1、12.2 研究匀速圆周运动的规律学习目标 1.知道向心加速度，掌握向心加速度的公式.2.通过实例认识向心力及其方向，理解向心力的作用.3.通过实验探究向心力的大小与哪些因素有关，掌握向心力的公式，能运用向心力的公式进行计算.4.能运用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力和向心加速度一、向心加速度1定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度2大小： a 2Rv2R3方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心4作用向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小二、向心力1定义：在匀速圆周运动中，产生向心加速度的力2公式： F m 或 F m 2R.v2R3向心力大小实
2、验验证：控制变量 探究内容m、 R 相同，改变 探究向心力 F 与 的关系m、 相同，改变 R 探究向心力 F 与 R 的关系 、 R 相同，改变 m 探究向心力 F 与 m 的关系2即学即用1判断下列说法的正误(1)向心加速度的方向时刻指向圆心，方向不变()(2)匀速圆周运动的线速度大小不变，加速度为零()(3)匀速圆周运动的向心力是恒力()(4)做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供了向心力()(5)根据 F m 知，向心力 F 与半径 R 成反比()v2R2在长 0.2 m 的细绳的一端系一小球，质量为 0.5 kg，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以 0.6 m/s 的速度在桌面上做匀
3、速圆周运动，则小球运动的角速度为_，向心加速度为_，所需要的向心力为_答案 3 rad/s 1.8 m/s 2 0.9 N解析 角速度 rad/s3 rad/svR 0.60.2小球运动的向心加速度 a m/s21.8 m/s 2.v2R 0.620.2小球运动所需向心力 F m 0.9 N.v2R一、对向心加速度的理解导学探究 如图 1 甲，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动图 1(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作
4、用，合力沿什么方向？(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？3答案 (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化运动状态发生变化的原因是受到力的作用(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的匀速圆周运动是一种变加速曲线运动知识深化1向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变2向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的
5、大小无影响3圆周运动的性质：不论向心加速度 a 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动4向心加速度的大小a 2R 4 2n2R vFm v2R 4 2RT2(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随转速的增加或周期的减小而增大(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比说明：向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心例 1 关于向心加速度，以下说法中错误的是( )A向心加速
6、度的方向始终与线速度方向垂直B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案 C解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以，向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心，故 A、B、D 正确，C 错误【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的方向例 2 如图 2 所示，一球体绕轴 O1O2以角速度 匀速旋转， A、
7、 B 为球体上两点，下列几4种说法中正确的是( )图 2A A、 B 两点具有相同的角速度B A、 B 两点具有相同的线速度C A、 B 两点的向心加速度的方向都指向球心D A、 B 两点的向心加速度之比为 21答案 A解析 A、 B 为球体上两点，因此， A、 B 两点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同，A 对；如图所示， A 以 P 为圆心做圆周运动， B 以 Q 为圆心做圆周运动，因此， A、 B 两点的向心加速度方向分别指向 P、 Q，C 错；设球的半径为 R，则 A 运动的半径 rA Rsin 60，B 运动的半径 rB Rsin 30， ，B 错； ，D 错vAvB rA
8、 rB sin 60sin 30 3 aAaB 2rA 2rB 3【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】向心加速度有关的比值问题例 3 如图 3 所示， O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为 r1， O2为从动轮的轴心，从动轮半径为 r2， r3为固定在从动轮上的小轮半径已知 r22 r1， r31.5 r1.A、 B、 C 分别是三个轮边缘上的点，则点 A、 B、 C 的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )图 3A123 B243 C843 D362答案 C解析 因为皮带不打滑， A 点与 B 点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率根据向心加速度公式 a ，可得 aA aB r
