1、1培优点三 含导函数的抽象函数的构造1对于 0fxa，可构造 hxfax例 1：函数 f的定义域为 R， ()12f，对任意 R， ()2fx，则 24fx的解集为（ ）A (),B ()， C ()1， D ()，【答案】B【解析】构造函数 24Gxfx，所以 ()2Gxf，由于对任意 Rx，()2fx，所以 ()0fx恒成立，所以 4xfx是 R上的增函数，又由于 ()12140Gf，所以 20Gf，即 24fx的解集为 ， 2对于 0xffx，构造 hxf；对于 0xffx，构造 fxh例 2：已知函数 y的图象关于 y轴对称，且当 ,， 0f成立，02af， log3lbf， 33lo
2、g9lcf，则 a， b， c的大小关系是（ ）A cB acbC cD ac【答案】D【解析】因为函数 yfx关于 y轴对称，所以函数 yxf为奇函数因为 xfff，所以当 ,0x时， 0ffxf，函数y单调递减，当 0,x时，函数 yfx单调递减因为 0.21， log31， 3l92，所以 0.23loglog9，所以 bac3对于 ()0fxf，构造 exhf；对于 ()fxf或 ()0fxf，构造2()exfh例 3：已知 f为 R上的可导函数，且 Rx，均有 fxf，则有（ ）A 2016e()(0ff， 2016)e()ffB 2016e()(ff， 2016)e()ffC 0f
3、f， ffD 2016e()(ff， 2016)e()ff【答案】D【解析】构造函数 exfg，则 2eex xffffgx，因为 Rx均有 ff并且 0x，所以 0x，故函数 xfg在 R上单调递减，所以 (2016)(g， 216)(g，即 2016()(eff， 2016)(eff，也就是 e0ff， ()ff4 ()fx与 sin， cox构造例 4：已知函数 yf对任意的 ,2x满足 cosin0fxfx，则（ ）A 024ffB 03ffC 3ff D 24ff【答案】D【解析】提示：构造函数 ()cosfxg3对点增分集训一、选择题1若函数 yfx在 R上可导且满足不等式 ()0
4、xff恒成立，对任意正数 a、b，若 a，则必有（ ）A ()afbfB ()bfafC ()afbfD ()bfaf【答案】C【解析】由已知 ()0xff构造函数 Fxf，则 ()Fff，从而 x在 R上为增函数。 ab， ()aFb，即 ()afbf，故选 C2已知函数 Rfx满足 1f，且 12fx，则 12xf的解集为（ ）A 1xB xC 或 D 【答案】D【解析】构造新函数 1()2Fxf，则 1()02Ff，1()2Fxf，对任意 R，有 ()0xf，即函数 Fx在 R上单调递减，所以 0的解集为 (,)，即 12f的解集为 (,)，故选 D3已知函数 fx的定义域为 ， fx为
5、 f的导函数，且 10fxfx，则（ ）A 10fB 0fxC 0fxD xf【答案】C【解析】由题得 1xf，设 1gxfx，所以函数 gx在 R上单调递增，因为 10g，所以当 x时， 0x；当 时， 0gx4当 1x时， 0gx， 10fx，所以 0fx当 时， ， f，所以 f当 1x时， 10ff，所以 10f综上所述，故答案为 C4设函数 fx是函数 Rfx的导函数，已知 fxf，且 4fxfx，0f， 21f则使得 2e0xf成立的 的取值范围是（ ）A 2， B 0， C 1， D 4，【答案】B【解析】设 exfF，则 e0xffF，即函数 Fx在 R上单调递减，因为 4fx
6、f，即导函数 yf关于直线 2对称，所以函数 yf是中心对称图形，且对称中心 ,1（ ） ，由于 40f，即函数 yfx过点 4,0（ ） ，其关于点 2,1（ ） 的对称点 0,2（ ） 也在函数 yfx上，所以有 0f（ ） ，所以 0efF，而不等式 2efx，即 2xf ，即 0Fx，所以 0x，故使得不等式 0成立的 的取值范围是 （ ， ） 故选 B5已知函数 1yfx的图象关于点 1,0对称，函数 yfx对于任意的 0,x满足sincosfx（其中 fx是函数 fx的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）A 36ffB 3242ff5C 323ff D 53264ff【答案】C【
7、解析】由已知， fx为奇函数，函数 yfx对于任意的 0,x满足sincosfx，得 i0ffx，即 0sinfx，所以 siny在 ,上单调递增；又因为 sinfxy为偶函数，所以 sifx在 ,0上单调递减所以 32siiff，即 323ff故选C6定义在 R上的函数 fx的导函数为 fx，若对任意实数 x，有 ffx，且2018fx为奇函数，则不等式 2018ef的解集为（ ）A ,B 0,C ,D 1e,【答案】B【解析】构造函数 exfg，则 0exffg，所以 gx在 R上单独递减，因为 2018fx为奇函数，所以 0218f， 218f， 0218因此不等式 exf等价于 gx，
