1、1培优点八 平面向量1代数法例 1：已知向量 a， b满足 =3， 2b，且 ab，则 在 a方向上的投影为（ ）A3 B 3C32D32【答案】C【解析】考虑 b在 a上的投影为ab，所以只需求出 a， b即可由 a可得： 20，所以 9b进而93ab故选 C2几何法例 2：设 a， b是两个非零向量，且 2ab，则 =ab_【答案】 3【解析】可知 ， ， ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由 2ab可知满足条件的只能是底角为 60o，边长 2a的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为 32a3建立直角坐标系例 3：在边长为 1 的正三角形 ABC中，设 2BDuv， 3CAEuv，则
2、ADBEuv_2B CADE【答案】14ADBEuv【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：30,2A，1,0B，,2C，下面求 E坐标：令 ,xy，1,2CExyuv，13,2CAuv，由 3CAEuv可得：13236yy，13,6E，0,2D，53,6Buv， 4ADBuv对点增分集训一、单选题1已知向量 a， b满足 1， 2b，且向量 a， b的夹角为 4，若 ab与 垂直，则3实数 的值为（ ）A12B12C24D24【答案】D【解析】因为12cos4ab，所以22
3、404ab，故选 D2已知向量 ， 满足 ， 2b， 7，则 （ ）A1 B C 3D2【答案】A【解析】由题意可得：221427ababab，则 1ab故选 A3如图，平行四边形 ABCD中， ， AD， 60o，点 M在 B边上，且1AM，则 Duv（ ）A 1B1 C3D3【答案】B【解析】因为 3MA，所以 DABuv，13MABAuvuv，则221143DBD uvv423故选 B4如图，在 ABC 中， E是边 AC的中线， O是 E边的中点，若 ABuva， Cb，则 Ouv（ ）4A12abB124abC142abD14ab【答案】B【解析】由题意，在 AC 中， E是边 A的
4、中线，所以AECuv，又因为 O是 E边的中点，所以 12OBuvv，所以 11224ABuvvab，故选 B5在梯形 CD中， A ， 1CD， 2A， 120CDo，动点 P和 Q分别在线段 B和 上，且 BPuv， 8Quv，则 PQuv的最大值为（ ）A 2B32C34D98【答案】D【解析】因为 CD ， 1， 2AB， 120o，所以 AB是直角梯形，且 3M， 3C，以 所在直线为 x轴，以 所在直线为 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为 BPCuv，18DQuv，动点 P和 Q分别在线段 BC和 D上，则 01， ， 2， ， ,3，138，5所以1123235488AP
5、BQuv， ，令154f且 0， ，由基本不等式可知，当 时可取得最大值，则max19148ff故选 D6已知 ABC 中， 2， 4AC， 60B， P为线段 AC上任意一点，则Puv的范围是（ ）A 14， B 04， C94，D 24，【答案】C【解析】根据题意， AC 中， 2， 4A， 60B，则根据余弦定理可得2416cos6012B，即 23C ABC 为直角三角形以 B为原点， C为 x轴， A为 y轴建立坐标系，则 A， ， 0， ，则线段 AC的方程为123xy， 023x设 ,Pxy，则22410334BPxyyxxuv， ， 023，944Cuv故选 C7已知非零向量
6、a， b，满足2ab且 320ab，则 a与 b的夹角为（ ）6A 4B 2C34D 【答案】A【解析】非零向量 a， b，满足 2ab且 320ab，则 320ab， 2230ab，223cos0ab，2 21cos0，cos2， 4， a与 b的夹角为 4，故选 A8在 RtABC 中斜边 ，以 A为中点的线段 2PQa，则 BCuv的最大值为（ ）A 2B0 C2 D 2【答案】B【解析】在 RtAC 中斜边 a， BA， A为线段 PQ中点，且 2，原式 2 22cosaBaQCaAQBauvuvuvuv，当 cos1时，有最大值， 0PC故选 B9设向量 a， b， c，满足 1ab
7、 2， 6,0oabc，则 c的最大值等于（ ）A1 B 2C 3D2【答案】D【解析】设 Ouva， b， Ouvc，因为12ab， 6,0oabc，所以 120AB， 60ACB，所以 ， A， B， C四点共圆，因为 b， 2223，所以 3，7由正弦定理知22sin10ABR，即过 O， A， B， C四点的圆的直径为 2，所以 c的最大值等于直径 2，故选 D10已知 a与 b为单位向量，且 ab，向量 c满足 ab，则 c的取值范围为（ ）A 1,2 B 2,C , D 3,2【答案】B【解析】由 a， b是单位向量， 0ab，可设 1,0a， ,1b， ,xyc，由向量 c满足
8、 2， 1,2xy， 21xy，即24，其圆心 1,C，半径 2r， OC， xyc故选 B11平行四边形 ABD中， Cuv， B在 Auv上投影的数量分别为 3， 1，则 BDuv在 C上的投影的取值范围是（ ）A 1,B 1,3C 0,D 0,【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设 ,Ba，则 3,Cb， 1,Dab，则 31a，解得 2a所以 ,， , Buv在 C上的摄影2cos1cosBMDbuv，当 0b时， cos1，得到： 1，当 b时， 0， BM，故选 A12如图，在等腰直角三角形 A中， 2A， ， E是线段 C上的点，且813DEBC，则 AEuv的取值范围是
9、 ）A84,93B48,3C8,93D4,3【答案】A【解析】如图所示，以 C所在直线为 x轴，以 B的中垂线为 y轴建立平面直角坐标系，则 0,1A， ,0B， 1,C，设 ,0Dx，则2,03Ex，13x据此有 ,Dxuv，2,3AEuv，则221839Ax据此可知，当x时， ADEuv取得最小值 ；当 1x或 3时， 取得最大值43；ADEuv的取值范围是84,9故选 A二、填空题13已知向量 1,2a， ,2b， 1,c，若 2cab，则 _9【答案】12【解析】因为 ,a， 2,b，所以 24,ab，又 1,c，且 c，则 4，即114若向量 a， b满足 1， 2b，且 ab，则
10、 a与 的夹角为_【答案】34【解析】由 ab得， 0ab，即 20ab，据此可得2cos,，12cos,，又 a与 b的夹角的取值范围为 0,，故 a与 b的夹角为3415已知正方形 ABCD的边长为 2， E是 CD上的一个动点，则求 AEBDuv的最大值为_【答案】4【解析】设 ECABuvuv，则 EABuvuv，又 BDA， 2214DDvvvv， 01，当 0时， AEBu取得最大值 4，故答案为 416在 ABC 中， 9， 30， 2C， P为线段 AB上一点，则 PBCuv的取值范围为_【答案】 3,27【解析】以 C为坐标原点， B， CA所在直线为 x， y轴建立直角坐标系，10可得 0,C， ,2A， 3,0B，则直线 AB的方程为123xy，设 ,Pxy，则x， 2， 2,Pxyuv， ,PCxyuv，则| 223BCyuv 22 24814831xxx22163165340284xx，由53,4x，可得 PBCuv的最小值为 ， 时，则 PBCuv的最大值为3 =027，即 PBCuv的取值范围为 3,27故答案为 ,27
