1、新课标高三数学等比数列、数列通项的求法专项训练（河北） 选择题 设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 3，则 ( ) A 2 B C D 3 答案： B 考点：等比数列的性质 分析：根据等比数列的性质得到 Sn， S2n-Sn， S3n-S2n成等比列出关系式，又 S6：S3=3，表示出 S3，代入到列出的关系式中即可求出 S9： S6的值 解：因为等比数列 an的前 n项和为 Sn，则 Sn， S2n-Sn， S3n-S2n成等比，（ Sn0） 所以 = ，又 =3，即 S3= S6， 所以 = ， 整理得 = 故答案：为： B 设 an是公比为 q的等比数列， |q| 1，令 bn a
2、n 1(n 1,2， ) ，若数列bn有连续四项在集合 -53， -23,19,37,81中则 6q _ 答案： -9 考点：等比数列的性质 分析：由 bn=an+1且数列 bn有连续四项在集合 -53， -23， 19， 37， 82中，可得所以， an -54， -24， 18， 36， 81 结合已知条件 an是公比为 q的等比数列且 |q| 1可知应去掉的数据应是 18，从而可求等比数列的公比 q，进而可求 6q 解：因为 bn=an+1（ n=1， 2， ）且数列 bn有连续四项在集合 -53， -23， 19，37， 82中， 所以， an -54， -24， 18， 36， 81
3、 因为 an是公比为 q的等比数列且 |q| 1 所以数列 an中的项分别为： -24， 36， -54， 81 6q=6(- )=-9 已知数列 an满足 an an-an-1(n2)， a1 a， a2 b，记 Sn a1 a2 a3 an，则下列结论正确的是 ( ) A a2008 -a， S2008 2b-a B a2008 -b， S2008 2b-a C a2008 -b， S2008 b-a D a2008 -a， S2008 b-a 答案： A 数列 an满足 a1 2， an -，则 a2009 ( ) A 2 B - C - D 1 答案： B 如果数列 an满足 a1，
4、， 是首项为 1，公比为 2的等比数列，则a100 ( ) A 2100 B 299 C 25050 D 24950 答案： D 已知 a1 1， an n(an -an)，则数列的通项公式 an ( ) A 2n-1 B n-1 C n2 D n 答案： D 考点：数列递推式 分析：先整理 an=n（ an+1-an）得 = ，进而用叠乘法求得答案： 解：整理 an=n（ an+1-an）得 = = = =n an=na1=n 故选 D 已知数列 an的前 n项和为 Sn an-1(a为不为零的实数 )，则此数列 ( ) A一定是等差数列 B一定是等比数列 C或是等差数列或是等比数列 D既不
5、可能是等差数列，也不可能是等比数列 答案： C 考点：数列的应用 分析：由题意可知，当 a=1时， an-an-1=0；当 a1时， = =a，所以数列 an或是等差数列或是等比数列 解：当 a=1时， a1=a-1=0， an=Sn-Sn-1=（ an-1） -（ an-1-1） =0， an-1=Sn-1-Sn-2=（ an-1-1） -（ an-2-1） =0， an-an-1=0， 数列 an是等差数列 当 a1时， a1=a-1， an=Sn-Sn-1=（ an-1） -（ an-1-1） =an-an-1， an-1=Sn-1-Sn-2=（ an-1-1） -（ an-2-1） =
6、an-1-an-2， = =a， 数列 an是等比数列 综上所述，数列 an或是等差数列或是等比数列 故选 C 已知等比数列 an中 a2 1，则其前 3项的和 S3的取值范围是 ( ) A (-， -1 B (-， 0) (1， ) C 3， ) D (-， -1 3， ) 答案： D 考点：等比数列的前 n项和 分析：首先由等比数列的通项入手表示出 S3（即 q的代数式），然后根据 q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出 S3的范围 解： 等比数列 an中， a2=1 S3=a1+a2+a3=a2(1+q+ )=1+q+ 当公比 q 0时， S3=1+q+ 1+2 =3； 当公比 q
7、0时， S3=1-(-q- )1-2 =-1 S3 （ -， -1 3， +） 故选 D 已知等比数列 an满足 a1 a2 3， a2 a3 6，则 a7 ( ) A 64 B 81 C 128 D 243 答案： A 考点：等比数列 分析：由 a1+a2=3， a2+a3=6的关系求得 d，进而求得 a1，再由等比数列通项公式求解 解：由 a2+a3=q（ a1+a2） =3q=6， q=2 a1（ 1+q） =3， a1=1， a7=26=64 故选 A 设 x R，记不超过 x的最大整数为 x，令 x x-x，则， ( ) A是等差数列但不是等比数列 B是等比数列但不是等差数列 C既是
