1、13.2 三角变换与解三角形【课时作业】A 级1(2018全国卷)在 ABC 中，cos ， BC1， AC5，则 AB( )C2 55A4 B2 30C. D229 5解析： cos ，C2 55cos C2cos 2 12 21 .C2 (55) 35在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos C5 21 225132，(35) AB 4 .32 2故选 A.答案： A2(2018山东菏泽 2 月联考)已知 ，sin ，则(32， 2 ) ( 2 ) 13tan(2 )( )A. B427 225C D427 225解析： ，sin ，cos ，sin ，由同
2、角(32， 2 ) ( 2 ) 13 13 223三角函数的商数关系知 tan 2 .tan(2 )tan 2 sin cos 2 2tan 1 tan2 ，故选 A. 421 22 2 427答案： A3已知 ABC 中，内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c，若 A ， b2 acos 3B， c1，则 ABC 的面积等于( )A. B32 342C. D36 38解析： 由正弦定理得 sin B2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin ，又 B(0，)，所以 B ， 3 3 3又 A B，则 ABC 是正三角形， 3所以 S ABC bcsin A 11
3、.12 12 32 34答案： B4若 ，且 3cos 2 4sin ，则 sin 2 的值为( )( 4， ) ( 4 )A. B79 79C D19 19解析： 3(cos 2 sin 2 )2 (cos sin )，因为 ，所以 cos 2 ( 4， ) sin 0，所以 3(cos sin )2 ，即 cos sin ，两边平方可得22231sin 2 sin 2 .89 19答案： C5(2018南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市 A 东偏北 ( 为锐角)的 150 千米处，以 v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 (为锐角)的 200 千米
4、处，若 cos cos ，则 v( )34A60 B80C100 D125解析： 如图，台风中心为 B,2.5 小时后到达点 C，则在 ABC中， ABsin ACsin ，即 sin sin ，又 cos cos 43 34 .sin 2 cos 2 sin2 cos2 1sin 2 cos 2 ，169 916sin cos ，34sin ， cos ， sin ，cos ， cos( )cos cos 35 45 45 353 sin sin 0， ， BC2 AB2 AC2，(2.5 v)35 45 45 35 22150 2200 2，解得 v100，故选 C.答案： C6化简： _
5、.2sin sin 2cos2 2解析： 2sin sin 2cos2 22sin 2sin cos 12 1 cos 4sin .2sin 1 cos 12 1 cos 答案： 4sin 7在 ABC 中， a4， b5， c6，则 _.sin 2Asin C解析： 1.sin 2Asin C 2sin Acos Asin C 2ac b2 c2 a22bc 246 25 36 16256答案： 18(2018开封市高三定位考试)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c， btan B btan A2 ctan B，且 a5， ABC 的面积为 2 ，则 b c 的值为
6、3_解析： 由正弦定理及 btan B btan A2 ctan B，得 sin B sin sin Bcos BB 2sin C ，即 cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，亦即 sin(A B)sin Acos A sin Bcos B2sin Ccos A，故 sin C 2sin Ccos A因为 sin C0 ，所以 cos A ，所以 A .由12 3面积公式，知 S ABC bcsin A2 ，所以 bc8.由余弦定理，知 a2 b2 c22 bccos 12 3A( b c)23 bc，代入可得 b c7.答案： 79(2018浙江卷)已知角 的顶点与
7、原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P .(35， 45)(1)求 sin( )的值；(2)若角 满足 sin( ) ，求 cos 的值5134解析： (1)由角 的终边过点 P ，(35， 45)得 sin .45所以 sin( )sin .45(2)由角 的终边过点 P ，(35， 45)得 cos ，35由 sin( ) ，得 cos( ) .513 1213由 ( ) ，得 cos cos( )cos sin( )sin ，所以 cos 或 cos .5665 166510(2018北京卷)在 ABC 中， a7， b8，cos B .17(1)求 A；(2)求
