1、1第二讲 三角恒等变换与解三角形年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 利用正、余弦定理解三角形T 16卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形T 7三角变换求值T 142018卷解三角形T 11三角变换求值T 15卷正弦定理解三角形T 11三角函数求值T 42017卷正弦定理解三角形T 15卷 利用余弦定理解三角形T 4卷 利用正弦定理解三角形T 15三角恒等变换求值问题T 62016卷解三角形T 9命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大学
2、科素养三角变换及解三角形在学生能力考查中主要考查逻辑推理及数学运算两大素养，通过三角恒等变换及正、余弦定理来求解相关问题.三角恒等变换授课提示：对应学生用书第 23 页悟通方法结论三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦全练快速解答1(2018合肥模拟)sin 18sin 78cos 162cos 78( )2A B32 12C. D
3、.32 12解析：sin 18sin 78cos 162cos 78sin 18sin 78cos 18cos 78cos(7818)cos 60 ，故选 D.12答案：D2(2018高考全国卷)若 sin ，则 cos 2 ( )13A B89 79C D79 89解析：sin ，cos 2 12sin 2 12 2 .13 (13) 79故选 B.答案：B3(2018沈阳模拟)已知 tan 2，则 sin 2 的值为( )sin cos sin A. B.195 165C. D.2310 1710解析：原式 sin 2 sin cos sin sin cos sin sin2sin2 co
4、s2 ，将 tan 2 代入，得原式 ，故选 C.tan 1tan tan2tan2 1 2310答案：C4(2017高考全国卷)已知 (0， )，tan 2，则 cos( )_. 2 4解析： (0， )，tan 2，sin ，cos ，cos( ) 2 255 55 4cos cos sin sin ( ) . 4 4 22 255 55 31010答案：31010【类题通法】三角函数式的化简方法及基本思路3(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂， “1”的代换，辅助角公式等(2)化简基本思路“一角二名三结构” ，即：一看“角” ，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联
5、系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于 sin cos 的齐次分式化切等；三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” ，“遇根式化被开方式为完全平方式”等解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第 23 页悟通方法结论正、余弦定理、三角形面积公式(1) 2 R(R 为 ABC 外接圆的半径)asin A bsin B csin C a b csin A sin B sin C变形： a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；sin A ，sin
6、 B ，sin C ；a2R b2R c2Ra b csin Asin Bsin C.(2)a2 b2 c22 bccos A， b2 a2 c22 accos B， c2 a2 b22 abcos C.推论：cos A ，cos B ，cos C .b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab变形： b2 c2 a22 bccos A， a2 c2 b22 accos B， a2 b2 c22 abcos C.(3)S ABC absin C acsin B bcsin A.12 12 12(1)(2017高考全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为
7、a， b， c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0， a2， c ，则 C( )2A. B.12 64C. D. 4 3解析：因为 sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以 sin(A C)sin Asin Csin Acos C0，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得 sin C(sin Acos A)0，因为 sin C0，所以 sin Acos A0，所以 tan A1，因为A(0，)，所以 A ，由正弦定理得 sin C ，又 01， AC AB ，当 ABC 的周长12最短时， BC 的长是_解析
8、：设 AC b， AB c， BC a， ABC 的周长为 l，由 b c ，得 l a b c a2 c .12 12又 cos 60 ，即 ab a2 b2 c2，a2 b2 c22ab 12得 a a2 2 c2，(c12) (c 12)即 c .a2 12a 14a 1l a2 c a 12 2a2 a 12a 1 126 3a 12 43(a 1) 12a 1 123 a 1 12a 1 43 123 ，2a 1 12a 1 43 12当且仅当 a1 时， ABC 的周长最短，12a 1此时 a1 ，即 BC 的长是 1 .22 22答案：122解三角形的综合问题授课提示：对应学生用
9、书第 24 页悟通方法结论三角形中的常用结论(1)A B C， .A B2 2 C2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在 ABC 中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A， B， C ) 2(2017高考全国卷)(12 分) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 .(1) ；求 cos B(2)若 ， ，求 b.a c 6 ABC的 面 积 为 2 学审题条件信息 想到方法 注意什么7信息：两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式信息：求 cos B 化已知条件为
10、cos B 的关系式信息： a c6寻找平方后与余弦定理中a2 c2的关系式信息：三角形面积为 2 利用面积公式来求 ac 的值(1)三角形中的三角恒等关系式化简时，三角形内角和定理及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、整体代入思想在解题过程中的应用规范解答 (1)由题设及 A B C 得sin B8sin 2 ， (2 分)B即 sin B4(1cos B)， (3 分)故 17cos2B32cos B150， (4 分)解得 cos B ，cos B1(舍去) (6 分)1517(2)由 cos B ，得 sin B ， (7 分)1517 817故 S ABC acsin B ac.
