1、1专题研究3 圆锥曲线中定点、定值问题1已知a，b满足2a3b1，则直线4xay2b0必过的定点为( )A( ， ) B( ， )43 16 43 16C( ， ) D( ， )16 43 16 43答案 D解析 2a3b1，又由4xay2b0，得 a b1， 选D.y4x 12x y4x 2，12x 3， ) x 16，y 43， )2过抛物线y 22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则 _1|AF| 1|BF|答案 2p3已知曲线C：y 22px(p0)O为原点，A，B是C上两个不同点，且OAOB，则直线AB过定点_答案 (2p，0)4已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为e
2、，其左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F2|2 ，设点M(x 1x2a2 y2b2 32 3，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为 .14(1)求椭圆C的方程；(2)求证：x 12x 22为定值，并求该定值答案 (1) y 21 (2)4x24解析 (1)依题意，c ，而e ，332a2，b 2a 2c 21，则椭圆C的方程为 y 21.x24(2)由于 ，则x 1x24y 1y2，x 12x2216y 12y22.y1x1 y2x2 14而 y 121， y 221，则1 y 12，1 y 22，x124 x224 x124 x224(1
3、 )(1 )y 12y22，则(4x 12)(4x 22)16y 12y22，x124 x224(4x 12)(4x 22)x 12x22，展开，得x 12x 224为一定值5(2017课标全国，理)已知椭圆C： 1(ab0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(1， )，P 4(1x2a2 y2b2 322， )中恰有三点在椭圆C上32(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点若直线P 2A与直线P 2B的斜率的和为1，证明：l过定点答案 (1) y 21 (2)定点(2，1)x24解析 (1)由于P 3，P 4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P 3，
4、P 4两点又由 知，C不经过点P 1，所以1a2 1b21a2 34b2点P 2在C上，因此 解得1b2 1，1a2 34b2 1， ) a2 4，b2 1.)故C的方程为 y 21.x24(2)证明：设直线P 2A与直线P 2B的斜率分别为k 1，k 2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2 ，x 1x2 .8km4k2 1 4m2 44k2 1而k 1k 2 .y1 1x1 y2 1x2 kx1 m 1x1 kx2 m 1x2 2kx1x2 （ m 1） （ x1 x2）x1x2由题设知k 1k 21，故(2k
5、1)x 1x2(m1)(x 1x 2)0，即(2k1) (m1) 0，解得k .4m2 44k2 1 8km4k2 1 m 12当且仅当m1时，0，于是l：y xm，即y1 (x2)，所以l过定点(2，1)m 12 m 1236(2018湖南师大附中月考)如图，抛物线C 1：y 28x与双曲线C 2： 1(a0，b0)有公共焦点F 2，点x2a2 y2b2A是曲线C 1，C 2在第一象限的交点，且|AF 2|5.(1)求双曲线C 2的方程；(2)以F 1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x2) 2y 21，已知点P(1， )，过点P作互相垂3直且分别与圆M，圆N相交的直线l 1，l
6、 2，设l 1被圆M截得的弦长为s，l 2被圆N截得的弦长为t，试探索 是否为st定值？请说明理由答案 (1)x 2 1 (2)定值y23 3解析 (1)抛物线C 1：y 28x的焦点为F 2(2，0)，双曲线C 2的焦点为F 1(2，0)，F 2(2，0)设A(x 0，y 0)(x00，y 00)为抛物线C 1和双曲线C 2在第一象限的交点，且|AF 2|5，由抛物线的定义得x 025，x 03，|AF 1| 7.（ 3 2） 2 （ 0 2 6） 2又点A在双曲线上，由双曲线的定义得2a|AF 1|AF 2|752，a1.b .22 1 3双曲线C 2的方程为x 2 1.y23(2) 为定
7、值理由如下：st设圆M的方程为(x2) 2y 2r 2，双曲线的渐近线方程为y x.3圆M与渐近线y x相切，3圆的半径为r ，2 31 （ 3） 2 3故圆M：(x2) 2y 23.依题意l 1，l 2的斜率存在且均不为零，设l 1的方程为y k(x1)，即kxy k0，3 3l2的方程为y (x1)，即xky k10，31k 3点M到直线l 1的距离d 1 ，点N到直线l 2的距离d 2 .|3k 3|1 k2 | 3k 1|1 k2直线l 1被圆M截得的弦长s2 2 ，直线l 2被圆N截得的弦长t23 （ 3k 31 k2） 2 6 3k 6k21 k242 .1 （ 3k 11 k2）
8、 2 2 3k 2k21 k2 ，故 为定值 .st 6 3k 6k22 3k 2k2 3 st 37(2018甘肃高台县一中检测)如图，设直线l：yk(x )与抛物线C：y 22px(p0，p为p2常数)交于不同的两点M，N，且当k 时，弦MN的长为4 .12 15(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，1)，求证：直线NQ过定点答案 (1)y 24x (2)定点(1，4)解析 (1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，当k 时，12直线l：y (x )，即x2y ，12 p2 p2联立得 即y 24pyp 20.x 2y p2，y2
9、 2px， )所以y 1y 24p，y 1y2p 2，于是得|MN| |y1y 2| 2 |p|4 ，1 4 5 （ y1 y2） 2 4y1y2 15 15又p0，所以p2，即抛物线C的标准方程为y 24x.(2)设点M(4t 2，4t)，N(4t 12，4t 1)，Q(4t 22，4t 2)，易得直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，则直线MN的斜率是k MN ，4t 4t14t2 4t12 1t t1从而直线MN的方程是y (x4t 2)4t，即x(tt 1)y4tt 10.1t t1同理可知MQ的方程是x(tt 2)y4tt 20，NQ的方程是x(t 1t 2)y4t 1t20.又易知点(
