1、1第 1讲 等差数列与等比数列1.(2018全国卷,理 4)设 Sn为等差数列a n的前 n项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5等于( B )(A)-12 (B)-10 (C)10 (D)12解析:设等差数列a n的公差为 d,由 3S3=S2+S4,得3 3a1+ d =2a1+ d+4a1+ d,2(21)2 4(41)2将 a1=2代入上式,解得 d=-3,故 a5=a1+(5-1)d=2+4(-3)=-10.故选 B.2.(2017全国卷,理 3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7层塔共
2、挂了 381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍,则塔的顶层共有灯( B )(A)1盏 (B)3盏 (C)5盏 (D)9盏解析:依题意可知,S 7=381,q=2,所以 S7= =381,1(127)12解得 a1=3.故选 B.3.(2016全国卷,理 3)已知等差数列a n前 9项的和为 27,a10=8,则 a100等于( C )(A)100 (B)99 (C)98 (D)97解析: 91+982 =27,1+9=8, 解得a100=a1+(100-1)d=-1+99=98.故选 C.4.(2017全国卷,理 4)记 Sn为等差数列a n的前 n项和.若 a4+a5=24,
3、S6=48,则a n的公差为( C )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:设等差数列首项为 a1,公差为 d,则 a4+a5=2a1+7d=24,S6=6a1+ d=6a1+15d=48,652由得 d=4.故选 C.5.(2017全国卷,理 9)等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6项的和为( A )(A)-24 (B)-3 (C)3 (D)8解析:由 a2,a3,a6成等比数列且 a1=1得2(1+2d)2=(1+d)(1+5d).因为 d0,所以 d=-2,所以 S6=61+ (-2)=-24.652故选 A.6.(2016全国卷,
4、理 15)设等比数列a n满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 .解析:设等比数列a n的公比为 q,则 1+12=10,1+13=5,解得 q= ,a1=8,12a1a2an= q1q2qn-1= (1)2=8n12 (1)2= .2(72) 2+4942当 n=3或 4时,a 1a2an有最大值 64.答案:647.(2018全国卷,理 14)记 Sn为数列a n的前 n项和.若 Sn=2an+1,则 S6= . 解析:因为 Sn=2an+1,当 n2 时,S n-1=2an-1+1,所以 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-1.当 n
5、=1时,a 1=S1=2a1+1,得 a1=-1.所以数列a n是首项 a1为-1,公比 q为 2的等比数列,所以 Sn= = =1-2n,所以 S6=1-26=-63.答案:-638.(2018全国卷,理 17)记 Sn为等差数列a n的前 n项和,已知 a1=-7,S3=-15.(1)求a n的通项公式;(2)求 Sn,并求 Sn的最小值.解:(1)设a n的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15.3由 a1=-7得 d=2.所以a n的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n-9.(2)由(1)得 Sn= n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4时,S n取得最小值,最小
6、值为-16.1.考查角度考查等差数列、等比数列基本量的计算,考查等差数列、等比数列性质的应用,考查等差数列、等比数列的判断与证明等.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第 2527页)等差、等比数列的基本运算【例 1】 (1)(2018山东济南二模)已知a n是公差为 2的等差数列,S n为数列a n的前 n项和,若 S5=15,则 a5等于( )(A)3 (B)5 (C)7 (D)9(2)(2018湖南省两市九月调研)已知等比数列a n中,a 5=3,a4a7=45,则 的值为( )7957(A)3 (B)5 (C)9 (D)25(3)(2018福建百校高
7、三临考冲刺)若干个连续奇数的和 3+5+7+(4n-1)等于( )(A)2n2+n(B)n2+2n(C)4n2+2n (D)4n2-1解析:(1)由题得 S5=5a1+ 2=5a1+20=15,542所以 a1=-1,所以 a5=a1+4d=-1+8=7.故选 C.(2)因为a n是等比数列,所以 a4= ,a7=a5q2,5所以 a4a7= q=9q=45,25所以 q=5,所以 = =25.故选 D.7957(57)257(3)把连续的奇数数列加 1减 1变成 1+3+5+7+(4n-3)+(4n-1)-1,把相邻两项的和看成一4个新的数列,为 4+12+20+(8n-4)-1,所以变成首
