1、1第6课时 三角函数的性质1(2018重庆南开中学月考)函数f(x)(1 tanx)cosx的最小正周期为( )3A2 B.32C D. 2答案 A解析 f(x)(1 tanx)cosx cosx2cos(x )，则T2.3cosx 3sinxcosx 32函数f(x)(1cos2x)sin 2x是( )A周期为的奇函数 B周期为的偶函数C周期为 的奇函数 D周期为 的偶函数 2 2答案 D解析 f(x)(1cos2x)sin 2x2cos 2xsin2x sin22x ，则T 且为偶函数12 1 cos4x4 24 23(2018江西六校联考)下列函数中，最小正周期是且在区间( ，)上是增函
2、数的是( ) 2Aysin2x BysinxCytan Dycos2xx2答案 D解析 ysin2x在区间( ，)上的单调性是先减后增；ysinx的最小正周期是T 2；ytan 的最小正周 2 2 x2期是T 2；ycos2x满足条件故选D.4函数y2sin( 2x)(x0，)的增区间是( ) 6A0， B ， 3 12 712C ， D ， 3 56 56答案 C解析 y2sin( 2x)2sin(2x )，由 2k2x 2k，kZ，解得 kx 6 6 2 6 32 3k，kZ，即函数的增区间为 k， k，kZ，当k0时，增区间为 ， 56 3 56 3 565已知函数f(x)2sin(x
3、)( ， )是偶函数，则的值为( ) 3 2 22A0 B. 6C. D. 4 3答案 B解析 因为函数f(x)为偶函数，所以 k (kZ)又因为 ， ，所以 ，解得 3 2 2 2 3 2，经检验符合题意，故选B. 66(2017课标全国)设函数f(x)cos(x )，则下列结论错误的是( ) 3Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图像关于直线x 对称83Cf(x)的一个零点为x 6Df(x)在( ，)上单调递减 2答案 D解析 由三角函数的周期公式可得T 2，所以周期是2也正确，所以A正确；由于三角函数在对称轴上取21得最值，所以把对称轴x 代入函数f(x)cos( )cos31，所以B
4、正确；f(x)cos(x83 83 3 )cos(x )0，解得其中一个解是x ，所以C正确；函数f(x)在区间( ，)有增有减，D不 3 3 6 2正确，所以选择D.7设f(x)xsinx，若x 1，x 2 ， ，且f(x 1)f(x2)，则下列结论中，必成立的是( ) 2 2Ax 1x2 Bx 1x 20Cx 1x22答案 D8已知函数ysinx在 ， 上是增函数，则的取值范围是( ) 3 3A ，0) B3，0)32C(0， D(0，332答案 C解析 3由于ysinx在 ， 上是增函数，为保证ysinx在 ， 上是增函数，所以0且 2 2 3 3 3 2，则00)，xR，若f(x)在区
5、间(，2)内没有 x2 12 12零点，则的取值范围是( )A(0， B(0， ，1)18 14 58C(0， D(0， ， 58 18 14 58答案 D解析 f(x) (1cosx) sinx sinx cosx sin(x )，当 时，f(x) sin( x12 12 12 12 12 22 4 12 22 12)，x(，2)时，f(x)( ， ，无零点，排除A、B；当 时，f(x) sin( x )，x( 4 12 22 316 22 316 4，2)时，存在x使f(x)0，有零点，排除C.故选D.11若ycosx在区间，上为增函数，则实数的取值范围是_答案 0) 3(1)若f(x)在
6、0，上的值域为 ，1，求的取值范围；32(2)若f(x)在0， 上单调，且f(0)f( )0，求的值 3 3答案 (1) ， (2)256 53解析 f(x)sinxsin(x )sin(x ) 3 3(1)由x0，得x ， ，f(x)在0，上的值域为 ，1，即最小值为 3 3 3 32，最大值为1，则 ，得 .32 2 3 43 56 53综上，的取值范围是 ， 56 53(2)由题意f(x)在0， 上单调，得 ，解得00)的图像向右平移 个单位长度，得到函数yg 4 46(x)的图像若yg(x)在 ， 上为增函数，则的最大值为( ) 6 3A3 B2C. D.32 54答案 C解析 函数f
7、(x)2sin(x )(0)的图像向右平移 个单位长度，可得g(x)2sin(x ) 2sin 4 4 4 4x的图像若g(x)在 ， 上为增函数，则 2k 且 2k，kZ，解得3 6 3 2 6 3 212k且 6k，kZ.0，当k0时，取得最大值为 .故选C.32 322(2018福建宁德一模)将函数y3sin(2x )的图像上各点沿x轴向右平移 个单位长度，所得函数图像 6 6的一个对称中心为( )A( ，0) B( ，0)712 6C( ，0) D( ，3)58 23答案 A解析 将函数y3sin(2x )的图像上各点沿x轴向右平移 个单位长度，可得函数y3sin2(x ) 3sin
8、6 6 6 6(2x )的图像由2x k，kZ，可得x ，kZ.故所得函数图像的对称中心为( ，0 6 6 k2 12 k2 12)，kZ.令k1可得一个对称中心为( ，0)故选A.7123(2018福建六校联考)若函数f(x)2sin(x)对任意x都有f( x)f(x)，则f( )( ) 3 6A2或0 B0C2或0 D2或2答案 D解析 由函数f(x)2sin(x)对任意x都有f( x)f(x)，可知函数图像的一条对称轴为直线x 3 12 3.根据三角函数的性质可知，当x 时，函数取得最大值或者最小值f( )2或2.故选D. 6 6 64已知函数f(x)cos cos( 2x)，则函数f(
9、x)满足( )23 2Af(x)的最小正周期是27B若f(x 1)f(x 2)，则x 1x 2Cf(x)的图像关于直线x 对称34D当x ， 时，f(x)的值域为 ， 6 3 34 34答案 C解析 因为f(x) (sin2x) sin2x，其最小正周期T ，所以A项不正确；B项显然不正确；由2x12 12 22 2k，得x (kZ)，当k1时，函数f(x)的图像的对称轴为x ，所以C项正确；当x ，k2 4 34 6时，2x ， ，所以 sin2x ，所以D项不正确故选C. 3 3 23 34 12 125已知函数f(x) sinxcosx(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若
