1、第一讲 等差数列、等比数列,热点题型1 数列的概念、表示方法、递推公式 【感悟经典】 【典例】1.(2018北京高考)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为_.,2.已知数列an的前n项和为Sn,若a1=1, a2n=n-an, a2n+1=an+1,则S100=_.(用数字作答),【联想解题】 1.看到等差数列求通项公式,想到求公差d 2.看到奇数项与偶数项,想到奇数项与偶数项的关系.,【规范解答】1.由已知,设等差数列an的公差为d, 则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=36, 又a1=3,所以d=6,所以an的通项公式为an= 3+6(n-1)=
2、6n-3(nN*). 答案:an=6n-3(nN*),2.由题设可得a2n+a2n+1=n+1,取n=1,2,3,49可得 a2+a3=2,a4+a5=3,a6+a7=4,a98+a99=50,将以上49个 等式两边分别相加可得a2+a3+a4+a5+a6+a7+a98+a99=49=1 274;又a3=a1+1=2,a6=3-a3=1,a12=6-a6=5,a25=a12+1=6,a50=25-a25=19,a100=50-a50=31,所以S100=1+1 274+31=1 306. 答案:1 306,【规律方法】 递推公式求通项的常用方法 (1)累加法:若an+1-an=f(n),则an
3、=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1). (2)累乘法:若an+1=anf(n),则an=a1,(3)构造法:若an+1=pan+q(p,q为常数),构造等比数列求 an. 提醒:注意 的运用条件.,【对点训练】 1.(2018菏泽一模)在等比数列an中,a2,a16是方程 x2+6x+2=0的两个实数根,则 的值为 ( ) A.2 B.- 或 C. D.-,【解析】选B.因为a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,所以 a2+a16=-6,a2a16=2,所以a20,q0,所以 =a9= = .,2.递增数列an的前n项和为Sn,若(2+1)Sn=an+2,则实数的取值
4、范围是_.,【解析】因为(2+1)Sn=an+2,所以当n2时, (2+1)Sn-1=an-1+2,相减可得: . 当n=1时,(2+1)a1=a1+2, 解得a1= (-1).,若a1= 0,则 1, 解得-1- . 若a1= 0,则0 1,解得. 综上可得: . 答案:,热点题型2 等差数列、等比数列的性质 【感悟经典】 【典例】1.若等比数列an的各项均为正数,且a10a11 +a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20= ( ) A.20 B.50 C.70 D.80,2.记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=_.,【联想解题】 1.看到
5、两项的乘积aman,想到利用等比数列的性质“若k+l=m+n,则akal=aman.”求解. 2.看到等差数列,想到通项公式、前n项和公式.,【规范解答】1.选B.由等比数列的性质可知, a10a11=a9a12,所以由已知得a10a11=e5,于是ln a1+ ln a2+ln a20=ln(a10a11)10=10ln e5=50. 2.a6+a7=2a1+11d=14,a3=a1+2d=0,所以d=2,a4=2,S7=7a4=14. 答案:14,【规律方法】 数列性质应用的关键 关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.,【对点训练】 1.等差
6、数列an的前n项和为Sn,且满足a4+a10=20,则 S13= ( ) A.130 B.150 C.200 D.260,【解析】选A,2.已知等比数列an满足a1= ,a2a8=2a5+3,则a9=( ) A.- B. C.648 D.18,【解析】选D.由a2a8= =2a5+3得a5=3或a5=-1(舍), 所以a1a9= =9,故a9=18.,【提分备选】 在各项均为正数的等比数列an中,a3= -1, a5= +1,则 +2a2a6+a3a7= ( ) A.4 B.6 C.8 D.8-4,【解析】选C.在等比数列an中, a3a7= ,a2a6=a3a5, 所以 +2a2a6+a3a
7、7= +2a3a5+ =(a3+a5)2= ( -1+ +1)2=(2 )2=8.,热点题型3 等差数列、等比数列的判定与证明 【感悟经典】 【典例】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1, Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明:数列bn是等比数列. (2)设cn= ,证明:数列cn是等差数列.,【联想解题】 (1)看到前n项和与通项的递推关系式,想到用n-1替换n构造新的等式,消去“和”. (2)看到证明数列是等差数列、等比数列,想到应用定义法判断.,【规范解答】(1)由a1=1及Sn+1=4an+2, 有a1+a2=S2=4a1+2. 所以a2=5, 所以b1=a
8、2-2a1=3. 又,-,得an+1=4an-4an-1(n2), 所以an+1-2an=2(an-2an-1). 因为bn=an+1-2an,所以bn=2bn-1, 所以bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.,(2)由(1)知bn=an+1-2an=32n-1, 因为cn= ,所以an=2ncn,an+1=2n+1cn+1, 代入上式得2n+1cn+1-22ncn=32n-1, 所以cn+1-cn= , 故cn是首项为 ,公差为 的等差数列.,【规律方法】 1.证明数列an是等差数列常用的方法 (1)定义法:an-an-1=d(n2). (2)通项公式法:an=a1+(n-1)d. (3)