8、即 0x，故选 B7已知函数 2f是偶函数，且当 2时满足 2fffx，则（ ）A 214fB 3ff6C 5042ff D 13f【答案】A【解析】 fx是偶函数，则 fx的对称轴为 2x，构造函数 2fg，则 g关于 2,0对称，当 2x时，由 xffxf，得 2 0xffxg，则 g在 ,上单调递增， 在 ,2上也单调递增，故 13422fff， 14f本题选择 A 选项8已知定义域为 R的奇函数 yx的导函数为 yfx，当 0时，0fxf，若 13af， 3bf， 1ln3cf，则 a， b， c的大小关系正确的是（ ）A abcB bcaC acbD cab【答案】C【解析】定义域为
9、 R的奇函数 yfx，设 Fxf， Fx为 上的偶函数， Fxfxf，当 0时， 0ff，当 x时， 0ff当 x时， xf，即 在 0,（ ） 单调递增，在 ,-单调递减311lne3FafF， 3bfF，lnlll3cf， 3lel， 3lnel3FF即 acb，故选 C79已知定义在 R上的函数 fx的导函数为 fx， 22exfxf（ 为自然对数的底数） ，且当 1x时， 0fxf，则（ ）A 0fB 2effC 3e0ffD 4e0ff【答案】C【解析】令 exFxf， exFffx， 1 0xff， 1时， 0，则 0ff， 0， x在 ,上单调递减， 21F，即 2e10fff，
10、 2xfxf， 642eff， 431eff 40eff， 30ff，故选 C10定义在 R上的函数 fx的导函数为 fx， 0f若对任意 Rx，都有1fxf，则使得 efx成立的 x的取值范围为（ ）A ,1-B ,0-C 1,-D 0,（ ）【答案】D【解析】构造函数： 1exfg， 0efg，对任意 Rx，都有 1fxf， 2ee0ex xf fg，函数 x在 R单调递减，由 1xf化为： 10exfgg， 0使得 e1xf成立的 的取值范围为 0,（ ） 故选 D811已知函数 fx是定义在区间 0,上的可导函数，满足 0fx且0fxf（ 为函数的导函数） ，若 01ab且 ，则下列不
11、等式一定成立的是（ ）A 1fafbB ffaC ff D afbf【答案】C【解析】构造函数 e0xFf， ， e0xFffx，所以 Fx是0,上的减函数令 1x，则 x，由已知 1Fx，可得 1exff，下面证明12ex，即证明 2ln0，令 1lgxx，则 210xg，即 gx在 0,1上递减， 1gx，即12ex，所以 1ffx，若 01ab， ，则 afbf故选 C12定义在 R上的奇函数 yfx满足 30f，且当 0x时，不等式 fxf恒成立，则函数 lg1gxf的零点的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】定义在 R上的奇函数 fx满足：03fff，且 f，又 x时
12、， fxf，即 0fxf， 0f，函数 hf在 时是增函数，9又 hxfxf， hxf是偶函数； 0时， 是减函数，结合函数的定义域为 R，且 030fff，可得函数 1yxf与 2lg1yx的大致图象如图所示，由图象知，函数 lg1gxfx的零点的个数为 3 个故选 C二、填空题13设 ()fx是 R上的可导函数，且 ()fxf， (0)1f， 2()ef则 (1)f的值为_【答案】 1e【解析】由 ()fxf得 ()0fxf，所以 e()()0xxff，即 e()0xf，设函数 eF，则此时有 12()1F，故 e1xF， 14已知 ,2x， yfx为奇函数， tan0fxf，则不等式co
13、sf的解集为 _【答案】 0,2【解析】 1yfx为奇函数， 01f，即 01f，令 cosfgx， ,2，则 2cosinfxfxg ，10故 gx在 ,2递增， cosfx，得 10cosfxgg，故 0，故不等式的解集是 0,2，故答案为 0,215已知定义在实数集 R的函数 fx满足 7f，且 fx导函数 3fx，则不等式ln3l1fx的解集为_【答案】 20,e【解析】设 lntx，则不等式 ln3l1fx等价为 31ft，设 31gxf，则 gf， f的导函数 fx， 30xf，函数 31gxfx单调递减， 27f， 2321gf，则此时 02tftg，解得t，即 31ft的解为 t，所以 lnx，解得 20ex，即不等式 lnl1fx的解集为 2,e，故答案为 ,16已知函数 f是定义在 ,0,上的奇函数，且 10f若 x时，0xfx，则不等式 f的解集为_【答案】 ,10,【解析】设 fxg，则 2xffxg，当 0时，由已知得 0gx，x为增函数，由 f为奇函数得 10ff，即 10g，当 1x时 xg， fx，当 0时， 0f， f，又 fx是奇函数，11当 01x时， 0fx， 1时， 0fx不等式 f的解集为 ,故答案为 ,10,
