1、1第7课时 正、余弦定理第一次作业1(2018安徽马鞍山一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a ，b2，A60，则c3( )A. B112C. D23答案 B解析 a ，b2，A60，由余弦定理a 2b 2c 22bccosA，得34c 222c ，整理得c 22c31210，解得c1.故选B.2(2018山西五校联考)在ABC中，a b，A120，则角B的大小为( )3A30 B45C60 D90答案 A解析 由正弦定理 得 ，解得sinB .因为A120，所以B30.故选A.asinA bsinB 3b32 bsinB 123(2018陕西西安一中期中)在ABC中，si
2、n 2Asin 2Bsin 2CsinBsinC，则A的取值范围是( )A(0， B ，)6 6C(0， D ，)3 3答案 C解析 sin 2Asin 2Bsin 2CsinBsinC，由正弦定理，得a 2b 2c 2bc，bcb 2c 2a 2.cosA ，A .A0，A的取值范围是(0， 故选C.b2 c2 a22bc 12 3 34(2018广东惠州三调)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2，c2 ，且C ，则24ABC的面积为( )A. 1 B. 13 3C4 D2答案 A解析 由正弦定理 ，得sinB .又cb，且B(0，)，所以B ，所以A ，所以S bcsi
3、bsinB csinC bsinCc 12 6 712 12nA 22 sin 2 1.故选A.12 2 712 12 2 6 24 325(2018东北八校联考)已知ABC三边a，b，c上的高分别为 ， ，1，则cosA( )12 22A. B32 22C D24 34答案 C解析 设ABC的面积为S，则a4S，B2 S，c2S，因此cosA .故选C.2（ 2 2） 2 22 4222 22 246(2016山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a 22b 2(1sinA)则A( )A. B.34 3C. D.4 6答案 C解析 由余弦定理得a 2b 2c 22b
4、ccosA2b 22b 2cosA，所以2b 2(1sinA)2b 2(1cosA)，所以sinAcosA，即tanA1，又02， ) 6 2由正弦定理 2，得b2sinB，c2sinC，b 2c 24(sin 2Bsin 2C)4sin 2BsiasinA bsinB csinC 332n2( B)42cos(2B )又 b，csinBb 32C60或C120.A90或A30.S ABC bcsinA 或 .12 32 3410(2018河南信阳调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为ABC的面积，S (a234b 2c 2)，则C的大小为_答案 3解析 ABC的面积为
5、S absinC，12由S (a2b 2c 2)，得 (a2b 2c 2) absinC，即absinC (a2b 2c 2)根据余弦定理，得a 234 34 12 32b 2c 22abcosC，absinC 2abcosC，得sinC cosC，即tanC .32 3 sinCcosC 3C(0，)，C .311(2017甘肃定西统考)在ABC中，若 ，则ABC的形状为_a2b2 tanAtanB答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得 ，即 .sinA0，sinB0，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2Asin2B tanAtanB sin2Asin2B sin
6、AcosA cosBsinBsin2B.2A2k2B或2A2k2B(kZ)0a，cb，即角C最大，所以a 3b 3aa 2bb 20，则0a1，故有abc2，所以ABC的周长的取值范围是(2，39(2015广东，理)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a ，sinB ，C ，则b_312 6_答案 1解析 由sinB 得B 或 ，因为C ，所以B ，所以B ，于是A .由正弦定理，得 ，所12 6 56 6 56 6 23 3sin23 b12以b1.10(2018湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量 m(sinB，
7、1cosB)与向量 n(2，0)的夹角的余弦值为 .12(1)求角B的大小；(2)若b ，求ac的取值范围3答案 (1) (2)( ，223 3解析 (1) m(sinB，1cosB)， n(2，0)， mn2sinB，|m| 2|sin |.sin2B （ 1 cosB） 2 2 2cosBB200.B22 B2| m|2sin .又| n|2，B2cos cos .mn|m|n| 2sinB4sinB2 B2 12 ，B .B2 3 23(2)由余弦定理，得b 2a 2c 22accos a 2c 2ac(ac) 2ac(ac) 2( )2 (ac) 2，当且23 a c2 34仅当ac时
8、，取等号(ac) 24，即ac2.又acb ，ac( ，23 31011.如图所示，在ABC中，B ，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC .3 17(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长答案 (1) (2)BD3，AC73 314解析 (1)在ADC中，因为cosADC ，17所以sinADC .4 37所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB .4 37 12 17 32 3 314(2)在ABD中，由正弦定理，得BD 3.ABsin BADsin ADB83 3144 37在ABC中，由余弦定理，得AC2AB 2BC 22ABBCcosB
9、8 25 2285 49.12所以AC7.12.如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2 ，点M在线段PQ上2(1)若OM ，求PM的长；5(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值答案 (1)MP1或MP3 (2)POM30时，OMN面积最小值为84 3解析 (1)在OMP中，OPM45，OM ，OP2 ，由余弦定理得，OM 2OP 2MP 22OPMPcos45，5 2得MP 24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得 ，OMsin OPM OPsin OMPOM ，同理ON .OPsin
10、45sin（ 45 ） OPsin45sin（ 75 ）故S OMN OMONsinMON1211 14 OP2sin245sin（ 45 ） sin（ 75 ）1sin（ 45 ） sin（ 45 30）1sin（ 45 ） 32sin（ 45 ） 12cos（ 45 ） 132sin2（ 45 ） 12sin（ 45 ） cos（ 45 ）1341 cos（ 90 2 ） 14sin（ 90 2 ）134 34sin2 14cos2 .134 12sin（ 2 30）060，30230150，当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值，即POM30时，OMN的面积的
11、最小值为84 .313(2017课标全国，理)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA cosA0，a23 7，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积答案 (1)4 (2) 3解析 (1)由已知可得tanA ，所以A .323在ABC中，由余弦定理得284c 24ccos ，即c 22c240.解得c6(舍去)，c4.23(2)由题设可得CAD ，所以BADBACCAD .故ABD面积与ACD面积的比值为2 61.又ABC的面积为 42sinBAC2 ，所以ABD的面积为 .12ABADsin612ACAD 12 3 314(2017山东，文)
12、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b3， 6，S ABC 3，AB AC 求A和a.答案 ；34 2912解析 因为 6，AB AC 所以bccosA6，又S ABC 3，所以bcsinA6，因此tanA1，又0a，B60或120.若B60，C90，c 2 .a2 b2 5若B120，C30，ac .52(2017西安五校模拟)M为等边ABC内一动点，且CMB120，则 的最小值为_AMMC13答案 32解析 如图，在正ABC中，设MBC，则ACM，在BMC中，根据正弦定理可得 .MCsin BCsin120在AMC中，根据正弦定理可得 .AMsin ACsin AMC得 .
13、AMMC sin120sin AMC 323(2015安徽，文)在ABC中，AB ，A75，B45，则AC_6答案 2解析 因为A75，B45，所以C60，由正弦定理可得 ，解得AC2.ACsin45 6sin604(2015课标全国，理)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案 ( ， )6 2 6 2解析 如图，作PBC，使BC75，BC2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使BAD75，则四边形ABCD就是符合题意的四边形过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，可求得BP ，在QBC中，可求得BQ ，所以AB的取值范围是(6 2 6 2 ， )6 2 6 2
