1、1第一讲 等差数列、等比数列(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.设 Sn,Tn分别是等差数列a n,bn的前 n项和,若 = (nN *),则 =( ) 2+155A. B. C. D.1123【解析】选 D. = = .55992.等差数列a n的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则a n的前 n项和 Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.【解析】选 A.由 =a2a8得(a 1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以(a 1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得 a1=2所以 Sn=na1+ d=n2+n.3.已知数列a n满
2、足: = ,且 a2=2,则 a4等于 ( )+1+1+112A.- B.23 C.12 D.1112【解析】选 D.因为数列a n满足: = ,所以 an+1+1=2(an+1),即数列a n+1是等+1+1+112比数列,公比为 2.则 a4+1=22(a2+1)=12,解得 a4=11.4.已知数列 an是公差不为 0的等差数列,a 2=3,且 a3,a5,a8成等比数列,设 bn= ,2则数列b n的前 n项和 Tn为 ( )A. B. -1C. D.22+1 2+4【解析】选 B.设 公差为 d(d0),首项为 a1,所以 a1+d=3,(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2
3、,解得a1=2,d=1,所以 an=n+1,bn= =2 ,所以 Tn=2(1+1- 1+2)+2 +2 =2 = .(12-13) (13-14) ( 1+1- 1+2) +25.记 Sn为等差数列a n的前 n项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5= ( )A.-12 B. -10 C.10 D.12【解析】选B.3 =2a1+d+4a1+ d9a1+9d=6a1+7d3a1+2d=06+2d=0d=-3,所以 a5=a1+4d=2+4(-3)=-10.二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.若a n为等比数列,a n0,且 a2 018= ,则 + 的最小值为_. 12 01
4、722 019【解析】 + = =412 01722 0192 019+22017 22 018答案:47.设 Sn为等差数列a n 的前 n项和,满足 S2=S6, - =2,则 a1=_,公差44d=_. 【解析】因为 Sn为等差数列a n的前 n项和,满足 S2=S6, - =2,所以 2a1+d=6a1+15d,55443- =2,解得 a1=-14,d=4.51+105答案:-14 48.对给定的正整数 n(n6),定义 f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,其中 a0=1,ai=2ai-1(iN *,in),则 a6=_;当 n=2 017时,f(2)=_. 【解析】因为 a
5、0=1,ai=2ai-1(iN *,in),所以 a6=2a5=22a4=26a0=64.f(2)=20+212+2222+2323+22 01722 017= = .答案:64 三、解答题(每小题 10分,共 30分)9.等比数列a n的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a2a6,(1)求数列a n的通项公式.(2)设 bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 的前 n项和.1【解析】(1)设等比数列a n的公比为 q,由 =9a2a6,得 =9 ,所以 q2= ,19由条件可知 q0,故 q= .由 2a1+3a2=1得 2a1+3a1q=1,所以 a1= .13故
6、数列a n的通项公式为 an= .13(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=- ,故 =- =-2 .(1- 1+1)+ +11124=-2(1-12)+(12-13)+(1- 1+1)=- .2+110.设数列a n的 前 n项和为 Sn,数列S n的前 n项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,nN *.(1)求 a1,a2,a3的值.(2)求数列a n的通项公式.【解析】(1)因为 S1=T1=2S1-1,S1=1=a1,所以 a1=1.因为 S1+S2=T2=2S2-4,所以 a2=4.因为 S1+S2+S3=T3=2S3-9,所以 a3=10.(2)