11、 (8 分)12 417又 S ABC2，则 ac . (9 分)172由余弦定理及 a c6 得b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B) (10 分)362 172 (1 1517)4. (11 分)所以 b2. (12 分)【类题通法】1与三角形面积有关的问题的解题模型2学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两8大素养练通即学即用(2018长郡中学模拟)在锐角 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，且 4sin Acos2A cos(B C)sin 3A .3 3(1)求 A 的大小；(2)若 b2，
12、求 ABC 面积的取值范围解析：(1) A B C，cos( B C)cos A ，3 A2 A A，sin 3 Asin(2 A A)sin 2 Acos Acos 2 Asin A ，又 sin 2A2sin Acos A ，cos 2A2cos 2A1 ，将代入已知，得 2sin 2Acos A cos Asin 2Acos Acos 2Asin A ，3 3整理得 sin A cos A ，即 sin ，3 3 (A 3) 32又 A ，(0， 2) A ，即 A . 3 23 3(2)由(1)得 B C ， C B，23 23 ABC 为锐角三角形， B 且 B ，23 (0， 2)
13、 (0， 2)解得 B ，( 6， 2)在 ABC 中，由正弦定理得 ，2sin B csin C c 1，2sin Csin B 2sin(23 B)sin B 3tan B又 B ， ， c(1,4)，( 6， 2) 1tan B (0， 3) S ABC bcsin A c， S ABC .12 32 (32， 23)授课提示：对应学生用书第 115 页9一、选择题1(2018合肥调研)已知 x ，且 cos sin 2x，则 tan 等于( )(0， ) (2x 2) (x 4)A. B C3 D313 13解析：由 cos sin 2x 得 sin 2xsin 2x，(2x 2) x
14、(0，)，tan x2，tan .(x 4) tan x 11 tan x 13答案：A2(2018成都模拟)已知 sin ， ，则 cos 的值为( )1010 (0， 2) (2 6)A. B.43 310 43 310C. D.4 3310 33 410解析：sin ， ，cos ，1010 (0， 2) 31010sin 2 2sin cos 2 ，1010 31010 610 35cos 2 12sin 2 12 21 ，(1010) 15 45cos .(2 6) 45 32 35 12 43 310答案：A3(2018昆明三中、五溪一中联考)在 ABC 中，内角 A， B， C
15、的对边分别为a， b， c，若 ABC 的面积为 S，且 2S( a b)2 c2，则 tan C 等于( )A B34 43C D43 34解析：因为 2S( a b)2 c2 a2 b2 c22 ab，由面积公式与余弦定理，得 absin C2 abcos C2 ab，即 sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C cos2C10所以 4，tan2C 4tan C 4tan2C 1解得 tan C 或 tan C0(舍去)43答案：C4在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 0
16、，cos B BDC ， 4所以 BCA ，所以 cos BCA . 6 32在 ABC 中，AB2 AC2 BC22 ACBCcos BCA262 2，2 632所以 AB ，所以 ABC ，2 6在 BCD 中， ，BCsin BDC CDsin DBC即 ，解得 CD .622CD12 3答案： 3三、解答题13(2018武汉调研)在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，满足14cos 2Acos 2 B2cos cos 0.( 6 B) ( 6 B)(1)求角 A 的值；(2)若 b 且 b a，求 a 的取值范围3解析：(1)由 cos 2Acos 2
