1、1第 1 课时 组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题知识点一 组合的定义思考 从 3,5,7,11 中任取两个数相除；从 3,5,7,11 中任取两个数相乘以上两个问题中哪个是排列？与有何不同特点？答案 是排列，中选取的两个数是有序的，中选取的两个数无需排列梳理 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合知识点二 组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从 n 个不同元
2、素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 C 表示.mn乘积形式 C mnnn 1n 2n m 1m！组合数公式 阶乘形式 C mnn！m！ n m！性质C Cmn n mnC C Cmn 1 mn m 1n备注 规定 C 10n1从 a1， a2， a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 C .( )232从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C 个积( )243C 54360.( )354C C 2 017.( )2 0167 12 0172类型一 组合概念的理解例 1 给出下列问题：(1)a， b， c， d 四支
3、足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a， b， c， d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班 40 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班 40 人中选出 3 人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点 组合的概念题点 组合的判断解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题(3)3 人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题(4)3 人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题反思与感悟 区分排列与组合的办法是
4、首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题跟踪训练 1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果(1)集合0,1,2,3,4的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有 9 位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出 2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点 组合的概念题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从 0,1,2,3
5、,4 中取出 3 个数组成的集合这是一个组合问题，组合的个数是 C 10.35(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是 A 9872，所以选正、副29班长共有 72 种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有 C 36(种)293类型二 组合数公式及性质的应用命 题 角 度 1 有 关 组 合 数 的 计 算 与 证 明例 2 (1)计算 C C A ；410 37 3考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式C A 7652102100.410 37109874321(2)求证：C C .mnm 1n 1m 1n考点 组合数公式题
6、点 组合数公式的应用(2)证明 因为右边 C C ，m 1n 1m 1n m 1n 1 n 1！m 1！ n m！ n！m！ n m！ mn左边C ，所以左边右边，所以原式成立mn反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 C 计算mnAmnAm nn 1n 2n m 1m！(2)涉及字母的可以用阶乘式 C 计算mnn！m！ n m！(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：C C ；C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n跟踪训练 2 (1)计算 C C C C 的值为( )34 35 36 32 017AC BC42 017 52 017CC 1 DC 142 018 52
7、 017(2)计算 C C _.98100 199200考点 组合数性质题点 的性质计算与证明答案 (1)C (2)5 150解析 (1)C C C C34 35 36 32 017C C C C C C4 34 35 36 32 017 4C C C 145 35 32 017C C 1C 1.42 017 32 017 42 018(2)C C C C98100 199200 2100 1200 2005 150.1009924命 题 角 度 2 含 组 合 数 的 方 程 或 不 等 式例 3 (1)已知 ，求 C C ；1Cm5 1Cm6 710Cm7 m8 5 m8(2)解不等式 C
8、 C .4n 6n考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题解 (1) ，1Cm5 1Cm6 710Cm7 ，m！ 5 m！5！ m！ 6 m！6！ 77 m！ m！107！即 m！ 5 m！5！ m！ 6 m5 m！65！ .7m！ 7 m6 m5 m！10765！1 ，6 m6 7 m6 m60即 m223 m420，解得 m2 或 21.0 m5， m2，C C C C C 84.m8 5 m8 28 38 39(2)由 C C ，得Error!4n 6n即Error! 解得Error!又 nN *，该不等式的解集为6,7,8,9反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而
9、产生增根的错误，注意不要忽略 nN *.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 C 中的 mN *， nN *，且 n m 确定 m， n 的范围，因此求解后要验证所mn得结果是否适合题意跟踪训练 3 解方程 3C 5A .x 7 3 2x 4考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题解 原式可变形为 3C 5A ，4x 3 2x 4即3x 3x 4x 5x 643215( x4)( x5)，所以( x3)( x6)54285.所以 x11 或 x2(舍去)经检验符合题意，所以方程的解为 x11.5类型三 简单的组合问题例
10、4 有 10 名教师，其中 6 名男教师，4 名女教师(1)现要从中选 2 名去参加会议，有_种不同的选法；(2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有_种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有_种不同的选法考点 组合的应用题点 无限制条件的组合问题答案 (1)45 (2)21 (3)90解析 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C 45(种)21010921(2)可把问题分两类情况：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 种方法；26第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C 种方法
11、24根据分类加法计算原理，共有 C C 15621(种)不同选法26 24(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C 种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C 种，根据分26 24步乘法计数原理，共有不同的选法 C C 90(种)26 246521 4321反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏跟踪训练 4 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球(1)从口袋内
12、取出的 3 个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种数是 C 56.38876321(2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是C 21.2776216(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C 3735.7653211给出下列问题：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加 2
13、个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？有 4 张电影票，要在 7 人中选出 4 人去观看，有多少种不同的选法？某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A3 B2 C1 D0考点 组合的概念题点 组合的判断答案 B解析 与顺序有关，是排列问题，均与顺序无关，是组合问题，故选 B.2集合 M x|xC ， n0 且 nN，集合 Q1,2,3,4，则下列结论正确的是 ( )n4A M Q0,1,2,3,4 B QMC MQ D M Q1,4考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算答案 D解析 由 C 知 n0,1,2,3,