7、因为 Tn=2Sn-n2 ,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2 ,所以-得,S n=2an-2n+1(n2),因为 S1=2a1-21+1,所以 Sn=2an-2n+1(n1) , Sn-1=2an-1-2n+3 ,-得,a n=2an-1+2(n2)an+2=2(an-1+2).因为 a1+2=3,所以a n+2是首项为 3,公比为 2的等比数列,a n+2=32n-1,故 an=32n-1-2.11.设数列a n的前 n项和为 Sn,且 Sn=n2-n+1,正项等比数列b n的前 n项和为 Tn,且b2=a2,b4=a5.(1)求a n和b n的通项公式.(2)数列c n中,c 1=a1,
8、且 cn=cn+1-Tn,求c n的通项公式 cn.【解析】(1)因为 Sn=n2-n+1,所以令 n=1,a1=1,an=Sn-Sn-1=2(n-1),(n2),经检验 a1=1不能与 an(n2)合并 ,所以 an= 又因为数列b n为正项等比数列,b 2=a2=2,b4=a5=8,所以1,=1,2(-1),2.5=q2=4,所以 q=2,42所以 b1=1,所以 bn=2n-1.(2)Tn= =2n-1,1-21-2因为 c2-c1=21-1,c3-c2=22-1,cn-cn-1=2n-1-1,以上各式相加得 cn-c1= -(n-1),c1=a1=1,所以 cn-1=2n-n-1,所以
9、 cn=2n-n.(20分钟 20 分)1.(10分)已知数列a n中,a 2=1,前 n项和为 Sn,且 Sn= .(1)求 a1,a3.(2)求证:数列a n为等差数列,并写出其通项公式.【解析】(1)令 n=1,则 a1=S1= =0,令 n=3,则 S3= ,即 0+1+a3= ,解得 a3=2.(2)由 Sn= ,即 Sn= , 6得 Sn+1= , -,得(n-1)a n+1=nan, 于是,na n+2=(n+1)an+1, -,得 nan+2+nan=2nan+1,即 an+2+an=2an+1,又 a1=0,a2=1,a2-a1=1,所以数列a n是以 0为首项,1 为公差的
10、等差数列.所以 an=n-1.【提分备选】已知正项数列a n的前 n项和为 Sn,且 a1=1,Sn+1+Sn= ,数列b n满足 bnbn+1= ,2+1且 b1=1.(1)求数列a n,bn的通项公式.(2)记 Tn=anb2+an-1b4+a1b2n,求 Tn.【解析】(1)因为 Sn+1+Sn= , Sn+Sn-1= (n2), 2-得:a n+1+an= - ,2+12所以(a n+1+an)(an+1-an-1)=0,因为 an+10,an0,所以 an+1+an0,所以 an+1-an=1(n2),又由 S2+S1= 得 2a1+a2= ,即 -a2-2=0,所以 a2=2,a2
11、=-1(舍去),所以 a2-a1=1,所以a n是以 1为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n.又因为 bnbn+1= =3n, 7所以 bn-1bn=3n-1(n2), 得: =3(n2),又由 b1=1,可求 b2=3, +1-1故 b1,b3,b2n-1是首项为 1,公比为 3的等比数列,b 2,b4,b2n是首项为 3,公比为 3的等比数列.所以 b2n-1=3n-1,b2n=33n-1=3n.所以 bn=3-12 ( 为奇数),32 ( 为偶数). (2)由(1)得:Tn=3an+32an-1+33an-2+3na1, 3Tn=32an+33an-1+34an-2+3n+1a1
12、, -得:2Tn=-3an+32(an-an-1)+33(an-1-an-2)+3n(a2-a1)+3n+1a1,由 an=n,所以 2Tn=-3n+32+33+3n+3n+1=-3n+ =-3n- + 3n+2,32(1-3)1-3 9212所以 Tn= - - .3+24 32942.(10分)(2 018日照一模)已知数列a n前 n项和 Sn满足:2S n+an=1.(1)求数列a n的通项公式.(2)设 bn= ,数列b n的前 n项和为 Tn,求证:T n .14【解析】(1)因为 2Sn+an=1,所以 2Sn+1+an+1=1,两式相减可得 2an+1+an+1-an=0,即3an+1=an,即 = ,+1 138又 2S1+a1=1,所以 a1= ,13所以数列a n是公比为 的等比数列 .13故 an= = ,13数列a n的通项公式为 an= . (2)因为 bn= ,所以 bn=2(13)+11+(13)1+(13)+1= =23+13+133+1+13+1 23(3+1)(3+1+1)= -13+1 13+1+1所以 Tn=b1+b2+bn= + + - =13+1 13+1+1- .14 14所以 Tn .14
