与任意实数比较大小，所以 1 z2R.z z1 z2 (10 a2)i (2 a5)i (2 a a215)iR，z3a 5 21 a ( 3a 5 21 a)所以Error!解得 a3，所以 z1 i， z21i.3813已知复平面内平行四边形 ABCD， A 点对应的复数为 2i，向量 对应的复数为 12i，BA 向量 对应的复数为 3
16、i，求：BC (1)点 C， D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积解 (1)因为向量 对应的复数为 12i，向量 对应的复数为 3i，BA BC 所以向量 对应的复数为(3i)(12i)23i.AC 又 ，OC OA AC 9所以点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i. 因为 ，AD BC 所以向量 对应的复数为 3i，AD 即 (3，1)AD 设 D(x， y)，则 ( x2， y1)(3，1)，AD 所以Error! 解得Error!所以点 D 对应的复数为 5.(2)因为 | | |cos B，BA BC BA BC 所以 cos B .BA BC |BA |BC |
17、 3 2510 210所以 sin B .7210所以 S| | |sin B 7，BA BC 5 10 7210所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.四、探究与拓展14复数 z x yi(x， yR)满足条件| z4i| z2|，则 2x4 y的最小值为( )A2 B4 C4 D162答案 C解析 | z4i| z2|， z x yi，| x( y4)i|( x2) yi|， ，x2 y 42 x 22 y2 x2 y3.则 2x4 y2 x2 2y2 2 4 .2x 2y 23 215集合 M z|z1|1， zC， N z|z1i| z2|， zC，集合 P M N.(1)指出集合 P
18、 在复平面上所表示的图形；(2)求集合 P 中复数模的最大值和最小值解 (1)由| z1|1 可知，集合 M 在复平面内所对应的点集是以点 E(1,0)为圆心，以 1 为10半径的圆的内部及边界；由| z1i| z2|可知，集合 N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线 l，因此集合 P 是圆面截直线 l 所得的一条线段AB，如图所示(2)圆的方程为 x2 y22 x0，直线 l 的方程为 y x1.由Error!得 A ， B .(2 22 ， 22) (2 22 ， 22)| OA| ，| OB| .2 2 2 2点 O 到直线 l 的距离为 ，且过 O 向 l 作垂线，垂足在线段 BE 上， .22 22 2 2集合 P 中复数模的最大值为 ，最小值为 .2 222
