1、14.2 三角函数的图象及性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.三角函数的图象及其变换1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象2.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出函数y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响2016课标全国,6;2016课标全国,14;2016四川,4;2015山东,4选择题、填空题2.三角函数的性质及其应用1.了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等).理解正切函数的单调性2017课标全国,3;2017课标全国,13;2017天津,7;201
2、7北京,16;2016课标全国,3选择题、填空题、解答题分析解读通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查恒等变换及数形结合能力.一般分值为5分或12分.五年高考考点一 三角函数的图象及其变换1.(2016课标全国,6,5分)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得
3、图象对应的函数为( )(2+6) 14A.y=2sin B.y=2sin(2+4) (2+3)C.y=2sin D.y=2sin(2-4) (2-3)答案 D 2.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数 y=sin x的图象上所有的点( )(+3)2A.向左平行移动 个单位长度3B.向右平行移动 个单位长度3C.向上平行移动 个单位长度3D.向下平行移动 个单位长度3答案 A 3.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 4x的图象( )(4-3)A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位12 12C.向左平移 个单位 D.向右
4、平移 个单位3 3答案 B 4.(2014安徽,7,5分)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是( )A. B. C. D.8 4 38 34答案 C 5.(2014福建,7,5分)将函数y=sin x的图象向左平移 个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( 2)A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为C.y=f(x)的图象关于直线x= 对称2D.y=f(x)的图象关于点 对称(-2,0)答案 D 6.(2013福建,9,5分)将函数f(x)=sin(2x+) 的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x
5、(-20,|0,-20,|0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是( )12A. B. C. D. (0,18 (0,14 58,1) (0,58 (0,18 14,58答案 D 4.(2017课标全国,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .答案 55.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin 2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,最小值是 .答案 ;3- 226.(2015天津,14,5分)已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则
6、的值为 .答案 27.(2017北京,16,13分)已知函数f(x)= cos -2sin xcos x.3 (2-3)(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x 时, f(x)- .-4,4 12解析 (1)f(x)= cos 2x+ sin 2x-sin 2x32 32= sin 2x+ cos 2x12 32=sin .(2+3)所以f(x)的最小正周期T= =.226(2)证明:因为- x ,4 4所以- 2x+ .6 3 56所以sin sin =- .(2+3) (-6) 12所以当x 时, f(x)- .-4,4 128.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin
7、 2x-cos2x-2 sin xcos x(xR).3(1)求f 的值;(23)(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析 (1)由sin = ,cos =- ,f = - -2 ,23 32 23 12 (23)( 32)2(-12)2 3 32 (-12)得f =2.(23)(2)由cos 2x=cos 2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin .3 (2+6)所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ,2 6 32解得 +kx +k,kZ.6 23所以, f(x)的单调递增区间是
8、(kZ).6+,23+9.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析 (1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x= sin ,(3分)2 (2+4)所以f(x)的最小正周期T= = .(4分)22依题意, =,解得=1.(6分)(2)由(1)知f(x)= sin .2 (2+4)函数y=sin x的单调递增区间为 (kZ).(8分)2-2,2+2由2k- 2x+ 2k+ (kZ),2 4 27得k- xk+ (kZ).(12分)38 8所以
9、f(x)的单调递增区间为 (kZ).(13分)-38,+8教师用书专用(1026)10.(2015四川,5,5分)下列函数中,最小正周期为的奇函数是( )A.y=sin B.y=cos C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x(2+2) (2+2)答案 B 11.(2014天津,8,5分)已知函数f(x)= sin x+cos 3x(0),xR.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则f(x)的最小正周期为( 3)A. B. C. D.22 23答案 C 12.(2013天津,6,5分)函数f(x)=sin 在区间 上的最小值为( )(2
10、-4) 0,2A.-1 B.- C. D.022 22答案 B 13.(2013四川,6,5分)函数f(x)=2sin(x+) 的部分图象如图所示,则,的值分别是( (0,-20,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2 ,则= .3答案 215.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数(6+)可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .8答案 816.(2014大纲全国,14,5分)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 .答案 3217.(2014山东,12,5分)函数y
11、= sin 2x+cos2x的最小正周期为 .32答案 18.(2013江西,13,5分)设f(x)= sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有|f(x)|a,则实数a的取值范围是 3.答案 2,+)19.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,.3(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab,3所以- cos x=3sin x.3若cos x=0,则sin x=0,与sin 2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.