9、2 r121.由于 B、 C 是固定在一起的轮上的两点，所v2r5以它们的角速度相同根据向心加速度公式 a r 2，可得 aB aC r2 r321.5.由此得aA aB aC843，故选 C.【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系在比较传动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正
10、比二、向心力导学探究 如图 4 所示，小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动图 4(1)小球受到几个力的作用？什么力提供向心力？(2)向心力的作用效果是什么？向心力是做圆周运动的物体受到的某个真实的力吗？答案 (1)小球受重力、支持力、拉力三个力的作用，拉力提供向心力(2)向心力的作用效果是改变小球的速度方向，它是由某个力或几个力的合力或某个力的分力来充当，它是效果力，并不是物体真实受的力知识深化1向心力大小： F ma m m 2R mv mR( )2.v2R 2T2作用效果改变线速度的方向由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小3向心力的来源向心力是根据
11、力的作用效果命名的它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体沿切线方向的加速度为零，即切线方向的合力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力产生向心加速度(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小例 4 (多选)如图 5 所示，用长为 L 的细线拴住一个质量为 M 的小球，使小球在水平面内6做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为 ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )图 5A小球受到重力、线的拉力和向心力三个
12、力B向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力C向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力D向心力的大小等于 Mgtan 答案 BCD【考点】向心力来源的分析【题点】圆锥摆运动的向心力来源分析例 5 如图 6 所示，水平转盘上放有质量为 m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为 r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：图 6(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度 0.(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小3 g2r答案 (1) (2) mg gr 12解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，则mg m 02r，得
13、 0 gr(2)当 时， 0，所以绳子的拉力 T 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，3 g2rT mg m 2r即 T mg m r，得 T mg .3 g2r 127匀速圆周运动解题策略在解决匀速圆周运动问题的过程中，要注意以下几个方面：(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解1(向心加速度的理解)(多选)关于向心加速度，下列说法正确的是( )A向心加速度是描述线速度变化快慢的物理量B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C向心加速度大小恒
14、定，方向时刻改变D物体做变速圆周运动时，向心加速度的大小也可用 a 来计算v2r答案 BD解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，A 错误，B 正确匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C 错误公式 a 也适用于变v2r速圆周运动，D 正确【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的意义2(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( )A向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力B做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用C向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力
15、，或者是某一个力的分力D向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小答案 ACD解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的某个力，也可以是物体受到的力的合力，还可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力向心力时刻指向圆心，与速度方向垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，A、C、D 正确3(传动装置中向心加速度的计算)自行车的小齿轮 A、大齿轮 B、后轮 C 是相互关联的三个传动部分，且半径 RB4 RA、 RC8 RA，如图 7 所示当自行车正常骑行时 A、 B、 C 三轮边缘8上的点的向心加速度的大小之比 aA aB aC等于( )图 7A1
16、18 B414C4132 D124答案 C解析 由于 A 轮和 C 轮共轴，故两轮角速度相同，由 a R 2可得， aA aC18；由于 A轮和 B 轮是链条传动，故 A、 B 两轮边缘上点的线速度大小相等，由 a ，可得v2RaA aB41，所以 aA aB aC4132，C 正确【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题4( 圆 周 运 动 的 向 心 力 及 有 关 计 算 )长 为 L 的 细 线 ， 拴 一 质 量 为 m 的 小 球 ， 细 线 上 端 固 定 ， 让小 球 在 水 平 面 内 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 如 图 8 所 示 ，