10、相邻交点距离3的最小值为 ，则f(x)的最小正周期为( ) 3A. B. 2 23C D2答案 C解析 f(x) sinxcosx2(sinx cosx )2sin(x )，332 12 6令f(x)1，得sin(x ) . 6 12x 1 2k或x 2 2k. 6 6 6 56|x 1x 2|min ，(x 2x 1) ，2，T . 3 23 26(2018山西怀仁期中)若函数f(x)sinx cosx(xR)，又f()2，f()0，且|3的最小值为 ，则正数的值是( )34A. B.13 32C. D.43 23答案 D解析 利用辅助角公式将函数解析式变形得f(x)2sin(x )由f()
11、2，f()0，且|的最小值 3为 ，得 T ，T3， 3， .故选D.34 14 34 2 2387(2015天津，文)已知函数f(x)sinxcosx(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图像关于直线x对称，则的值为_答案 2解析 f(x)sinxcosx sin(x )，因为函数f(x)的图像关于直线x对称，所以f()2 4sin( 2 ) ，所以 2 k，kZ，即 2 k，kZ，又函数f(x)在区间(2 4 2 4 2 4，)内单调递增，所以 2 ，即 2 ，取k0，得 2 ，所以 . 4 2 4 4 28函数g(x)sin 22x的单调递增区间是( )A
12、 ， (kZ) Bk，k (kZ)k2 k2 4 4C ， (kZ) Dk ，k (kZ)k2 4 k2 2 4 2答案 A9下列函数中，周期为，且在 ， 上为减函数的是( ) 4 2Aysin(2x ) Bycos(2x ) 2 2Cysin(x ) Dycos(x ) 2 2答案 A解析 对于选项A，注意到ysin(2x )cos2x的周期为，且在 ， 上是减函数，故选A. 2 4 210已知f(x)sin 2xsinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A，0， B2， ， 4 34C， ， D2， ， 8 38 4 4答案 C解析 由f(x) sin2x (1c
13、os2x) ，得该函数的最小正周期是.当2k 2x 12 12 2sin（ 2x 4） 12 2 42k ，kZ，即k xk ，kZ时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是k 2 8 38 ，k ，其中kZ.由k0得到函数f(x)的一个单调增区间是 ， ，结合各选项知，选C. 8 38 8 3811若将函数f(x)sin2xcos2x的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是( )9A. B. 8 4C. D.38 54答案 C解析 f(x)sin2xcos2x sin ，将其图像向右平移个单位得到g(x) sin2 (2x 4) 2 sin 的图像2(x 8 )
14、 2 (2x 4 2 )g(x) sin 的图像关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，2 (2x 4 2 ) 2k ，kZ，即 ，kZ. 4 2 k2 8因此当k1时，有最小正值 .3812(2016天津，理)已知函数f(x)4tanxsin( x)cos(x ) . 2 3 3(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间 ， 上的单调性 4 4答案 (1)x|x k，kZ T 2(2)增区间 ， ，减区间 ， 12 4 4 12解析 (1)f(x)的定义域为x|x k，kZ 2f(x)4tanxcosxcos(x ) 4sinxcos(x ) 4sinx( cosx sin
15、x) 2sinxcosx2 3 3 3 3 12 32 3sin2x sin2x (1cos2x) sin2x cos2x2sin(2x )所以f(x)的最小正周期T3 3 3 3 3 3 .22(2)令z2x ，函数y2sinz的单调递增区间是 2k， 2k，kZ. 3 2 2由 2k2x 2k，得 kx k，kZ. 2 3 2 12 512设A ， ，Bx| kx k，kZ，易知AB ， 4 4 12 512 12 4所以，当x ， 时，f(x)在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减 4 4 12 4 4 1213(2016山东，文)设f(x)2 sin(x)sinx(sinxco
16、sx) 2.3(1)求f(x)的单调递增区间；10(2)把yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移 个单位， 3得到函数yg(x)的图像，求g( )的值 6答案 (1)增区间k ，k (kZ) (2)12 512 3解析 (1)f(x)2 sin(x)sinx(sinxcosx) 232 sin2x(12sinxcosx)3 (1cos2x)sin2x13sin2x cos2x 13 32sin(2x ) 1， 3 3由2k 2x 2k (kZ)，得k xk (kZ)， 2 3 2 12 512所以f(x)的单调递增区间是k ，k (kZ)12 512(或(k ，k )(kZ)12 512(2)由(1)知f(x)2sin(2x ) 1， 3 3把yf(x)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y2sin(x ) 1的图像， 3 3再把得到的图像向左平移 个单位， 3得到y2sinx 1的图像，3即g(x)2sinx 1.3所以g( )2sin 1 . 6 6 3 3