12、于是tan x=- .33又x0,所以x= .56(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos .3 3 3 (+6)因为x0,所以x+ ,6 6,76从而-1cos .(+6) 32于是,当x+ = ,即x=0时, f(x)取到最大值3;66当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 .6 56 320.(2015安徽,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x) 2+cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.0,2解析 (1)因为f(x)=sin 2x+cos2x+2s
13、in xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= sin +1,2 (2+4)9所以函数f(x)的最小正周期T= =.22(2)由(1)知,f(x)= sin +1.2 (2+4)当x 时,2x+ ,0,2 4 4,54由正弦函数y=sin x在 上的图象知 ,4,54当2x+ = ,即x= 时, f(x)取得最大值,最大值为 +1;42 8 2当2x+ = ,即x= 时, f(x)取得最小值,最小值为0.454 2综上,f(x)在 上的最大值为 +1,最小值为0.0,2 221.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin x-2 sin2 .32(1)求f(x)
14、的最小正周期;(2)求f(x)在区间 上的最小值.0,23解析 (1)因为f(x)=sin x+ cos x-3 3=2sin - ,(+3) 3所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x ,所以 x+ .23 3 3当x+ =,即x= 时, f(x)取得最小值.3 23所以f(x)在区间 上的最小值为f =- .0,23 (23) 322.(2014四川,17,12分)已知函数f(x)=sin .(3+4)(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f = cos cos 2,求cos -sin 的值.(3)45 (+4)解析 (1)因为函数y=sin x的单调递增区间为- +
15、2k, +2k,kZ,2 2由- +2k3x+ +2k,kZ,2 4 2得- + x + ,kZ.423 1223所以函数f(x)的单调递增区间为- + , + ,kZ.423 1223(2)由已知,有sin = cos (cos2-sin 2),(+4)45 (+4)所以sin cos +cos sin4 410= (cos cos -sin sin )(cos2-sin 2),45 4 4即sin +cos = (cos -sin ) 2(sin +cos ).45当sin +cos =0时,由是第二象限角,知= +2k,kZ.此时cos -sin =- .34 2当sin +cos 0时
16、,有(cos -sin ) 2= .54由是第二象限角,知cos -sin 0,0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(132 017)+f(2 018)的值为( )A.2+ B. C.2+2 D.02 2 2答案 A 3.(2018北京海淀期中,7)已知函数f(x)= 的部分图象如图所示,则、的值分别为( 1sin(+)(0,|0,0,|0)的最小正周期为.12 32(1)求的值,并在下面提供的坐标系中画出函数y=f(x)在区间0,上的图象;(2)函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?解析 (1)由题意知f(x)=sin ,(+3)15因为T=,所以
17、 =,即=2,2故f(x)=sin .(2+3)列表如下:2x+3 3 232273x 012 3 712 56f(x)321 0 -1 032y=f(x)在0,上的图象如图所示.(2)将y=sin x的图象上的所有点向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象,再将y=sin 的图象上所有点的3 (+3) (+3)横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数f(x)=sin (xR)的图象.12 (2+3)考点二 三角函数的性质及其应用8.(2018江西师大附中10月模拟,6)在四个函数y=sin |2x|,y=|sin x|,y=sin ,y=tan 中,最小正周期为的所有函数个数为(
18、 )(2+6) (2-4)A.1 B.2 C.3 D.4答案 B 9.(2018湖北重点高中期中联考,7)已知函数f(x)= (a0且a1)的图象过定点P,且点P在角的终边上,则- 3函数y=sin(x+)的单调递增区间为( )A. (kZ) B. (kZ)2-23,2+3 2+23,2+43C. (kZ) D. (kZ)2-56,2+6 2+6,2+76答案 A 1610.(2018河北衡水中学9月大联考,10)将函数f(x)=2sin 的图象向左平移 个单位,再把所有点的横坐标(4-3) 6伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是( )A.最小
19、正周期为 B.图象关于直线x= 对称12C.图象关于点 对称 D.初相为(12,0) 3答案 C 11.(2016广东3月适应性考试,5)三角函数f(x)=sin +cos 2x的振幅和最小正周期分别是( )(6-2)A. , B. , C. , D. ,32 3 22 2答案 B 12.(2017湖南一模,13)函数f(x)= cos(3x-)-sin(3x-)是奇函数,则tan 等于 .3答案 - 313.(2018山西太原五中12月模拟,17)已知向量a=(cos x,0),b=(0, sin x),记函数f(x)=(a+b) 2+ sin 2x.3 3(1)求函数f(x)的最小值及取得
20、最小值时x的取值集合;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析 (1)f(x)=(a+b) 2+ sin 2x=1+2sin2x+ sin 2x= sin 2x-cos 2x+2=2sin +2.3 3 3 (2-6)当且仅当2x- =- +2k(kZ),即x=- +k(kZ)时,f(x) min=0,此时x的取值集合为 .6 2 6 |=-6+,(2)由- +2k2x- +2k(kZ),2 6 2得- +kx +k(kZ),6 3所以函数f(x)的单调递增区间为 (kZ).-6+,3+14.(2017江西新余、宜春联考,17)已知函数f(x)= sin 2x-cos 2x.3(1)求函数f(
