1、1中档大题分类练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：60 分钟)1已知 m ， n ，设函数 f(x) mn.(cosx4， 1) (3sinx4， cos2x4)(1)求函数 f(x)的单调增区间；(2)设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 a， b， c成等比数列，求f(B)的取值范围解 (1) f(x) mn sin ，(cosx4， 1) (3sinx4， cos2x4) (x2 6) 12令 2k 2 k ，则 4k x4 k ， kZ，2 x2 6 2 43 23所以函数 f(x)单调递增区间为 ， kZ. 4k 43， 4k 23(2)由 b2 a
2、c可知 cos B (当且仅当 a c时a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12取等号)，所以 0 B ， ，1 f(B) ，3 6 B2 6 3 3 12综上 f(B)的取值范围为 .(1，3 12 2在 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，且 acos C(2 b c)cos A.3 3(1)求角 A的大小；(2)若 a2，求 ABC面积的最大值解 (1)由正弦定理可得： sin Acos C2sin Bcos A sin Ccos A，3 3从而可得： sin(A C)2sin Bcos A，3即 sin B2sin Bcos A，3
3、又 B为三角形内角，所以 sin B0，于是 cos A ，32又 A为三角形内角，所以 A .6(2)由余弦定理： a2 b2 c22 bccos A得：4 b2 c22 bc 2 bc bc，32 3所以 bc4(2 )，所以 S bcsin A2 ， ABC面积最大值为 2 .312 3 33在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 a c b，sin 66B sin C.62(1)求 cos A的值；(2)求 cos 的值(2A6)解 (1)在 ABC中，由 ，及 sin B sin C，可得 b c.bsin B csin C 6 6由 a c b，得
4、a2 c.66所以 cos A .b2 c2 a22bc 6c2 c2 4c226c2 64(2)在 ABC中，由 cos A ，可得 sin A .64 104于是 cos 2A2cos 2A1 ，sin 2 A2sin Acos A .14 154所以 cos cos 2 Acos sin 2 Asin .(2A6) 6 6 15 384如图 54所示，在四边形 ABCD中， D2 B，且 AD1, CD3，cos B .33图 54(1)求 ACD的面积；(2)若 BC2 ，求 AB的长3解 (1)因为 D2 B，cos B ，33所以 cos Dcos 2 B2cos 2B1 .13因
5、为 D(0，)，所以 sin D .1 cos2D223因为 AD1， CD3，所以 ACD的面积 S ADCDsin D 13 .12 12 223 2(2)在 ACD中， AC2 AD2 DC22 ADDCcos D12，所以 AC2 .33因为 BC2 ， ，3ACsin B ABsin ACB所以 ，23sin B ABsin 2B ABsin 2B AB2sin Bcos B AB233sin B所以 AB4.(教师备选)1已知 f(x)4 sin xcos x2cos 2 x1， x .3 0，3(1)求 f(x)的值域；(2)若 CD为 ABC的中线，已知 AC f(x)max，
6、 BC f(x)min，cos BCA ，求 CD的13长解 (1) f(x)4 sin xcos x2cos 2 x1，3化简得 f(x)2 sin 2x2cos 2 x14sin2 x 1.36因为 x ，所以 2x ， 0，3 6 6， 56当 2x 时，sin 取得最大值 1，6 2 (2x 6)当 2x 或 2x 时，sin 取得最小值 ，6 6 6 56 (2x 6) 12所以 sin ，4sin 11,3，(2x6) 12， 1 (2x 6)所以 f(x)的值域为1,3 .(2)法一：因为 AC f(x)max， BC f(x)min ，由(1)知， AC3， BC1 ，又因为
7、cos BCA ，13根据余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos BCA8，所以 AB2 .2因为 AC2 AB2 BC2，所以 ABC为直角三角形， B为直角. 故在 Rt ABC中， BC1， BD ，2所以 CD .12 2 3法二：由(1)知| |3，| |1， ( )，CA CB CD 12CA CB 所以 2 ( 2 22 )CD 14CA CB CA CB 4 3，14(9 1 23113)所以| | .CD 32设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， a btan A，且 B为钝角(1)证明： B A ；2(2)求 sin Asin C的取
8、值范围解 (1)证明：由 a btan A及正弦定理，得 ，sin Acos A ab sin Asin B所以 sin Bcos A，即 sin Bsin .(2 A)又 B为钝角，因此 A ，2 (2， )故 B A，即 B A .2 2(2)由(1)知， C( A B) 2 A0，(2A2) 2所以 A .(0，4)于是 sin Asin Csin Asin (2 2A)sin Acos 2 A2sin 2Asin A12 2 .(sin A14) 98因为 0 A ，所以 0sin A ，4 22因此 2 2 .22 (sin A 14) 98 98由此可知 sin Asin C的取值范围是 .(22， 98
