1、1第11课时 直线与圆锥曲线的位置关系1若过原点的直线l与双曲线 1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是( )x24 y23A. B( ， )(32， 32 32 32C. D. 32， 32 ( ， 32 32， )答案 B解析 1，其两条渐近线的斜率分别为k 1 ，k 2 ，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的x24 y23 32 32交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是 .0，32) ( 32， 02已知椭圆x 22y 24，则以(1，1)为中点的弦的长度为( )A3 B22 3C. D.303 32 6答案 C解析 设y1k(x1)，ykx1k.代入椭圆方程，得x 22(
2、kx1k) 24.(2k 21)x 24k(1k)x2(1k) 240.由x 1x 2 2，得k ，x 1x2 .4k（ k 1）2k2 1 12 13(x 1x 2)2(x 1x 2)24x 1x24 .43 83|AB| .1 14 2 63 3033(2018辽宁师大附中期中)过点M(2，0)的直线n与椭圆 y 21交于P 1，P 2两点，线段P 1P2的中点为Px22，设直线m的斜率为k 1(k10)，直线OP的斜率为k 2，则k 1k2的值为( )A2 B2C. D12 12答案 D解析 设P 1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P(x，y)，则 x122 y12 1，x22
3、2 y22 1.)两式相减，得 (y 1y 2)(y1y 2)0.（ x1 x2） （ x1 x2）22即 2y(y 1y 2)0.2x（ x1 x2）2k 1 ，又k 2 .x2y yxk 1k2 .124(2017山东师大附中模拟)已知两定点A(0，2)，B(0，2)，点P在椭圆 1上，且满足| | |x212 y216 AP BP 2，则 为( )AP BP A12 B12C9 D9答案 D解析 易知A(0，2)，B(0，2)为椭圆 1的两焦点，| | |248，又| | |2，| |x212 y216 AP BP AP BP AP 5，| |3.BP | |4，ABP为直角三角形， |
4、 |29.AB AP BP BP 5(2018福建厦门中学期中)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A. B.2 3C2 D3答案 B解析 不妨设双曲线C： 1(a0，b0)，焦点F(c，0)，对称轴为直线y0.x2a2 y2b2由题意知 1，y ， 4a，b 22a 2，c 2a 22a 2，c 23a 2，e .故选B.c2a2 y2b2 b2a 2b2a ca 36(2018德州一中期末)已知抛物线C：y 24x的焦点为F，准线为l.若射线y2(x1)(x1)与C，l分别交于P，Q两点，则 ( )|P
5、Q|PF|A. B22C. D55答案 C解析 抛物线C：y 24x的焦点为F(1，0)，设准线l：x1与x轴的交点为F 1，过点P作直线l的垂线，垂足为P 1，由得点Q的坐标为(1，4)，所以|FQ|2 .根据抛物线的定义可得，|PF|PPx 1，y 2（ x 1） ， x 1， ) 51|，所以 ，故选C.|PQ|PF| |PQ|PP1| |QF|FF1| 2 52 537已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P、Q两点，若|PQ| ，则抛物线的方程15为( )Ay 24x By 212xCy 24x或y 212x D以上都不对答案 C解析 由题意设抛物线的方程为y 22p
6、x，联立方程得 消去y，得4x 2(2p4)x10，设P(x 1，y 1)，y2 2px，y 2x 1， )Q(x2，y 2)，则x 1x 2 ，x 1x2 .p 22 14|PQ| |x1x 2| ，所以 1 22 5 （ x1 x2） 2 4x1x2 5（ p 22 ） 2 414 15 p24 p，p 24p120，p2或6，所以y 24x或y 212x.38(2018衡水中学调研)过抛物线x 24y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 ( )1|AB| 1|CD|A2 B4C. D.12 14答案 D解析 根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线AB的方程为ykx1(k0)，直线C
7、D的方程为y x1，由1k得y 2(24k 2)y10，由根与系数的关系得y Ay B24k 2，所以|AB|y Ay B244k 2y kx 1，x2 4y， )，同理|CD|y Cy D24 ，所以 ，故选D.4k2 1|AB| 1|CD| 14k2 4 k24k2 4 149(2018福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C： 1(a0，b0)的焦距为2 ，抛物线y x2x2a2 y2b2 5 14与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )14A. 1 B. 1x28 y22 x22 y28Cx 2 1 D. y 21y24 x24答案 D解析 由题意可得c ，即a 2b 25，双曲
8、线的渐近线方程为y x.将渐近线方程和抛物线方程y x2 联立5ba 14 14，可得 x2 x 0，由渐近线和抛物线相切可得 4 0，即有a 24b 2，又a 2b 25，解得a14 ba 14 b2a2 14 1442，b1，可得双曲线的方程为 y 21.故选D.x2410(2018天津红桥区期末)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y 22px(p0)的准线分x2a2 y2b2别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为 ，则p( )3A1 B.32C2 D3答案 C解析 因为双曲线方程为 1，所以双曲线的渐近线方程是y x.又抛物线y 22px(p0)