21、x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.-6,4解析 (1)f(x)= sin 2x-cos 2x=2sin ,3 (2-6)T= =.22(2)由2k+ 2x- 2k+ (kZ),得k+ xk+ (kZ).2 6 32 3 56f(x)的单调递减区间为 (kZ).+3,+5617(3)因为- x ,所以- 2x- ,当2x- = ,6 4 2 6 3 63即x= 时, f(x)取得最大值 ;4 3当2x- =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-2.6 2 6B组 20162018年模拟提升题组(满分:60分 时间:45分钟)一、
22、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数6的图象,则的一个可能取值为( )A. B. C.0 D.3 6 4答案 B 2.(2018河北衡水中学四调,11)将函数f(x)=2cos 2x的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)在区间 和 上均单调递增,则实数a的6 0,3 2,76取值范围是( )A. B. C. D.3,2 6,2 6,3 4,38答案 A 3.(2018湖北荆州中学11月模拟,7)如图是函数f(x)=Asin(x+)(0,A0)在区间 上的图象,
23、为了得-6,56到这个图象,只需将g(x)=Acos x的图象( )A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度6 12C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度8 6答案 B 4.(2018河南新乡一模,10)设kR,函数f(x)=sin +k的图象为下面两个图中的一个,则函数f(x)的图象(+6)的对称轴方程为( )18A.x= + (kZ) B.x=k+ (kZ)2 6 3C.x= - (kZ) D.x=k- (kZ)2 6 3答案 A 5.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,10)已知函数f(x)=2sin 的图象为C,则:C关于直线x=(2+3) 712对称;C
24、关于点 对称;f(x)在 上是增函数 ;把y=2cos (12,0) (-3,12)2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C.以上结论中正确的有( )12A. B. C. D.答案 D 6.(2017湖北荆州中学12月模拟,10)已知函数f(x)=sin 2(x)-(0)的周期为,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值为( 12)A. B. C. D.34 2 4答案 D 7.(2017河南天一大联考(三),9)已知函数f(x)=Msin(x+) 的部分图象如图所示,其中A(0,0,|0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,则f 的值为( )2
25、 (4)A. B. C.- D.-35 45 35 45答案 D 二、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018河南商丘九校12月联考,17)已知函数f(x)= sin -2sin sin .3 (2-3) (-4) (+4)(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间 上的值域.-12,2解析 (1)f(x)= sin -2sin sin3 (2-3) (-4) (+4)=- cos 2x+ sin 2x+(cos x-sin x)(sin x+cos x)32 32=- cos 2x+ sin 2x+cos2x-sin2x32 32=- cos 2x+
26、 sin 2x+cos 2x=sin .32 32 (2-6)T= =.22由2x- =k+ (kZ)得x= + (kZ).6 2 2 3函数f(x)的最小正周期为,图象的对称轴方程为x= + (kZ).2 3(2)x ,2x- .-12,2 6 -3,56易知f(x)=sin 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,(2-6) -12,3 3,2当x= 时, f(x)取最大值1,3又f =- 0,00,0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)的值分别为( )A.f(x)= sin 2x+1,2 01312B.f(x)= sin 2x+1,
27、2 01312 12C.f(x)= sin x+1,2 01412 2D.f(x)= sin x+1,2 01412 2 12答案 D 2.(2017广东惠州一调,17)已知函数f(x)=sin(x+) 的部分图象如图所示.(0,|0,|0)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为( )A. ,kZ(+34,+74)B. ,kZ(+4,+54)C. ,kZ(2+4,2+54)D. ,kZ(2+34,2+74)答案 D 8.(2018河南顶级名校11月联考,9)某房间的室温T(单位:摄氏度)与时间t(单位:小时)的函数关系是T=asin t+bcos t,t(0,+),其中a,b是正实数,
28、如果该房间的最大温差为10摄氏度,则a+b的最大值是( )A.5 B.10 C.10 D.202 2答案 A 9.(2017安徽淮北第二次模拟,10)已知函数f(x)=asin xcos x-23sin2x+ 图象的一条对称轴方程为x= ,则函数f(x)的单调递增区间为 ( )12 6A. (kZ) B. (kZ)-3,+6 -12,+512C. (kZ) D. (kZ)-712,-12 +6,+23答案 A 10.(2017江西七校第二次联考,18)已知函数f(x)=4cos xsin (0)的最小正周期是.(-6)(1)求函数f(x)在(0,)上的单调递增区间;(2)求f(x)在 上的最大
29、值和最小值 .8,38解析 (1)f(x)=4cos xsin (-6)=4cos x (32sin-12cos)=2 sin xcos x-2cos 2x+1-13= sin 2x-cos 2x-13=2sin -1,(2-6)因为f(x)的最小正周期是 =(0),所以=1,22从而f(x)=2sin -1.(2-6)令- +2k2x- +2k(kZ),2 6 2解得- +kx +k(kZ),6 3所以函数f(x)在(0,)上的单调递增区间为 和 .(0,3 56,)(2)当x 时,2x ,8,38 4,34所以2x- ,6 12,712所以2sin ,(2-6) 6- 22 ,2所以当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最小值 -1,6 12 8 6- 22当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最大值1,62 3所以f(x)在 上的最大值和最小值分别为 1、 -1.8,38 6- 22