9、等差中项法:an+1+an-1=2an(n2).,2.证明数列an是等比数列常用的方法 (1)定义法:证明 =q(n2,q为常数). (2)通项公式法:证明an=a1qn-1. (3)等比中项法:证明 =an-1an+1(n2).,3.等差(比)数列的判断方法 若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在 连续三项不成等差(等比)数列即可,也可以用反证法. 提醒: =an-1an+1(n2,nN*)是an为等比数列的必 要而不充分条件,也就是要注意判断一个数列是等比 数列时,要注意各项不为0.,【对点训练】 (2018天津高考)设an是等比数列,公比大于0,其前 n项和为Sn(nN*),
10、bn是等差数列. 已知a1=1,a3=a2+2, a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通项公式.,(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*), 求Tn; 证明,【解析】(1)设等比数列an的公比为q.由a1=1, a3=a2+2,可得q2-q-2=0. 因为q0,可得q=2,故an=2n-1.,设等差数列bn的公差为d,由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.,(2)由(1)有Sn= =2n-1,故Tn= (2k-1)
11、=2k-n= =2n+1-n-2.,因为,【提分备选】 1.设数列an的前n项和为Sn,已知2an-2n=Sn (1)证明:an-n2n-1是等比数列; (2)求an的通项公式.,【解析】(1)由题意知a1=2,且2an-2n=Sn, 2an+1-2n+1=Sn+1, 两式相减得2(an+1-an)-2n=an+1, 即an+1=2an+2n, ,于是an+1-(n+1)2n=2an+2n-(n+1)2n =2(an-n2n-1), 又a1-121-1=10,所以an-n2n-1是首项为1,公比为2的等比数列. (2)由(1)知an-n2n-1=2n-1,即an=(n+1)2n-1.,2.已知
12、数列an的前n项和Sn=-an-( )n-1+2(n为正 整数). (1)令bn=2nan,求证数列bn是等差数列,并求数列an 的通项公式; (2)令cn= an,Tn=c1+c2+cn,求Tn.,【解析】(1)在Sn=-an- +2中, 令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1= , 当n2时,Sn-1=-an-1- +2, 所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+ ,所以2an=an-1+ ,即2nan=2n-1an-1+1. 因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1, 即当n2时,bn-bn-1=1 又b1=2a1=1,所以数列bn是首项和公差均为1的等差 数列.,于是b
13、n=1+(n-1)1=n=2nan,所以an= .,(2)由(1)得cn= an=(n+1) , 所以Tn=2 +3 +4 +(n+1) ,Tn=2 +3 +4 +(n+1) , 由-得,Tn=1+ + + -(n+1) = -(n+1) 所以,数学抽象等比数列、等差数列中的数学素养 【相关链接】 1.等差数列、等比数列的基本量是首项a1和公差d、公比q,在进行等差(比)数列的通项与求和的运算时,可化成关于a1和d(q)的方程组求解.,2.要注意消元法及整体计算,合理利用由等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式推出的一些性质,以减少计算量.,【典例1】(2017北京高考)若等差数列a
14、n和等比数 列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则 =_.,【规范解答】设等差数列的公差和等比数列的公比分 别为d和q,由a1=b1=-1,a4=b4=8,得-1+3d=-q3=8,解得 q=-2,d=3,那么 = =1. 答案:1,【典例2】(2018长沙一模)已知数列an满足an+1-an=2(nN*),Sn为an的前n项和,若 S11=S10+12,则a1=_.,【规范解答】由已知,数列an为等差数列,且公差d=2.因为a11=S11-S10=12,则a1+10d=12.所以a1=12-10d=-8. 答案:-8,【通关题组】 1.已知等差数列an的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1=_;数列an的前n项和Sn=_ .,【解析】由已知 解得a1=2, 所以Sn=2n+ 2=n2+n. 答案:2 n2+n,2.(2018湖北八校联考)若数列an的前n项和为Sn, 首项a10且2Sn= +an(nN*). (1)求数列an的通项公式. (2)若an0(nN*),令 求数列bn的 前n项和Tn.,【解析】(1)当n=1时,2S1= +a1,则a1=1. 当n2时,an=Sn-Sn-1= 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1. 所以an=(-1)n-1或an=n.,(2)由an0,所以an=n,bn= 所以,