8、等差数列又是等比数列 D既不是等差数列也不是等比数列 答案： B 考点：等差关系的确定；等比关系的确定 分析：可分别求得 = ， =1则等比数列性质易得三者构成等比数列 解：根据题意可得 = ， =1 =12， + 2 ， ， 为等比数列，不是等差数列 故选 B 已知等比数列 an满足 an 0， n 1,2， ，且 a5 a2n-5 22n(n3)，则当 n1时， log2a1 log2a3 log2a2n-1 ( ) A n(2n-1) B (n 1)2 C n2 D (n-1)2 答案： C 考点：数列与函数的综合 分析：由题意，等比数列 ana 0， n=1， 2， ，且 a5 a2n
9、-5=22n（ n3），又当 n 1时， log2a1+log2a3+log2a5+log 2a2n-1=log2a1a3a5a 2n-1由等比数列的性质m+n=s+t， aman=asat求出 a1a3a5a 2n-1的值，即可求出正确答案：，得出正确选项 解：由题意等比数列 ana 0， n=1， 2， ， 当 n 1时， log2a1+log2a3+log2a5+log 2a2n-1=log2a1a3a5a 2n-1 又 a5 a2n-5=22n（ n3） a1a3a5a 2n-1=（ 2n） n=2n 2 log2a1+log2a3+log2a5+log 2a2n-1=log22n 2
10、=n2 故选 C 填空题 设函数 f(x) a1 a2x a3x2 anxn-1， f(0)，数列 an满足 f(1)n2an(n N*)，则数列 an的通项 an _ 答案： 已知数列 an满足 a1 1， an 1-2an 2n，则 an _ 答案： n 2n-1 已知数列 an满足 a1 1， an 1，则 an _ 答案： 设等差数列 an的前 n项和为 Sn，则 S4， S8-S4， S12-S8， S16-S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列 bn的前 n项积为 Tn，则 T4， _，_，成等比数列 答案： 等比数列 an的公比 q 0，已知 a2 1， an 2 an 1
11、6an，则 an的前 4项和S4 _ 答案： 解答题 等比数列 an中，已知 a1 2， a4 16. (1)求数列 an的通项公式； (2)若 a3， a5分别为等差数列 bn的第 3项和第 5项，试求数列 bn的通项公式及前 n项和 Sn. 答案： (1)设 an的公比为 q，由已知得 16 2q3，解得 q 2. 数列 an的通项公式为 an 2 2n-1 2n. (2)由 (1)得 a3 8， a5 32，则 b3 8， b5 32. 设 bn的公差为 d，则有解得， 从而 bn -16 12(n-1) 12n-28， 所以数列 bn的前 n项和 Sn 6n2-22n. 等比数列 an
12、的前 n项和为 Sn，已知 S1， S3， S2成等差数列 (1)求 an的公比 q； (2)若 a1-a3 3，求 Sn， 答案： (1)依题意有 a1 (a1 a1q) 2(a1 a1q a1q2) 由于 a10，故 2q2 q 0，又 q0，从而 q -. (2)由已知可得 a1-a12 3，故 a1 4. 故 Sn . 设曲线 y x2 x 1-ln x在 x 1处的切线为 l，数列 an中， a1 1，且点 (an，an )在切线 l上 (1)求证：数列 1 an是等比数列，并求 an； (2)求数列 an的前 n项和 Sn. 答案： (1)由 y x2 x 1-ln x，知 x 1
13、时， y 3. 又 y|x 2x 1-|x 2， 切线 l的方程为 y-3 2(x-1)，即 y 2x 1. 点 (an， an )在切线 l上， an 2an 1,1 an 2(1 an) 又 a1 1， 数列 1 an是首项为 2，公比为 2的等比数列， 1 an 2 2n-1，即 an 2n-1(n N*) (2)Sn a1 a2 an (21-1) (22-1) (2n-1) 2 22 2n-n 2n 1-2-n. 已知数列 an满足， a1 1， a2 2， an ， n N. (1)令 bn an -an，证明： bn是等比数列： (2)求 an的通项公式 答案： (1)证明： b1 a2-a1 1， 当 n2时， bn an -an -an -(an-an-1) -bn-1， 所以 bn是以 1为首项； -为公比的等比数列 (2)由 (1)知 bn an -an n-1， 当 n2时， an a1 (a2-a1) (a3-a2) (an-an-1) 1 1 n-2 1 1 -n-1， 当 n 1时， -n-1 1 a1， 所以 an -n-1.
