1、1考点 32 数列的综合问题1已知数列 、 满足 ，则数列 的前 10项的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由题可知 ，则数列 即为数列 奇数项，则数列 仍为等比数列，其首项为 公比为原数列 公比的平方，则数列 的前 10项的和为2删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第 2018项是（ ）A B C D 【答案】B3将向 量 组成的系列称为向量列 ，并定义向量列 的前 项和 若，则下列说法中一定正确的是（ ）A B 不存在 ，使得C 对 ，且 ，都有 D 以上说法都不对【答案】C【解析】由 ，则 ，所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以
2、，又当 时， ，2所以当 ，且 时， 是成立的，故选 C.4设等差数列 na的前 项和为 nS，已知 34412061aa， 320120136a，则下列结论正确的是（ ）A 64,S B 201620134,C 2012013a D Sa【答案】D5某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是（参考数据： ） （ ）A 2021 年 B 2020 年 C 2019 年 D 2018 年【答案】C【解析】设第 年开始超过 万元，则 ，化为
3、，取 ，因此开始超过 万元的年份是 年，故选 C.6已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 _3【答案】7对任一实数序列 ，定义新序列 ，它的第 项为 ，假设序列 的所有项都是 ，且 ，则 _【答案】100.【解析】设序列 的首项为 ，则序列 ，则它的第 n项为 ，因此序列 A的第 项 ，则是关于 的二次多项式，其中 的系数为 ，因为 ，所以必有 ，故.8将正整数 分解成两个正整数的乘积有 三种，其中 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 的最佳分解.当 （ 且 ）是正整数 的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 .则 _，数列 （ ）的前 项和为_4【答案】09数列 na的递推公式为 2
4、na， 为 奇 数 时， 为 偶 数 时（ *nN） ，可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则 125_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 8个 3是该数列的第_项.【答案】 8 34【解析】由题得：这个数列各项的值分别为 1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3 1251a又因为 362243aa， ， ，即项的值为 3时，下角码是首项为 3，公比为 2的等比数列所以第 8个 3是该数列的第 3281 =384项故答案为：18，38410在数 1和 2之间插入 n个正数，使得这 n+2个数构成递增等比数列，将这 n+2个数的乘积记为 nA，令*log,nnaAN(1)数列
5、 的通项公式为 na=_；(2) 24622tattantn nT =_【答案】 ; .tan15tan2ta1tan32tan43tan54111nttan, *N故答案为 t2ta1n11已知数列 n满足： 1nn， 12a，记数列 na的前 项之积为 nP，则 201_.【答案】2【解析】因为 11,2nna，所以 21a， 3412,12aa，所以数列 n是以 4为周期的周期数列， 123，6则 67020123012Pa .12已知数列 n满足 2nna，其中 12,a，若 1na对 *N恒成立，则实数 的取值范围为_【答案】 0,13已知数列 na满足 11,nna，若 x表示不超
6、过 x的最大整数，则221017_.【答案】1714已知数列 na中， 102a， *12 3nnanN，记12nnS.若 25S，则 n_.【答案】1343【解析】 a1=a(0a2), *12 3nnaN， a2=a1+3=3a1,3).当 a1,2时,3 a1,2, a3=a2+3=a，当 n=2k1,k N时, a1+a2=a+3a=3, S2k1=3(k1)+a=2015， a=1时舍去， a=2时， k=672，此时 n=1343；815已知无穷数列 naZ的前 n项和为 nS，记 1， 2， nS中奇数的个数为 nb()若 n= n，请写出数列 b的前 5项；()求证：“ 1为奇
7、数， i (i = 2,3,4,.）为偶数”是“数列 nb是单调递增数列”的充分不必要条件；()若 iab，i=1, 2, 3,，求数列 na的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 0.【解析】 （）解： 1=， 2b， 3=， 42b， 5=3 （）证明：（充分性）因为 1a为奇数， ,4i 为偶数，所以，对于任意 *N， iS都为奇数 所以 nb 所以数列 是单调递增数列 9（不必要性）当数列 na中只有 2是奇数，其余项都是偶数时， 1S为偶数， 2,34i 均为奇数，16已知 ， 记 10（ 1）求 的值；（2）化简 的表达式，并证明：对任意的 ， 都能被 整除【答案】
8、(1)30；(2)证明见解析.17若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得数列 na的前 项和 nmSa，则称 n是“回归数列”（ 1）前 项和为 2nS的数列 na是否是“回归数列”？并请说明理由通项公式为 2nb的数列 nb是否是“回归数列”？并请说明理由；（ 2）设 a是等差数列，首项 1，公差 0d，若 na是“回归数列” ，求 d的值（ 3）是否对任意的等差数列 na，总存在两个“回归数列” b和 nc，使得 *nnabcN成11立，请给出你的结论，并说明理由【答案】 （ 1）见解析;（ 2） 1d;（ 3）见解析.12 1m， d（ 3）设等差数列 na的公差为 d，令 111
