1、12.2.3 待定系数法【选题明细表】知识点、方法 题号待定系数法 1,5,7数形结合与待定系数法 2,4,6,8二次函数综合应用 3,9,10,111.已知一个一次函数的图象过点(1,3),(3,4),则这个函数的解析式为( B )(A)y= x- (B)y= x+(C)y=- x+ (D)y=- x-解析:可将点代入验证或用待定系数法求解.2.如果函数 y=ax+2与 y=bx+3的图象相交于 x轴上一点,那么 a,b的关系是( B )(A)a=b (B)ab=23(C)a+2=b+3 (D)ab=1解析:设两函数图象交于 x轴上的点为(t,0),代入解析式有 a=- ,b=- ,所以 a
2、b= =23.3.(2018北京海淀 19中期中)已知二次函数 f(x),f(0)=6,且 f(3)=f(2)=0,那么这个函数的解析式是( D )(A)f(x)=x2+x+6 (B)f(x)=x2-x+6(C)f(x)=x2+5x+6 (D)f(x)=x2-5x+6解析:法一 由 f(3)=f(2)=0可知二次函数对称轴方程为 x= .四个选项中只有 D选项对称轴方程为 x= .故选 D.法二 因为 f(3)=f(2)=0,所以 2,3是函数图象与 x轴交点的横坐标,因此二次函数的解析式可设为 f(x)=a(x-2)(x-3).结合 f(0)=6可知 a=1.所以选 D.4.已知二次函数的二
3、次项系数为 1,该函数图象与 x轴有且仅有一个交点(2,0),则此二次函数的解析式为 . 解析:由题可设 f(x)=x2+px+q,因为图象与 x轴有且仅有一个交点(2,0),所以(2,0)是抛物线的顶点,即- =2,所以 p=-4,又 f(2)=22-42+q=0,所以 q=4,所以 f(x)=x2-4x+4.2答案:f(x)=x 2-4x+45.(2018北京西城 13中期中)已知一次函数 f(x)=4x+3,且 f(ax+b)=8x+7,则 a-b= . 解析:一次函数 f(x)=4x+3,所以 f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,得 解得 a=2,b=1.所以 a-b=1.答
4、案:16.如图所示,一次函数图象经过点 A,且与正比例函数 y=-x的图象交于点 B,则该一次函数的表达式为( B )(A)y=-x+2(B)y=x+2(C)y=x-2(D)y=-x-2解析:设一次函数解析式为 y=kx+b(k0),由已知可得 A(0,2),B(-1,1)在一次函数图象上.所以 解得所以一次函数表达式为 y=x+2.故选 B.7.二次函数 f(x)=ax2+bx+c经过点(1,7),且有 f(x)f(-2)=-2,则 f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+2x+2 (B)f(x)=x2+4x+2(C)f(x)=x2+4x-2 (D)f(x)=x2+4x+4解析:依
5、题意,f(x)=a(x+2) 2-2,将点(1,7)代入得 7=9a-2.所以 a=1,所以 f(x)=(x+2)2-2=x2+4x+2.故选 B.8.二次函数满足 f(1+x)=f(1-x),且在 x轴上的一个截距为-1,在 y轴上的截距为 3,则其解析式为 . 解析:由 f(1+x)=f(1-x)知二次函数的对称轴为 x=1,且过(-1,0),(0,3),设 f(x)=ax2+bx+c.则 解得答案:f(x)=-x 2+2x+39.已知二次函数 y=f(x),当 x=2时函数取最小值-1,且 f(1)+f(4)=3.(1)求 f(x)的解析式;(2)若 g(x)=f(x)-kx在区间1,4
6、上不单调,求实数 k的取值范围.解:(1)由条件设 f(x)=a(x-2)2-1;又 f(1)+f(4)=3,则 a=1,3所以 f(x)=x2-4x+3.(2)当 x1,4时,由题意,g(x)=x 2-(k+4)x+3,因其在区间1,4上不单调,则有 10)上的最大值.解:(1)设二次函数 f(x)的解析式为 y=a(x-k)2+h,由 f(1)=f(5)知,f(x)图象关于直线 x=3对称,所以 k=3.又 f(x)max=3,所以 h=3.由 f(1)=-5得 a=-2.所以 y=-2(x-3)2+3=-2x2+12x-15.(2)由(1)知,函数 f(x)图象的对称轴为 x=3.当 2+a3,即 03,即 a1时,f(x)在2,3上为增函数,在(3,2+a上为减函数所以 f(x)max=f(3)=3.综上 f(x)max=