10、1，0)在直线MN上，从而有4tt 11，即t ，14t1点B(1，1)在直线MQ上，从而有1(tt 2)(1)4tt 20，即1( t 2)(1)4 t20，14t1 14t1化简得4t 1t24(t 1t 2)1.代入NQ的方程得x(t 1t 2)y4(t 1t 2)10.所以直线NQ过定点(1，4)8(2018辽宁盘锦一中月考)如图，已知点A(1， )是离心率为 的椭圆C： 1(a222 y2a2 x2b2b0)上的一点，斜率为 的直线交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合25(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB，AD的斜率之和为定值答案 (1) 1 (2)定值为0y24
11、x22解析 (1)由题意，可得e ，将A(1， )代入椭圆C的方程，得 1，又a 2b 2c 2，解得a2，bcca 22 2 2a2 1b2 ，所以椭圆C的方程为 1.2y24 x22(2)设直线BD的方程为y xm，A，B，D三点不重合，m0，设D(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)2由 得4x 22 mxm 240，y 2x m，2x2 y2 4， ) 2由8m 2640，得2 0)过焦点的弦两个端点，分别过A，B作C的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点在定直线l上，那么l的方程为_答案 xp263已知椭圆C： 1，圆E：x 2y 22，l是圆E的切线，l与C交于A，B两点，
12、以AB为直径的圆过定点_x26 y23_答案 (0，0)解析 圆E的方程为x 2y 22，设O为坐标原点，当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x ，2则A( ， )，B( ， )，所以AOB ，2 2 2 22所以以AB为直径的圆过坐标原点当直线l的斜率存在时，其方程设为ykxm，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)因为直线与圆相切，所以d ，所以m 222k 2.|m|1 k2 m21 k2 2联立方程组 得x 22(kxm) 26，y kx m，x26 y23 1， )即(12k 2)x24kmx2m 260，16k 2m24(12k 2)(2m26)8(6k 2m 23
13、)8(4k 21)0，由根与系数的关系得 x1 x2 4km1 2k2，x1x2 2m2 61 2k2， )所以x 1x2y 1y2(1k 2)x1x2km(x 1x 2)m 2 m 2 0，（ 1 k2） （ 2m2 6）1 2k2 4k2m21 2k2 3m2 6k2 61 2k2所以 ，所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O.OA OB 4已知P是椭圆C： y 21上一点，A是C的右顶点，B是C的上顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交x24于点N，则|AN|BM|_答案 4解析 由题意知A(2，0)，B(0，1)点P在曲线( )2( )21上，不妨设P(2cos，sin)，当且k
14、(kZ)时，直线AP的方程为x2 y1 2y0 (x2)，令x0，得y M ；sin2（ cos 1） sin1 cos直线BP的方程为y1 (x0)，令y0，得x N .sin 12cos 2cos1 sin|AN|BM|2|1 |1 |cos1 sin sin1 cos2| |224(定值)2（ 1 cos ） （ 1 sin ）（ 1 sin ） （ 1 cos ）7当k或k (kZ)时，M，N是定点，易得|AN|BM|4，综上，|AN|BM|4.25(2018浙江温州中学月考)已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e ，虚轴长为2.52(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直
15、线l：ykxm与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标答案 (1) y 21 (2)定点为( ，0)x24 103解析 (1)由题设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2由已知得 ，2b2.ca 52又a 2b 2c 2，解得a2，b1，双曲线的标准方程为 y 21.x24(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立 y kx m，x24 y2 1， )得(14k 2)x28mkx4(m 21)0.故1 4k2 0， 64m2k2 16（ 1 4k2） （ m2 1） 0，
16、x1 x2 8mk1 4k2，x1x2 4（ m2 1）1 4k2 . )y1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2mk(x 1x 2)m 2 ，m2 4k21 4k2以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(2，0)，k ADkBD1，即 1.y1x1 2 y2x2 2y 1y2x 1x22(x 1x 2)40. 40.m2 4k21 4k2 4（ m2 1）1 4k2 16mk1 4k23m 216mk20k 20.解得m 12k，m 2 .10k3当m 12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m 2 时，l的方程为yk(x )，10k3 103直线过定点