9、的准线方程是xx2a2 y2b2 ba ，故A，B两点的纵坐标分别是y .因为双曲线的离心率为2，所以 2，所以 3，则 ，A，Bp2 pb2a ca b2a2 ba 3两点的纵坐标分别是y .又AOB的面积为 ，x轴是AOB的平分线，所以 p ，pb2a 3p2 3 12 3 p2 3解得p2.故选C.11设F为抛物线C：y 22px(p0)的焦点，过F且倾斜角为60的直线交抛物线C于A，B两点(B在第一象限，A在第四象限)，O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比值为( )A. B23C3 D4答案 C解析 抛物线C：y 22px(p0)的焦点F( ，0)，准
10、线x ，直线AB：y (x )，与抛物线方程联立，消去x得p2 p2 3 p2， y22py p20.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1 p，y 2 p，故M( ， p)，则|OM|3 333 3 p2 33 p，将y 2 p代入直线AB的方程得x 2 p，故B( p， p)，则|OB| p，p24 p23 216 3 32 32 3 9p24 3p2 212所以|OB|3|OM|.故选C.12(2018河南郑州二测)过点P(1，0)作直线与抛物线y 28x相交于A，B两点，且2|PA|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为_答案 5解析 设A(x A，y A)，B(x B，
11、y B)，由相似三角形知识可知 .yAyB 13设直线的斜率为k，则其方程为y0k(x1)，即ykxk，由 可得ky 28y8k0，则y AyBy kx k，y2 8x， )8.由可得y B2248x B，所以x B3，由抛物线的定义可知点B到焦点的距离为3 5.42513(2018湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1： 1具有相同的焦点，则两条曲线相交的x24 y23四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为_答案 2解析 设双曲线的方程为 1(a0，b0)，由题意知a 2b 2431，由 解得交点的坐标满足x2a2 y2b2 x24 y23 1，x2a2 y2b2
12、1， )由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积Sx2 4a2，y2 3（ 1 a） 2， )4|xy|4 8 8 4 ，当且仅当a 21a 2，即a 24a2 3（ 1 a2） 3 a2 1 a2 3a2 1 a22 3 时，取等号，此时双曲线的方程为 1，离心率e .12 x212 y212 214(2018淮南一模)过椭圆 1(ab0)上的动点P作圆x 2y 2b 2的两条切线PA，PB，切点分别为A，x2a2 y2b2B，直线AB与x轴，y轴分别交于M，N，则MON(O为坐标原点)面积的最小值为_答案 b3a解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y
13、 2)，则直线PA：x 1xy 1yb 2，直线PB：x 2xy 2yb 2.因为P(x 0，y 0)在直线PA，PB上，所以 可得直线AB的方程为x 0xy 0yb 2，得M( ，0)，N(0， )，则MON的面积S MON x1x0 y1y0 b2，x2x0 y2y0 b2， ) b2x0 b2y0 ，当且仅当| | |时等号成立b42|x0y0| b3a 12|x0ay0b| b3a 1（ x0a） 2 （ y0b） 2 b3a x0a y0b15(2018湖南永州一模)已知椭圆C： 1(ab0)的焦距为2，离心率为 ，y轴上一点Q的坐标为(0x2a2 y2b2 22，3)(1)求该椭圆
14、的方程；(2)若对于直线l：yxm，椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3 0，解得 0)的直线交x2t y23E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围答案 (1) (2)( ，2)14449 32解析 (1)设M(x 1，y 1)，则由题意知y 10.当t4时，E的方程为 1，A(2，0)x24 y23由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 . 4因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入 1，得7y 212y0.x24 y23解得y0或y ，y 10，所以y 1 .127 127因此AMN
15、的面积S AMN 2 .12 127 127 14449(2)由题意知t3，k0，A( ，0)t8将直线AM的方程yk(x )代入 1，得tx2t y23(3tk 2)x22 tk2xt 2k23t0.t由x 1( ) ，得x 1 ，故tt2k2 3t3 tk2 t（ 3 tk2）3 tk2|AM|x 1 | .t 1 k26 t（ 1 k2）3 tk2由题设知，直线AN的方程为y (x )，1k t故同理可得|AN| .6k t（ 1 k2）3k2 t由2|AM|AN|，得 ，23 tk2 k3k2 t即(k 32)t3k(2k1)当k 时上式不成立，因此t .323k（ 2k 1）k3 2
16、t3等价于 0，k3 20， ) 32因此k的取值范围是( ，2)321(2017北京大兴一中月考)已知双曲线C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作平行x2a2 y2b2于C的渐近线的直线交C于点P.若PF 1PF 2，则C的离心率为( )A. B.2 3C2 D. 5答案 D解析 取双曲线C的渐近线为y x.因为F 1(c，0)，F 2(c，0)，所以过F 2作平行于渐近线y x的直线PF 2的方程为yba ba (xc)ba因为PF 1PF 2，所以直线PF 1的方程为y (xc)ab联立方程组 得点P的坐标为( ， )y ba（ x c） ，y ab（ x c
17、） ， ) b2 a2c 2abc9因为点P在双曲线C上，所以 1，即 1.（ b2 a2c ） 2a2（ 2abc） 2b2 （ b2 a2） 2a2c2 4a2c2因为c 2a 2b 2，所以 1，整理得c 25a 2.（ c2 2a2） 2a2c2 4a2c2因为e 1，所以e .故选D.ca 52已知双曲线x 2 1，过点A(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )y24A4 B3C2 D1答案 A解析 斜率不存在时，方程为x1符合设斜率为k，y1k(x1)，kxyk10.(4k 2)x2(2k 22k)xk 22k50.4x2 y2 4，y kx k 1， )当4k