8、项 a1=4,d=8的等差数列,所以 Sn=4n+8-1=4n+4n2-4n-1=4n2-1.故选 D.解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前 n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.热点训练 1:(1)(2018柳州一模)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”,今共有粮 98石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知乙分得 28石,则“衰分比”为( )(A) (B)2(C) 或 2(D)- 或12 12 12(2
9、)(2018贵阳一模)已知等比数列a n的前 n项和为 Sn,且 a1= ,a2a6=8(a4-2),则 S2 018等12于( )(A)22 017- (B)1- 2 01712 12(C)22 018- (D)1- 2 01812 12(3)(2018宜昌模拟)已知数列a n满足 =25 ,且 a2+a4+a6=9,则 lo (a5+a7+a9)等5+1 13于( )(A)-3 (B)3 (C)- (D)13 13解析:(1)设“衰分比”为 q,则 +28+28q=98,28解得 q=2或 ,12因为 00,则其前 n项和取最小值时的 n的值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(
10、3)(2018河南洛阳市联考)在等比数列a n中,a 2,a16是方程 x2+6x+2=0的根,则 的值为( )(A)- (B)- 2(C) (D)- 或2 2 2(4)(2018浙江温州市一模)已知数列a n是公差不为 0的等差数列,b n= 数列b n的前 n项、前 2n项、前 3n项的和分别为 A,B,C,则( )(A)A+B=C (B)B2=AC(C)(A+B)-C=B2 (D)(B-A)2=A(C-B)解析:(1)由题得 S7= (a1+a7)= 2a4=7a4=715=105.故选 D.72 72(2)等差数列的公差为正数,则 a11=-a6,所以 a6+a11=a8+a9=0,据
11、此可得 a80,故其前 n项和取最小值时的 n的值为 8.选 C.(3)因为 a2,a16是 x2+6x+2=0的两根,6所以 a2a16=2,又因为 a2a16= ,29所以 =2,所以 a9= ,29 2所以 = = .选 D.2(4)因为a n是公差不为 0的等差数列,所以b n是公比不为 1的等比数列,由等比数列的性质,可得 A,B-A,C-B成等比数列,所以可得(B-A) 2=A(C-B).故选 D.(1)等差数列的主要性质:若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),则 am+an=ap+aq,特别是m+n=2p(m,n,pN *)时,a m+an=2ap,由此可得在等差数列中 S
12、2n-1=nan;把等差数列等距分段,各段之和还是等差数列;若 则 的值最大,若 ,则 的值最小.00,0+10,a7+a100,a7+a10=a8+a90,a90, = -S n+1,其中 为常数.证明:S n+1=2Sn+;是否存在实数 ,使得数列a n为等比数列,若存在,求出 ;若不存在,说明理由.(1)解:na n-(n+1)an-1=2n2+2n(n=2,3,4,),a1=6,可得 - =2,1则 是以首项为 3,公差为 2的等差数列,可得 =3+2(n-1)=2n+1,则 an=(n+1)(2n+1).证明:由 0,所以 Sn+10,所以 Sn+1-2Sn-=0,所以 Sn+1=2
13、Sn+.解:存在.因为 Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn-1+(n2),相减得 an+1=2an(n2),所以a n从第二项起成等比数列,因为 S2=2S1+,即 a2+a1=2a1+,所以 a2=1+0 得 -1,所以 an=若使a n是等比数列,则 a1a3= ,22所以 2(+1)=(+1) 2,所以 =-1(舍去)或 =1,经检验 =1 符合题意.等差、等比数列的综合【例 4】 (2018郑州三模)已知等差数列a n的公差 d0,其前 n项和为 Sn,若 a2+a8=22,且 a4,a7,a12成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 Tn= + + ,证明:T n .1 3
14、4(1)解:因为a n为等差数列,且 a2+a8=22,所以 a5= (a2+a8)=11,12由 a4,a7,a12成等比数列,得 =a4a12,27即(11+2d) 2=(11-d)(11+7d),因为 d0,所以 d=2,10所以 a1=11-42=3,故 an=2n+1(nN *).(2)证明:因为 Sn= =n(n+2),所以 = = - ,1 12所以 Tn= + +1= 1- + - + - + - + -12 13 1214 1315= 1+ - -12 12= - +3412 ,34故 Tn .34解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想,即列出等差数列、等比数列基本量
15、的方程或者方程组,解方程或者方程组求得基本量,求出等差数列、等比数列的通项公式,在此基础上求解其他问题.热点训练 4:(2018江西南昌二模)已知各项均为正数且递减的等比数列a n满足:a3, a4,2a5成等差数列,前 5项和 S5=31.(1)求数列a n的通项公式;(2)若等差数列b n满足 b1=a4-1,b2=a3-1,求数列 的前 n项和.解:(1)由 a3, a4,2a5成等差数列得 3a4=a3+2a5,32设a n公比为 q,则2q2-3q+1=0,解得 q= 或 q=1(舍去),12所以 S5= =31,解得 a1=16.1(1125)11211所以数列a n的通项公式为a