9、2nbana，对 *nN， 11b，令 c，则对 *N， 11ncd，1318无穷数列 na满足： 1为正整数，且对任意正整数 n， 1a为前 n项 1， 2a， ， n中等于14na的项的个数. （）若 12，请写出数列 na的前 7项；（）求证：对于任意正整数 M，必存在 *kN，使得 kaM；（）求证:“ 1a”是“存在 *m，当 时，恒有 2n n成立”的充要条件。【答案】 （）2，1，1，2，2，3，1；（）证明见解析；（）证明见解析.15k16后面的项顺次为k1， ， k1， 2， ， k1， 2， ， ， ， 2， 3， ， 3， ， 3， 19设 nS为各项不相等的等差数列 n
10、a的前 项和，已知 3573,9aS.（1）求数列 a通项公式；（2）设 nT为数列 1n的前 项和，求 nT.【答案】 （1） a；（2） 21720数列 a1,a2an是正整数 1,2,n的任一排列，且同时满足以下两个条件：a 1=1；当 n2 时，|a i-ai+1|2(i=1,2，,n-1).记这样的数列个数为 f(n).（I）写出 f(2),f(3),f(4)的值；（II）证明 f(2018)不能被 4整除.【答案】 （）f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4；（）见解析.【解析】 （）解：()根据题意,a 1=1;当 n2 时, |a i-ai+1|2( i=1,2,n1)；则
11、f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.（）证明：把满足条件的数列称为 n项的首项最小数 列.对于 n个数的首项最小数列，由于 a1=1，故 a2=2或 3.（1）若 a2=2，则 a2-1,a3-1,an-1构成 n-1项的首项最小数列，其个数为 f(n-1)；（2）若 a2=3,a3=2，则必有 a4=4，故 a4-3,a5-3,an-3构成 n-3项的首项最小数列，其个数为 f(n-3)；（3）若 a2=3,则 a3=4或 a3=5.设 ak+1是这数列中第一个出现的偶数，则前 k项应该是 1,3,2k-1，a k+1是2k或 2k-2，即 ak与 ak+1是相邻整数.由条件，这数列在
12、 ak+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为 2在 ak+1之后，故 ak+1后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1，n5.18由此递推关系和（I）可得，f(2),f(3),f(2018)各数被 4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成 14为周期的数列，又 2018=14144+2，所以 f(2018)被 4除的余数与 f(2)被 4除的余数相同，都 是 1，故 f(2018)不能被 4整除.21已知 na是由正整数组成的无穷数列，该
13、数列前 n项的最大值记为 nA，第 项之后各项 1na， 2n， 的最小值记为 nB， nqA（I）若 na为 ， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3， ，是一个周期为 4的数列（即对任意 *nN，4） ，写出 q， 2， ， 4q的值（II）设 是正整数，证明： ,n 的充分必要条件为 na是公比为 q的等比数列（III）证明：若 1a， 123 ，则 na的项只能是 1或者 2，且有无穷多项为 1【答案】 （I） 2q， 34q；（II）见解析；（III）见解析.19必要性： 1nq， （ ， 2， 3 ） ，2021即非负整数列 na各项只能为 1或 222设正项数列 的前 项和为
14、nS，且满足 37a， 21691nS， *nN.(1)求数列 n的通项公式；(2)若正项等比数列 nb满足 132,b，且 nncb，数列 nc的前 项和为 nT.求 nT；若对任意 2， *N，均有 256315nTm恒成立，求实数 m的取值范围.【答案】 （1） 3na；（2） 323已知数列 满足 ，其中 为 的前 项和 .（1）求 及数列 的通项公式；22（2）若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求 的最大值和最小值.【答案】 （1） ， ；（2） 时 ， 时 .24数列 12,na 是正整数 1,2n 的任一排列，且同时满足以下两个条件： ；当 时， ia ( 1,2in ).记这
15、样的数列个数为 f.（I）写出 2,34f的值；（II）证明 018不能被 4整除.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】 （）解： 2,32,4fff. （）证明：把满足条件的数列称为 n项的首项最小数列.对于 n个数的首项最小数列，由于 1a，故 2或 3.23（1）若 2a，则 231,1na 构成 项的首项最小数列，其个数为 1fn；（2）若 3,，则必有 4，故 453,3naa 构成 项的首项最小数列，其个数为 fn；25设 nS是等差数列 na的前 项和，已知 36S， 4a（1）求数列 的通项公式；（2）若 13nnab，求证： 1214nbb 【答案】 （1） n；（2）证明见解析.【解析】 （1）设公差为 d，则 3146, Sad解得 1, .ad na（2） 132nnb， 1n，24 1nb是等比数列 16， 3q， 1211643nnnbb
