1、1考点 44 空间向量及其运算和空间位置关系1如图，在长方体 中， ， ，而对角线 上存在一点 P，使得取得最小值，则此最小值为（ ）A 2 B 3 C D 【答案】D2如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A B C D 【答案】B23如图，在正方体 中，E 为棱 的中点，用过点 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为A B C D 【答案】C【解析】取 中点 F,连接 .平面 为截面。如下图：3所以上半部分的正视图，如 A 选项，所以选 A.4已知三棱锥 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， ，则该三棱锥
2、体积的最大值是（ ）A B C D 32【答案】B4，令 ，得 ，在 上递增，在 上递减，即该三棱锥体积的最大值是 ，故选 B.5如图，圆锥顶点为 ，底面圆心为 ，过轴 的截面 ， 为 中点， ， ，则从点经圆锥侧面到点 的最短距离为A B C D 【答案】A6已知三棱锥 中， ， ， ， ，且二面角 的大小为，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A B C D 5【答案】D，解得，外接球表面积故选 D.7某几何体的三视图如图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）6A B C D 【答案】C8在棱长为 6 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，M 是 BC 的中点，点 P 是正方形 DCC1D1面
3、内(包括边界)的动点，且满足APDMPC，则三棱锥 PBCD 的体积最大值是( )A 36 B 24 C D 【答案】D79已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )A B C D 【答案】A【解析】几何体为圆锥挖掉 个圆台. 其表面积为： 4 2 .故选 .10正三棱锥 SABC 的外接球半径为 2，底边长 AB3，则此棱锥的体积为A B 或 C D 或【答案】B8所以选 B11如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面9积为( )A B C D 【答案】C12 九章算术 是我国古代数学名著，在 九章算术 中将底面为矩形且有一侧棱垂直于
4、底面的四棱锥称为“阳马” ，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为 10A B C D 【答案】C故选1113某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 25 B 26 C 32 D 36【答案】C14下列四个命题:(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是A B C D 12【答案】C【解析】(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,
5、且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为 C.15设直线 m、n 和平面 、，下列四个命题中，正确的是( )A 若 m，n，则 mnB 若 m，n，m，n，则 C 若 ，m，则 mD 若 ，m，m，则 m【答案】D16如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知， （1）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；（2）求四棱锥 的体积13【答案】 （1）证明见解析；（2） .1417如图 ，四边形 为等腰梯形 沿 折起，使得平面 平面为 的中点
6、，连接 （如图 2）.图 1 图 2（）求证： ；（）求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】 （）证明见解析；（） .【解析】（） , 则, ，又因为平面 平面 且平面 平面，所以 平面 ，从而 15（）取 AC 中点 F，连接 EF、EC. ，设 E 点到平面 BCD 的距离为 ， ,DE 与平面 BCD 所成角为 ，则 .18如图，在梯形 ABCD 中， ， ， ，平面 平面 ABCD，四边形ACFE 是矩形， ，点 M 在线段 EF 上（）求证： 平面 ACFE；（）当 EM 为何值时， 平面 ？证明你的结论；（）求二面角 的平面角的余弦值【答案】 （）见解析（） （） 平面 ACF
7、E16设平面 BEF 的法向量 ，则 ， ，同理可得平面 EFD 的法向量为 ， （10 分）所以 17又二面角 的平面角为锐角，所以 的平面角的余弦值为 19如图所示，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， 为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析； （2） .1820已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为 的球面上，则该三棱锥的表面积为_.【答案】【解析】构造一个各棱长为 a 的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，而此四面体的外接球即为正方体的外接球此球的直径为正方体的体对角线，即 ，由勾股定理得到 ,三棱锥的边长即
8、为正方体的面对角线长为： ，所以该锥体表面积 .故答案为： 21网格纸上小正方形的边长为 1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为_19【答案】222已知四面体 的棱 , , ,则此四面体外接球的表面积_【答案】【解析】设 BD 的中点为 O,如图2023已知棱长为 1 的正方体有一个内切球（如图） ， 为面底 的中心， 与球相交于 ，则 的长为_.2124已知三棱柱 的底面是正三角形，侧棱 底面 ABC，若有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则 的长度为_【答案】【解析】2225球的内接圆柱的底面积为 ，侧面积为 ，则该球的表面积为_【答案】【解析】因为球的内接圆柱的底面积为 ，侧面积为 ，所以圆柱的底面半径为 2，高为 3，所以外接球的半径为 ，有 ，所以球的半径为 ，所以球的表面积为 ，故答案是 .