16、n=16 n-1= n-5.12 12(2)设等差数列b n的公差为 d,由 b1=a4-1,b2=a3-1得 b1=1,d=a3-a4=4-2=2,所以 bn=2n-1, = 2n-6,12数列 的前 n项和Tn= -4+ -2+ 2n-612 12 12= 1- n .14【例 1】 (1)(2018陕西省西工大附中八模)已知等差数列 1,a,b,等比数列 4,a-1,b+4,则该等比数列的公比为( )(A) (B)-52 12(C) 或- (D)10或-252 12(2)(2018江西赣州红色七校联考)已知等差数列a n的公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8成等比数列,则 等于(
17、 )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:(1)根据题意,得解得 或 =11,=21,因为等比数列的公比为 ,所以公比为- 或 .12 52故选 C.(2)由题意,设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d,因为 a2,a4,a8成等比数列,所以 =a2a8 =(a1+d)(a1+7d),2412解得 d=a1,所以 = = =3.故选 D.【例 2】 (2018福建泉州 5月质检)已知等差数列a n中,a 1=2,a2+a4=16.(1)设 bn= ,求证:数列b n是等比数列;(2)求a n+bn的前 n项和.(1)证明:设a n的公差为 d,由 a2+a4=16,可得(a 1+d)
18、+(a1+3d)=16,即 2a1+4d=16,又 a1=2,可得 d=3,故 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1,依题意,b n=23n-1,因为 = =23=8,+1 23+2231故b n是首项为 4,公比为 8的等比数列.(2)解:a n的前 n项和为 = ,(3+1)2bn的前 n项和为 = 23n+2- ,17 47故a n+bn的前 n项和为 + 33n+2- .(3+1)2 17 47【例 3】 (2018湖南岳阳一中一模)已知数列a n的首项 a1=1,其前 n项和为 Sn,且对任意正整数 n,有 n,an,Sn成等差数列.(1)求证:数列S n+n+2成等
19、比数列;(2)设 bn=nan,求数列b n前 n项和 Tn.(1)证明:因为 n,an,Sn成等差数列,所以 2an=n+Sn,又 an=Sn-Sn-1(n2),所以 2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即 Sn=2Sn-1+n,所以 Sn+n+2=2Sn-1+2n+2,即 Sn+n+2=2Sn-1+(n-1)+2.又因为 S1+1+2=40,所以S n+n+2是首项为 4,公比为 2的等比数列.(2)解:由(1)知S n+n+2是以 4为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn+n+2=42n-1=2n+1,又 2an=n+Sn,13所以 2an+2=2n+1,所以 an=2n-1,故 bn=n
20、an=n(2n-1)=n2n-n,所以 Tn=(121+222+323+n2n)-(1+2+3+n),Tn=2+(n-1)2n+1- .【例 4】 (2018江西二模)已知等差数列a n的公差 d0,a 1=0,其前 n项和为 Sn,且a2+2,S3,S4成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn= ,数列b n的前 n项和为 Tn,求证:T n-2n .(2+2)22+1 32(1)解:由 a1=0得 an=(n-1)d,Sn= ,因为 a2+2,S3,S4成等比数列,所以 =(a2+2)S4,23即(3d) 2=(d+2)6d,整理得 3d2-12d=0,因为 d0,所以 d
21、=4,所以 an=4(n-1)=4n-4.(2)证明:由(1)可得 Sn=2n(n-1),Sn+1=2n(n+1),bn= = =2+(2+2)22+1 (2+2)22+2(+1)=2+ - ,所以数列b n的前 n项和为Tn=2n+ 1- + - + - + - + -13 1214 1315=2n+1+ - - ,12可得 Tn-2n= - - ,32则 Tn-2n .32(对应学生用书第 27页)【典例】 (2018全国卷,理 17)(12分)等比数列a n中,a 1=1,a5=4a3.14(1)求a n的通项公式;(2)记 Sn为a n的前 n项和.若 Sm=63,求 m.解:(1)因
22、为等比数列a n中,a 1=1,a5=4a3,所以 1q4=4(1q2),2分解得 q=2,3分当 q=2时,a n=2n-1,4分当 q=-2时,a n=(-2)n-1,5分所以a n的通项公式为 an=2n-1或 an=(-2)n-1.6分(2)当 a1=1,q=-2时,Sn= = ,7分1(2)3由 Sm=63,得 Sm= =63,mN *,无解,9 分1(2)3当 a1=1,q=2时 Sn= = =2n-1,10分由 Sm=63,得 Sm=2m-1=63,mN *,解得 m=6.综上,m=6.12 分【答题启示】(1)在等差、等比数列的通项公式与前 n项和公式中,有五个量,利用方程思想可“知三求二”.(2)在等比数列中要注意对公比 q的值讨论,而本题易忽略 q=-2时的情况,另外在数列中nN *.
