1、14.3 三角函数的最值与综合应用考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.三角函数的最值 了解三角函数的最值(值域);理解三角函数取最值的条件 理解2017课标全国,14;2017江苏,16;2015陕西,3选择题填空题解答题2.三角函数的图象和性质的综合应用结合三角函数的性质,会求形如函数y=Asin(x+)(A0,0)的综合问题掌握 2015安徽,10;2014四川,16选择题填空题解答题分析解读 1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asin x+bcos x化为y=sin(
2、x+)的形式,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一 三角函数的最值1.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则的最大值为( )A.11 B.9 C.7 D.5答案 B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5 B.6 C.8 D.10答案 C3.(2017课标全国,14,5分)函数f(x)=sin 2x+cos x-的最大值是 .
3、 答案 14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin 2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x0,所以x+,从而-1cos.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取
4、到最大值3;当x+=,即x=时, f(x)取到最小值-2.2教师用书专用(58)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin 2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析 (1)由已知,有f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f =.所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin 2.(1)求f(x)的最小正周期;
5、(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.解析 (1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-x+.当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f=-1-.7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解析 (1)由|a| 2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4s
6、in 2x=1.又x,从而sin x=,所以x=.(6分)(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,当x=时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析 f(x)=(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)
7、的最小正周期为.(2)0x,-2x-.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时, f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时, f(0)=-,当2x-=,即x=时, f=,f(x)的最小值为-.因此, f(x)在上的最大值是1,最小值是-.考点二 三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )A. f(2)11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin0.从而g()=1-cos =1-=1-=.(2)f(
8、x)g(x)等价于sin x1-cos x,即sin x+cos x1.于是sin.从而2k+x+2k+,kZ,即2kx2k+,kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为 x 2kx2k+,kZ .5三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 三角函数的最值1.(2018云南玉溪模拟,6)当-x时,函数f(x)=sin(2+x)+cos(2-x)-sin的最大值和最小值分别是 ( )A.,- B., C.,- D.,-答案 A2.(2017广东惠州第三次调研,8)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为( )A. B.1 C. D.2答案 C3.(2016河北衡水中学二调,15
9、)函数y=sin x-cos x-sin xcos x的最大值为 . 答案 +解析 令sin x-cos x=t-,则t 2=1-2sin xcos x,函数y=t-=t 2+t-=(t+1)2-1,故当t=时,函数y取得最大值+.考点二 三角函数的图象和性质的综合应用4.(2018广东五校联考,8)将曲线C 1:y=sin上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2:y=g(x),则g(x)在-,0上的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案 B5.(2017河南焦作二模,5)将函数y=cos图象上的点P向右平移m(m0)个单位长度后得到点P,
10、若P在函数y=cos 2x的图象上,则( )A.t=-,m的最小值为 B.t=-,m的最小值为C.t=-,m的最小值为 D.t=-,m的最小值为答案 D6.(2017广东海珠上学期高三综合测试(一),12)已知函数f(x)=|cos x|sin x,给出下列四个说法:函数f(x)的周期为;若|f(x 1)|=|f(x2)|,则x 1=x2+k,kZ;f(x)在区间上单调递增;f(x)的图象关于点中心对称.其中正确说法的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.0答案 CB组 20162018年模拟提升题组(满分:55分 时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级
11、中学、沈阳第二十中学第一次联考,6)已知函数f(x)=asin x+cos x(a为常数,xR)的图象关于直线x=对称,则函数g(x)=sin x+acos x的图象( )A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称答案 C2.(2018河南洛阳尖子生第一次联考,11)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),xR,则下列说法正确的是( )6A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期为B.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间上的值域为1,D.函数f(x)在上是增函数答案 C3.(2017江西抚州七校联考,9)将函数f(x)=2sin的图象向左
12、平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象.若g(x 1)g(x2)=9,且x 1,x2-2,2,则2x 1-x2的最大值为( )A. B. C. D.答案 A4.(2016河南南阳期中,6)如图所示,M,N是函数y=2sin(x+)(0)的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的函数图象上运动,若当MPN面积最大时,=0,则=( )A. B. C. D.8答案 A5.(人教A必4,一,1-6,例2,变式)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为( )A.1, B.1,2 C.2, D.,3答案 A二、填空题(共5分)6.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)=As
13、in(x+) 其中A,为常数且A0,0,-1时,当且仅当sin=1时,F(x)取得最小值1-4,由已知得1-4=-,解得=,这与1相矛盾.综上所述,=.C组 20162018年模拟方法题组方法1 求三角函数最值的方法1.(2017江西赣中南五校二模,6)已知f(x)=sin+cos的最大值为A,若存在实数x 1,x2使得对任意实数x总有f(x 1)f(x)f(x 2)成立,则A|x 1-x2|的最小值为( )A. B.C. D.答案 B2.(2017广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考,15)设当x=时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos = . 答案 -方法2 三角函数的图象和性质的综合应用3.(2017河南新乡二模,9)设函数f(x)=sin 2x+ x 0, ,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x 1,x2,x3(x1x2x3),则x 1+x2+x3的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B4.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,15)设函数f(x)=sin(x+),其中|.若ff(x)f对任意xR恒成立,则正数的最小值为 ,此时= . 答案 2;-