14、4，因为 C 1，C 4，C 6，C C 4，C 1，n4 04 14 24432 34 14 4所以 M1,4,6故 M Q1,43若 C C ，则 n 等于( )n12 2n 312A3 B5 C3 或 5 D15考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析 由组合数的性质得 n2 n3 或 n2 n312，解得 n3 或 n5，故选 C.4某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 5 门，一位同学要从中选 3 门，若要求两类课程中至少各选 1 门，则不同的选法共有( )A15 种 B30 种 C45 种 D90 种7考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案
15、 C解析 分两类， A 类选修课选 1 门， B 类选修课选 2 门，或者 A 类选修课选 2 门， B 类选修课选 1 门，因此，共有 C C C C 45(种)选法13 25 23 155五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成_条线段；如果是有向线段，共有_条考点 组合的概念题点 组合的判断答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有 C 10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对25应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是 A 20.所以有向线段共有 20 条251排列与组合的联系与区别(1
16、)联系：二者都是从 n 个不同的元素中取 m(m n)个元素(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序2关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式 C 计算；mnAmnAm nn 1n 2n m 1m！(2)涉及字母的可以用阶乘式 C 计算mnn！m！ n m！(3)组合数的两个性质：性质 1：C C ；mn n mn性质 2：C C C .mn 1 mn m 1n一、选择题1以下四个问题，属于组合问题的是( )A从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星D从 13 位
17、司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念8题点 组合的判断答案 C解析 只有从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星，与顺序无关，是组合问题2. 等于( )A3101C2100 C97100A. B10116C. D61107考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算答案 D解析 A 6.A3101C2100 C97100 A3101C2100 C3100 A3101C3101 33下列等式不正确的是( )AC BC Cmnn！m！ n m！ mn n mnCC C C DC Cmn 1 mn m 1n mn m 1n考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 D解析 A
18、 是组合数公式；B，C 是组合数性质；C ，C ，mnn！m！ n m！ m 1n n 1！m 1！ n m！两者不相等，故 D 错误4若 A 6C ，则 n 的值为( )3n 4nA6 B7 C8 D9考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题答案 B解析 由题意知 n(n1)( n2)6 ，nn 1n 2n 34321化简得 1，所以 n7.n 345把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，则分法有( )AA 种 BC 种310 310CC A 种 D30 种310 3109考点 组合的应用题点 无限制条件的组合问题答案 B解析 三张票没区别，从 10 人中选 3 人即可，即
19、C .3106将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A24 种 B10 种C12 种 D9 种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 C解析 第一步，为甲地选 1 名女教师，有 C 2(种)选法；第二步，为甲地选 2 名男教师，12有 C 6(种)选法；第三步，剩下的 3 名教师到乙地，故不同的安排方案共有2426112(种)，故选 C.7现有 6 个白球，4 个黑球，任取 4 个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A115 B90 C210 D385考点 组合的应用题点
20、 有限制条件的组合问题答案 A解析 依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有 C C 90(种)；三个黑球，有2426C C 24(种)；四个黑球，有 C 1(种)根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的3416 4取法种数是 90241115，故选 A.8对于所有满足 1 m n5 的自然数 m， n，方程 x2C y21 所表示的不同椭圆的个数为mn( )A15 B7 C6 D0考点 组合数性质题点 利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析 因为 1 m n5，且方程表示椭圆，所以 C 可能为mnC ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ， C ，C ，其中 C C ，C C ，C
21、C ，C C ，所12 13 23 14 24 34 15 25 35 45 13 23 14 34 15 45 25 35以 x2C y21 能表示的不同椭圆有 6 个mn二、填空题9从 2,3,5,7 四个数中任取两个不同的数相乘，有 m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有 n 个不同的商，则 m n_.10考点 组合的概念题点 组合的判断答案 12解析 mC ， nA ， m n12.24 2410从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖、2 名二等奖、3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有 C
22、 C C 6 160(种)1625354211不等式 C n5 的解集为_2n考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题答案 2,3,4解析 由 C n5，得 n5，2nnn 12即 n23 n100，解得2 n5.由题意知 n2，且 nN *，则 n2,3,4，故原不等式的解集为2,3,4三、解答题12已知 C ，C ，C 成等差数列，求 C 的值4n 5n 6n 12n考点 组合数公式题点 组合数公式的应用解 由已知得 2C C C ，5n 4n 6n所以 2n！5！ n 5！ ，n！4！ n 4！ n！6！ n 6！整理得 n221 n980，解得 n7 或 n14，要求 C
23、的值，故 n12，12n所以 n14，11于是 C C 91.124 21414132113在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选 5 人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C 792(种)不同的选法512(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外 9 人中选 2 人，是组合问题，共有C 36(种)不同的选法29(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 C 126(
24、种)不同的选59法四、探究与拓展14以下三个式子：C ；A nA ；C C .其中正确的个数是mnAmnm！ mn m 1n mn m 1n m 1n m_考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 式显然成立；式中 A n(n1)( n2)( n m1)，A ( n1)( n2)( n m1)，mn m 1n所以 A nA ，故式成立；mn m 1n对于式 C C ，故 式成立mn m 1nCmnCm 1n Amnm 1！m！ Am 1n m 1n m15某届世界杯举办期间，共 32 支球队参加比赛，它们先分成 8 个小组进行循环赛，决出16 强(每队均与本组其他队赛 1 场，各组第
25、一、二名晋级 16 强)，这 16 支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有 C 6(场)，8 个小组共有 48 场；(2)八24分之一淘汰赛，8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据赛制规则，每 2 支球队一组，每组比赛 1 场，可以决出 8 强，共有 8 场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8 强中每 2 支12球队一组，每组比赛 1 场，可以决出 4 强，共有 4 场；(4)半决赛，根据赛制规则，4 强每2 支球队一组，每组比赛 1 场，可以决出 2 强，共有 2 场；(5)决赛，2 强比赛 1 场确定冠、亚军，4 强中的另 2 支球队比赛 1 场决出第三、四名，共有 2 场综上，由分类加法计数原理知，总共将进行 48842264(场)比赛