17、( ，0)，经检验符合已知条件103所以直线l过定点，定点坐标为( ，0)10386.如图所示，已知点M(a，3)是抛物线y 24x上一定点，直线AM，BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A，B两个不同的点(1)求点M到其准线的距离；(2)求证：直线AB的斜率为定值答案 (1) (2)略134解析 (1)M(a，3)是抛物线y 24x上一定点，3 24a，a .94抛物线y 24x的准线方程为x1，点M到其准线的距离为 (1) .94 134(2)证明：由题知直线MA，MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为y3k(x )，94由 得y 2 y 90.y 3 k（ x 94） ，y2 4x
18、， ) 4k 12ky A3 ，y A 3.4k 4k直线AM，BM的斜率互为相反数，直线MB的方程为y3k(x )同理可得y B 3，94 4 kk AB .yB yAxB xA yB yAyB24 yA24 4yB yA 44 k 3 4k 3 23直线AB的斜率为定值 .237(2017湖北宜昌一中月考)中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点R( ， )，Q( ，32 62 32)分别过椭圆E的焦点F 1，F 2的动直线l 1，l 2相交于P点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA22，OB，OC，OD的斜率k 1，k 2，k 3，k 4满足k 1k 2k 3k 4
19、.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|PN|为定值？若存在，求出M，N的坐标并求出此定值；若不存在，说明理由答案 (1) 1 (2)存在点M，N其坐标分别为(0，1)，(0，1)，使得|PM|PN|2 为定值x23 y22 2解析 (1)设椭圆的方程为mx 2ny 21(m0，n0，mn)将R( ， )，Q( ， )代入椭圆方程有 解得32 62 32 22 9m 2n 4，3m 6n 4， ) m 13，n 12.)椭圆E的方程为 1.x23 y22(2)焦点F 1，F 2的坐标分别为(1，0), (1，0)9当直线l 1或l 2斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(
20、1，0)当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2.l 1的方程为ym 1(x1)，l 2的方程为ym 2(x1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，联立l 1与椭圆方程，得到(23m 12)x26m 12x3m 1260，x 1x 2 ，x 1x2 .6m122 3m12 3m12 62 3m12同理x 3x 4 ，x 3x4 .(*)6m222 3m22 3m22 62 3m22k 1 m 1 ，k 2m 1 ，k 3m 2 ，k 4m 2 .y1x1 m1x1 m1x2 m2x3 m2x4又满足k 1k 2k 3k 4
21、，2m 1m 1 2m 2m 2 ，x1 x2x1x2 x3 x4x3x4把(*)代入上式化为m 1m22.设点P(x，y)，则 2(x1)，yx 1 yx 1化为 x 21(x1)y22又当直线l 1或l 2斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0)也满足，点P在椭圆 x 21(x1)上y22故存在点M，N其坐标分别为(0，1)，(0，1)，使得|PM|PN|2 为定值28(2017湖南岳阳两校联考)已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长x2a2 y2b2 12为半径的圆与直线xy 0相切，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点6(1
22、)求椭圆C的方程；(2)求 的取值范围；OA OB (3)若点B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点答案 (1) 1 (2)4， ) (3)定点(1，0)x24 y23 134解析 (1)由题意知e ，ca 12e 2 ，即a 2 b2.c2a2 a2 b2a2 14 43又b ，a 24，b 23.61 1 3故椭圆的方程为 1.x24 y23(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)10联立 得(4k 23)x 232k 2x64k 2120.y k（ x 4） ，x24 y23 1， )由(32k 2)24(4k 23)(64k 212)0，得k 2b0
23、)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直x2a2 y2b2线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT| 2|PA|PB|，并求的值答案 (1) 1，T(2，1) (2)x26 y23 45解析 (1)由已知，a b，则椭圆E的方程为 1.2x22b2 y2b2由方程组 得3x 212x182b 20.x22b2 y2b2 1，y x 3， )方程的判别式为24(b 23)，由0，得b 23，此时方程的解为x2，11所以椭圆E的方程为
24、 1.x26 y23点T的坐标为(2，1)(2)由已知可设直线l的方程为y xm(m0)，12由方程组 可得y 12x m，y x 3， ) x 2 2m3，y 1 2m3.)所以P点的坐标为(2 ，1 )，|PT| 2 m2.2m3 2m3 89设点A，B的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由方程组 可得3x 24mx4m 2120.x26 y23 1，y 12x m， )方程的判别式为16(92m 2)，由0，解得 m .3 22 3 22由得x 1x 2 ，x 1x2 .4m3 4m2 123所以|PA| |2 x 1|，（ 2 2m3 x1） 2 （ 1 2m3 y1） 2 52 2m3同理|PB| |2 x 2|.52 2m3所以|PA|PB| |(2 x 1)(2 x 2)|54 2m3 2m3 |(2 )2(2 )(x1x 2)x 1x2|54 2m3 2m3 |(2 )2(2 )( ) |54 2m3 2m3 4m3 4m2 123 m2.109故存在常数 ，使得|PT| 2|PA|PB|.45
