1、1第 2 章 研究圆周运动章末总结一、圆周运动的动力学问题1分析物体的运动情况，明确圆周轨道在怎样的一个平面内，确定圆心在何处，半径是多大2分析物体的受力情况，弄清向心力的来源，跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样，2解圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行受力分析，画出受力示意图3由牛顿第二定律 F ma 列方程求解相应问题，其中 F 是指向圆心方向的合外力(向心力)，a 是向心加速度例 1 如 图 1 所 示 ， 一 根 长 为 L 2.5 m 的 轻 绳 两 端 分 别 固 定 在 一 根 竖 直 棒 上 的 A、 B 两 点 ，一 个 质 量 为 m 0.6 kg 的 光 滑 小
2、圆 环 C 套 在 绳 子 上 ， 当 竖 直 棒 以 一 定 的 角 速 度 转 动 时 ， 圆环 C 在 以 B 为 圆 心 的 水 平 面 上 做 匀 速 圆 周 运 动 ( 37， g 10 m/s2， sin 37 0.6， cos 37 0.8)， 则 ：图 1(1)此时轻绳上的张力大小等于多少？(2)竖直棒转动的角速度为多大？答案 (1)10 N (2)3 rad/s3解析 对圆环受力分析如图(1)圆环在竖直方向所受合外力为零，得： Tsin mg，所以 T 10 N，即绳子的张力为 10 N.mgsin (2)圆环 C 在水平面内做匀速圆周运动，由于圆环光滑，所以圆环两端绳的拉
3、力大小相等 BC 段绳水平时，圆环 C 做圆周运动的半径 r BC，则有： r L，解得： r rcos 109m则： Tcos T mr 2，解得： 3 rad/s.3二、圆周运动中的临界问题1临界状态：当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现” ，也可理解为“恰好不出现” 2轻绳类：轻绳拴球在竖直面内做圆周运动，过最高点时，临界速度为 v ，此时 F 绳gr30.3轻杆类：(1)小球能过最高点的临界条件： v0；(2)当 0 v 时， F 为支持力；gr(3)当 v 时， F0；gr(4)当 v 时， F 为拉力gr4
4、.汽车过拱形桥：如图 2 所示，当压力为零时，即 G m 0， v ，这个速度是汽车能v2R gR正常过拱形桥的临界速度 v 是汽车安全过桥的条件gR图 25摩擦力提供向心力：如图 3 所示，物体随着水平圆盘一起转动，物体做圆周运动的向心力等于静摩擦力，当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由 fm m 得 vm vm2r，这就是物体以半径 r 做圆周运动的临界速度fmrm图 3例 2 如图 4 所示， AB 为半径为 R 的光滑金属导轨(导轨厚度不计)， a、 b 为分别沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球(可看做质点)，要使小球不脱离导轨，则 a、 b 在导轨最高点的速度 va、 v
5、b应满足什么条件？图 4答案 va vbgR gR解析 对 a 球在最高点，由牛顿第二定律得：mag Na ma va2R要使 a 球不脱离轨道，4则 Na0由得： va gR对 b 球在最高点，由牛顿第二定律得：mbg Nb mb vb2R要使 b 球不脱离轨道，则 Nb0由得： vb .gR针对训练 如图 5 所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30， g 取 10 32m/s2，则 的最大值是( )图 5A.
6、rad/s B. rad/s5 3C1.0 rad/s D0.5 rad/s答案 C解析 当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得： mg cos 30 mgsin 30 m 2r则 rad/s1.0 rad/s，故选项 Cg cos 30 sin 30r 1032 32 122.5正确三、圆周运动与平抛运动结合的问题例 3 如图 6 所示，一水平轨道与一竖直半圆轨道相接，半圆轨道半径为 R1.6 m，小球沿水平轨道进入半圆轨道，恰能从半圆轨道顶端水平射出求：(不计空气阻力， g 取 10 m/s2)图 6(1)小球射出后在水平轨道上的落点与出射
7、点的水平距离；5(2)小球落到水平轨道上时的速度大小答案 (1)3.2 m (2)4 m/s5解析 因为小球恰能从半圆轨道顶端水平射出，则在顶端小球由重力充当向心力有： mg mv02R所以 v0 4 m/sgR(1)水平射出后小球做平抛运动，则有：竖直方向：2 R gt212水平方向： s v0t所以解得 s3.2 m(2)因为： vy gt8 m/s所以： v 4 m/sv02 vy2 5例 4 如图 7 所示，一个人用一根长 1 m、只能承受 74 N 拉力的绳子，拴着一个质量为 1 kg 的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心 O 离地面高 h6 m转动中小球在最低点时绳子恰好断了(取 g10 m/s 2，不计空气阻力)图 7(1)绳子断时小球运动的角速度为多大？(2)绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离是多少？答案 (1)8 rad/s (2)8 m解析 (1)设绳断时角速度为 ，由牛顿第二定律得，T mg m 2L，由题意知 T73 N，代入数据得 8 rad/s.(2)绳断后，小球做平抛运动，其初速度 v0 L 8 m/s.由平抛运动规律有 h L gt2.12得 t1 s水平距离 s v0t8 m.