17、 求 细 线 与 竖 直 方 向 成 角 时 ： (重 力 加 速 度 为g)图 8(1)细线中的拉力大小(2)小球运动的线速度的大小答案 (1) (2)mgcos gLsin tan 解析 (1)小球受重力及细线的拉力两力作用，如图所示，竖直方向 Tcos mg，故拉力T .mgcos (2)小球做圆周运动的半径 r Lsin ，向心力 F Tsin mgtan ，9而 F m ，v2r故小球的线速度 v .gLsin tan 一、选择题考点一 向心加速度的理解1关于向心加速度，下列说法正确的是( )A由 a 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定v2rB匀速圆周运动不属于匀速运动C向心加速度越大
18、，物体速率变化越快D做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心答案 B解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以 A 错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B 对；向心加速度不改变速率，C 错；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D 错【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的意义2如图 1 所示是 A、 B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中 A 为双曲线的一支，由图可知( )图 1A A 物体运动的线速度大小不变B A 物体运动的角速度大小不变C B 物体运动的角速度大小是变化的D B 物体
19、运动的线速度大小不变答案 A解析 根据 a 知，当线速度 v 大小为定值时， a 与 r 成反比，其图像为双曲线的一支；v2r根据 a r 2知，当角速度 大小为定值时， a 与 r 成正比，其图像为过原点的倾斜直线，所以 A 正确10【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解3.如图 2 所示，质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块( )图 2A加速度为零B加速度恒定C加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案 D解析 由题意知，木块做匀速圆
20、周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A、B、C 错误【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的方向考点二 向心力的理解4对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )A做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C向心力一定是物体所受的合外力D向心力和向心加速度的方向都是不变的答案 B解析 做匀速圆周运动的物体向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A 错；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B 对；只有做匀速圆周运动的物体的向心力是由物体所受合外力提供
21、，C 错；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D 错【考点】对向心力的理解【题点】对向心力的理解5.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图 3 所示，则此时( )11图 3A衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用B衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的C筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小D筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大答案 A解析 衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力三个力的作用，其中筒壁的弹力提供其做圆周运动的向心力，A 正确，B 错误；由于重力与静摩擦力保持平衡，所以摩擦力不随转速的变化而变化，C、D 错误【考点】对向心力的理解【题点】对向心力的理解6如图
22、4 所示，水平圆盘上叠放着两个物块 A 和 B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )图 4A物块 A 不受摩擦力作用B物块 B 受 5 个力作用C当转速增大时， A 所受摩擦力增大， B 所受摩擦力减小D A 对 B 的摩擦力方向沿半径指向转轴答案 B解析 物块 A 受到的摩擦力充当向心力，A 错误；物块 B 受到重力、支持力、 A 对物块 B 的压力、 A 对物块 B 沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块 B 沿半径指向转轴的静摩擦力，共 5个力的作用，B 正确，D 错误；当转速增大时， A、 B 所受摩擦力都增大，C 错误【考点】向心力来源的分析【题点】水平面内
23、匀速圆周运动的向心力来源分析考点三 向心加速度的计算127(多选)如图 5 所示，一个球绕中心轴线 OO以角速度 做匀速圆周运动， 30，则( )图 5A a、 b 两点的线速度相同B a、 b 两点的角速度相同C a、 b 两点的线速度之比 va vb2 3D a、 b 两点的向心加速度之比 aa ab 23答案 BD解析 球 绕 中 心 轴 线 转 动 ， 球 上 各 点 应 具 有 相 同 的 周 期 和 角 速 度 ， 即 a b， B 对 ； 因 为a、 b 两 点 做 圆 周 运 动 的 半 径 不 同 ， rb ra， 根 据 v r 知 vb va， A 错 ； 30， 设 球