17、 B2cos cos 0，( 6 B) ( 6 B)得 2sin2B2sin 2A2 0，(34cos2B 14sin2B)化简得 sin A ，又 ABC 为锐角三角形，故 A .32 3(2) b a， c a， C ， B ，3 3 2 6 3 sin B .12 32由正弦定理 ，asin A bsin B得 ， a ，a32 3sin B32sin B由 sin B 得 a ，3)(12， 32 314(2018唐山模拟)在 ABC 中， AB2 AC2， AD 是 BC 边上的中线，记 CAD ， BAD .(1)求 sin sin ；(2)若 tan sin BAC，求 BC.解
18、析：(1) AD 为 BC 边上的中线， S ACD S ABD， ACADsin ABADsin ，12 12sin sin AB AC21.(2)tan sin BACsin( )，sin sin( )cos ，2sin sin( )cos ，2sin( ) sin( )cos ，sin( )cos 2cos( )sin ，sin( )2cos( )tan ，又 tan sin BACsin( )0，15cos( )cos BAC ，12在 ABC 中， BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC3， BC .315(2018广州模拟)已知 a， b， c 是 ABC 中角 A， B
19、， C 的对边，且 3cos Bcos C23sin Bsin C2cos 2A.(1)求角 A 的大小；(2)若 ABC 的面积 S5 ， b5，求 sin Bsin C 的值3解析：(1)由 3cos Bcos C23sin Bsin C2cos 2A，得 3cos(B C)22cos 2A，即 2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A 或 cos A2(舍去)12因为 0A，所以 A . 3(2)由 S bcsin A bc5 ，得 bc20，12 34 3因为 b5，所以 c4.由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 a2251
20、6220 21，12故 a .21根据正弦定理 ，asin A bsin B csin C得 sin Bsin C sin A sin A .ba ca 5716(2018山西八校联考)在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，且(a c)2 b23 ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，且 sin Bsin( C A)2sin 2 A，求 ABC 的面积解析：(1)由( a c)2 b23 ac，整理得 a2 c2 b2 ac，由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22ac ac2ac 120 B， B . 3(2)在 ABC 中， A B C，即 B
21、( A C)，故 sin Bsin( A C)，16由已知 sin Bsin( C A)2sin 2 A 可得 sin(A C)sin( C A)2sin 2 A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得 cos Asin C2sin Acos A.若 cos A0，则 A ， 2由 b2，可得 c ，2tan B 233此时 ABC 的面积 S bc .12 233若 cos A0，则 sin C2sin A，由正弦定理可知， c2 a，代入 a2 c2 b2 ac，整理可得 3a24，解得 a ， c ，233 433此
22、时 ABC 的面积 S acsin B .12 233综上所述， ABC 的面积为 .23317(2018常德市模拟)已知函数 f(x) sin x mcos x ( 0， m0)的最小2值为2，且图象上相邻两个最高点的距离为 .(1)求 和 m 的值；(2)若 f ， ，求 f 的值( 2) 65 ( 4， 34) ( 8)解析：(1)易知 f(x) sin(x )( 为辅助角)，2 m2 f(x)min 2， m .2 m2 2由题意知函数 f(x)的最小正周期为 ， ，2 2.(2)由(1)得 f(x) sin 2x cos 2x2 22sin ，(2x 4) f 2sin ，( 2) ( 4) 65sin .( 4) 35 ， ，( 4， 34) 4 ( 2， )cos ，( 4) 1 sin2( 4) 4517sin sin sin cos cos sin ，( 4 4) ( 4) 4 ( 4) 4 7210 f 2sin( 8) 2( 8) 42sin 2cos 2 2(12sin 2 )(2 2)2 .1 2(7210)2 4825
