1、1培优点十 等差、等比数列1等差数列的性质例 1：已知数列 na， b为等差数列，若 17ab， 321b，则 5ab_【答案】 35【解析】 n， 为等差数列， n也为等差数列， 3152abab， 531235abab2等比数列的性质例 2：已知数列 na为等比数列，若 4610a，则 71392aa的值为（ ）A 10B 20C D 20【答案】C【解析】与条件 461a联系，可将所求表达式向 4a， 6靠拢，从而 22271397173944622a，即所求表达式的值为 0故选 C3等差、等比综合例 3：设 na是等差数列， nb为等比数列，其公比 1q，且 01,23,ibnL，若1
2、b， 1，则有（ ）A 6aB 6abC 6abD 6ab或 6【答案】B【解析】抓住 1， 和 1， 的序数和与 6， 的关系，从而以此为入手点由等差数列性质出发， ab， 111ab，因为 162a，而 n为等比数列，联想到 与 6有关，所以利用均值不等式可得： 21162bbb；2（ 1q故 1b，均值不等式等号不成立）所以 162aab即 6a故选 B对点增分集训一、单选题1我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺
3、的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤 ”（ ）A6 斤 B7 斤 C8 斤 D9 斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知 14a， 52，求 234a的值由等差数列的性质可知： 24156a， 13，则 2349a，即中间三尺共重 9 斤故选 D2设 nS为等差数列 na的前 项和，若 540S， 9126，则 7S（ ）A66 B68 C77 D84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式 5340Sa， 95126Sa，化简得 35814a，根据等差数列通项公式得 1284ad，解方程组得 13d，7413737Sad故选 C3已知等比数列 na的前 项和为 nS，且满足 1
4、2nS，则 的值为（ ）3A4 B2 C 2D 4【答案】C【解析】根据题意，当 1n时， 124Sa，故当 2n时， 12nnaS，数列 na是等比数列，则 ，故 ；解得 故选 C4已知等差数列 n的前 项和为 nS， 5714a，则 1S（ ）A140 B70 C154 D77【答案】D【解析】等差数列 na的前 项和为 nS， 5714a， 571 1422S故选 D5已知数列 na是公比为 q的等比数列，且 1a， 3， 2成等差数列，则公比 q的值为（ ）A 12B 2C1 或 2D 1或 2【答案】C【解析】由题意知： 312a， 211aq，即 2q， 1q或 2故选 C6公比不
5、为 1 的等比数列 na的前 项和为 nS，且 12a， 2， 3a成等差数列，若1a，则 4S（ ）A 5B0 C5 D7【答案】A【解析】设 na的公比为 q，由 12a， 2， 3a成等差数列，可得 213a，若 1，可得 2，解得 舍 去 ，则 44415aqS，故选 A7等比数列 n的各项均为正数，且 564718a，则 3132310logllogaaL（ 4）A12 B10 C8 D 32log5【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知： 56479a，且 10293847569aaa，据此结合对数的运算法则可得： 5313231031203logllogllog910aL
6、L故选 B8设公差为 的等差数列 na，如果 4797a，那么3699a等于（ ）A 12B 78C 18D 82【答案】D【解析】由两式的性质可知： 369914797222aadadad，则 5068 故选 D9已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 1325S，则数列 na的第三项为（ ）A3 B 4C D6【答案】C【解析】设等差数列 na的公差为 d， 1325S， 1231256aa， 135da故选 C10等差数列 na的前 项和为 nS，若 80，则 S（ ）A27 B36 C45 D66【答案】D【解析】 81026a， 61010aa， 6， 1162aS，5故选 D11
7、设 na是各项为正数的等比数列， q是其公比， nK是其前 项的积，且 56K，678K，则下列结论错误的是（ ）A 01qB 71aC 95KD 6K与 均为 n的最大值【答案】C【解析】设等比数列 1naq， 是其前 n项的积，所以12nnaq，由此 5561K， 6671Kaq， 7781K所以 671aq，所以 B 正确，由 5，各项为正数的等比数列，可知 01q，所以 A 正确，61aq，12nnKq可知1322nnnKa，由 0，所以 x单调递减， 在 6，7 时取最小值，所以 n在 6，7 时取最大值，所以 D 正确故选 C12定义函数 fx如下表，数列 na满足 1nnfa，
8、N，若 12a，则1232018aaL（ ）A7042 B7058 C7063 D7262【答案】C【解析】由题设知 13f， 25f， 34f， 6f， 51f， 62f， 12a， 1nnfa， N， ， 25f， 31f， 43af，6534af， 6af， 762af， n是周期为 6 的周期数列， 201832， 01832345627063aaL ，故选 C二、填空题13已知等差数列 na，若 2376a，则 17a_【答案】4【解析】 2376， 19d， 132d， 42a， 1742a故答案为 414已知等比数列 n的前 项和为 nS，若公比 32q，且 123a，则 12S
9、的值是_【答案】15【解析】已知 123a，则 313aqS，又 3q代入得 1q；1231212 5qq15设 nS是等差数列 na的前 项和，若 5309a，则 95S_【答案】2【解析】1995532aS，又 53109a，代入得 95102S16在等差数列 na中， 1410619，则 16913a的值是_【答案】20【解析】根据等差数列性质 141061905a，所以 102，7根据等差数列性质， 169136139101902aaaa三、解答题17已知数列 na中， 12， 1na（1）求 ；（2）若 nnba，求数列 nb的前 5 项的和 5S【答案】 （1） 2；（2）77【解
10、析】 （1） 1a， 1na，则数列 n是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 12nna；（2） nba，2345512S34527118设 na是等差数列，其前 n项和为 *nSN； nb是等比数列，公比大于 0，其前项和为 *TN已知 1b， 32， 435ba， 462ba（1）求 nS和 T；（2）若 124nnabL，求正整数 n的值【答案】 （1） nS， 21T；（2）4【解析】 （1）设等比数列 nb的公比为 q，由 1b， 32，可得 20q因为 0q，可得 2，故 1所以nn设等差数列 na的公差为 d8由 435ba，可得 134ad由 562得 6，从而 1a， d，故 na，所以 2nS（2）由（1） ，有 11212212nnnnT LL由 124nnnSTab，可得 11nn，整理得 340，解得 1（舍） ，或 4所以 的值为 4