18、 20，k2时符合；当4k 20，0，亦有一个答案，共4条3已知双曲线T： y 21，过点B(2，0)的直线交双曲线于A点(A不是双曲线的顶点)，若AB的中点Q在直x24线yx上，点P为双曲线T上异于A，B的任意一点(不是双曲线的顶点)，直线AP，BP分别交直线yx于M，N两点，O为坐标原点，则 ( )OM ON A B83 32C D812答案 A解析 因为AB的中点Q在直线yx上，B(2，0)，所以A( ， )设P(x 0，y 0)，当直线AP的斜率不存在时，易知P(103 43， )，M( ， )，N( ， )，此时 ( ) ( ) .当直线AP的斜率存在时，103 43 103 103
19、 25 25 OM ON 103 25 103 25 83则直线AP的方程是y (x )，与直线yx联立得x My M .直线BP的方程为y43y0 43x0 103 103 10y0 4x03y0 3x0 6 y0x0 2(x2)，与直线yx联立得x Ny N .因为 y 021，所以 x MxNy MyN22y0x0 y0 2 x024 OM ON 10y0 4x03y0 3x0 6 .2y0x0 y0 2 83104(2017福建福州质检)已知F 1，F 2是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一x2a2 y2b2点P与点F 2关于直线y x对称，则该双曲线的离心率为
20、_ba答案 5解析 由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F 2关于直线y 对称，则PF 1PF 2.又 ，联立|PF 2|PF 1|bxa |PF2|PF1| ba2a，|PF 2|2|PF 1|2(2c) 2，可得b 3a 2b2c 2a.所以b2a，e .55(2018河北石家庄模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，点P为双曲线右支x2a2 y2b2上一点，M为PF 1F2的内心，满足SMPF 1SMPF 2SMF 1F2.若该双曲线的离心率为3，则_(注：SMPF 1，SMPF 2，SMF 1F2分别为MPF 1，MPF 2，MF 1F2的面积)答案 13解
21、析 设PF 1F2内切圆的半径为r，则由题意，得 |PF1|r |PF2|r |F1F2|r，即|PF 1|PF 2|12 12 12|F 1F2|2c，又由双曲线的定义知|PF 1|PF 2|2a，所以2a2c，即 .ac 1e 136已知抛物线C：y 22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l 1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线相交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积答案 (1)y 28x (2)24 5解析 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8) 22p8，2p8
22、，抛物线方程为y 28x.(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：xym，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l 2与x轴的交点为M.由 得y 28y8m0，y2 8x，x y m， )6432m0，m2.y1y 28，y 1y28m，x 1x2 m 2.y12y2264由题意可知OAOB，即x 1x2y 1y2m 28m0，m8或m0(舍)，直线l 2：xy8，M(8，0)故S FAB S FMB S FMA |FM|y1y 2|123 24 .（ y1 y2） 2 4y1y2 57抛物线y 24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点11(1)若 2 ，求直线AB
23、的斜率；AF FB (2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值答案 (1)2 (2)42解析 (1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y24my40.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以y 1y 24m，y 1y24.因为 2 ，所以y 12y 2.AF FB 联立和，消去y 1，y 2，得m .24所以直线AB的斜率是2 .2(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S AOB .因为2S AOB
24、 2 |OF|y1y 2|12 4 ，（ y1 y2） 2 4y1y2 1 m2所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.8(2018河南洛阳第一次统考)已知抛物线C：x 22py(y0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线C的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切答案 (1)x 22y (2)略解析 (1)ABl，|FD|p，|AB|2p.S ABD p 21.p1.抛物线C的方程为x 22y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx ，p2联立 得x 22kpxp 20.y kx p2，x2 2py， )设方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 22kp，x 1x2p 2.设A(x 1， )，B(x 2， )x122p x222p设M(kp，k 2p )，N(kp， )p2 p2k AN .x122p p2x1 kpx122p p2x1 x1 x22x12 p22px1 x22x12 x1x22px1 x22 x1p12又x 22py，y .xp抛物线x 22py在点A处的切线斜率k .x1p直线AN与抛物线相切