8、 AC 边上的高解析： (1)在 ABC 中，因为 cos B ，17所以 sin B .1 cos2B437由正弦定理得 sin A .asin Bb 32由题设知 B，所以 0 A . 2 2所以 A . 3(2)在 ABC 中，因为 sin Csin( A B)sin Acos Bcos Asin B ，3314所以 AC 边上的高为 asin C7 .3314 332B 级1(2018河南濮阳一模)已知 ABC 中，sin A，sin B，sin C 成等比数列，则的取值范围是( )sin 2Bsin B cos B5A. B( ，22 (0， 22C(1， ) D2 (0，3 32
9、解析： 由 sin A，sin B，sin C 成等比数列，知 a， b， c，成等比数列，即b2 ac，cos B 2 ，当且仅当a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac (a2c c2a) 12 a2cc2a 12 12a c 时等号成立，可知 B ，设 y ，设 sin Bcos (0， 3 sin 2Bsin B cos B 2sin Bcos Bsin B cos BB t，则 2sin Bcos B t21.由于 tsin Bcos B sin ， B ，所以 t(1， ，故 y2 (B 4) (0， 3 2 t ， t(1， ，因为 y t 在 t(1， 上sin 2Bsi
10、n B cos B 2sin Bcos Bsin B cos B t2 1t 1t 2 1t 2是增函数，所以 y .故选 B.(0，22答案： B2(2018石家庄质量检测(一)如图，平面四边形 ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部， AB1， BC ， AC CD， AC CD，当 ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为2_解析： 设 ABC ， (0，)，则由余弦定理得 AC232 cos ，由正弦2定理得 ，得 sin ACB .在 DCB 中，由余弦定理可得，1sin ACB ACsin sin ACBD2 CD222 CDcos AC222 ACsin ACB32 cos 2
11、 ( 2 ACB) 2 2 22 AC 5 2 (sin cos )54sin ，当 时，2sin AC 2 ( 4) 34max1， BD 9， BDmax3.sin( 4) 2max答案： 33已知向量 a ， b(sin x， sin x)， f(x) ab.(cos( 2 x)， sin( 2 x) 3(1)求函数 f(x)的最小正周期及 f(x)的最大值；6(2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f 1， a2 ，求(A2) 3ABC 面积的最大值解析： (1)易得 a(sin x，cos x)，则 f(x) absin 2x sin xcos
12、 x3 cos 2x sin 2x12 12 32sin ，(2x 6) 12所以 f(x)的最小正周期 T ，22当 2x 2 k， k Z 时， 6 2即 x k( kZ)时， f(x)取最大值是 . 3 32(2)因为 f sin 1，(A2) (A 6) 12所以 sin A .(A 6) 12 3因为 a2 b2 c22 bccos A，所以 12 b2 c2 bc，所以 b2 c2 bc122 bc，所以 bc12(当且仅当 b c 时等号成立)，所以 S bcsin A bc3 .12 34 3所以当 ABC 为等边三角形时面积取最大值是 3 .34如图，在一条海防警戒线上的点
13、A、 B、 C 处各有一个水声检测点， B、 C 两点到 A的距离分别为 20 千米和 50 千米，某时刻 B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 秒后A、 B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米，用 x 表示 B、 C 到 P 的距离，并求出 x 的值；(2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离解析： (1)依题意，有 PA PC x， PB x1.58 x12.在 PAB 中， AB20，cos PAB ，PA2 AB2 PB22PAAB x2 202 x 12 22x20 3x 325x7同理，在 PAC 中， AC50，cos PAC .PA2 AC2 PC22PAAC x2 502 x22x50 25xcos PABcos PAC， ，3x 325x 25x解得 x31.(2)作 PD AC 于点 D，在 ADP 中，由 cos PAD ，2531得 sin PAD ，1 cos2 PAD42131 PD PAsin PAD31 4 .42131 21故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 千米21