24、 半径 为 R， 则 rb R， ra Rcos 30 R， 故 ， C 错 ； 又 根 据 a 2r 知 32 vavb ara brb 32 aaab ， D 对 a2ra b2rb 32【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的同轴传动问题8(多选)如图 6 所示的靠轮传动装置中右轮半径为 2r， a 为它边缘上的一点， b 为轮上的一点， b 距轴的距离为 r.左侧为一轮轴，大轮的半径为 4r， d 为它边缘上的一点，小轮的半径为 r， c 为它边缘上的一点若传动中靠轮不打滑，则( )图 6A b 点与 d 点的线速度大小相等B a 点与 c 点的线速度大小相等C
25、 c 点与 b 点的角速度大小相等D a 点与 d 点的向心加速度大小之比为 18答案 BD解析 c、 d 轮共轴转动，角速度相等，根据 v r 知， d 点的线速度大于 c 点的线速度，13而 a、 c 的线速度大小相等， a、 b 两点的角速度相等，则 a 点的线速度大于 b 点的线速度，所以 d 点的线速度大于 b 点的线速度，A 错误，B 正确 a、 c 两点的线速度相等，半径之比为 21，根据 ，知 a、 c 两点的角速度之比为 12， a、 b 两点的角速度相等，所以vrb、 c 两点的角速度大小不等，C 错误 a、 c 两点的线速度大小相等，半径之比为 21，根据 a 知 a、
26、c 两点的向心加速度之比为 12， c、 d 轮共轴转动，角速度相等，半径之比v2r为 14，根据 a 2r 知 c、 d 两点的向心加速度之比为 14，所以 a、 d 两点的向心加速度之比为 18，D 正确【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题9(多选)如图 7 所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为 r13 r， r22 r， r34 r； A、 B、 C 三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、 a2、 a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )图 7A. B. a1a2 32 a1a2 23C. D. a2a3
27、 21 a2a3 12答案 BD解析 由于皮带不打滑， v1 v2， a ，故 ，A 错，B 对由于右边两轮共轴转v2r a1a2 r2r1 23动， 2 3， a r 2， ，C 错，D 对a2a3 r2r3 12【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题考点四 向心力的有关计算10(多选)如图 8 所示，将一质量为 m 的摆球用长为 L 的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，下列说法正确的是( )14图 8A摆球受重力、拉力和向心力的作用B摆球受重力和拉力的作用C摆球运动的周期为 2 Lcos
28、gD摆球运动的转速为 sin gLcos 答案 BC解析 摆球受重力和绳子拉力两个力的作用，设摆球做匀速圆周运动的周期为 T，则 mgtan m r，4 2T2r Lsin ， T2 ，转速 n ，B、C 正确，A、D 错误Lcos g 1T 12 gLcos 【考点】圆锥摆类模型【题点】类圆锥摆的动力学问题分析11(多选)如图 9 所示， A、 B 两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴 OO匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动若两球质量之比 mA mB21，那么关于 A、 B 两球的下列说法中正确的是( )图 9A A、 B 两球受到的向心力之比为 21B A、 B 两球
29、的角速度之比为 11C A、 B 两球的运动半径之比为 12D A、 B 两球的向心加速度之比为 12答案 BCD解析 两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A 错误，B 正确设两球的运动半径分别为 rA、 rB，转动角速度为 ，则 mArA 2 mBrB 2，所以运动半径之比为 rA rB12，C 正确由牛顿第二定律 F ma 可知 aA aB12，D正确【考点】向心力公式的简单应用【题点】水平面内圆周运动的动力学问题二、非选择题12(向心力的有关计算)如图 10 所示，有一质量为 m1的小球 A 与质量为 m2的物块 B 通过轻15绳相连，轻绳穿过光滑水
30、平板中央的小孔 O.当小球 A 在水平板上绕 O 点做半径为 r 的匀速圆周运动时，物块 B 刚好保持静止求：(重力加速度为 g)图 10(1)轻绳的拉力大小(2)小球 A 运动的线速度大小答案 (1) m2g (2)m2grm1解析 (1)物块 B 受力平衡，故轻绳拉力 T m2g(2)小球 A 做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力 T，根据牛顿第二定律 m2g m1v2r解得 v .m2grm113(向心力的有关计算)如图 11 所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为 m1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 37，当小球在水平面内绕锥体
31、的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为 T.求：( g取 10 m/s2，结果可用根式表示)图 11(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 0至少为多大(2)若细线与竖直方向的夹角为 60，则小球的角速度 为多大答案 (1) rad/s (2)2 rad/s522 5解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，如图所示小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面内，故向心力水平，运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan m 02lsin 解得： 02glcos 16即 0 rad/s.glcos 522(2)当细线与竖直方向成 60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得： mgtan m 2lsin 解得： 2 ，glcos 即 2 rad/s.glcos 5
