1、1培优点九 线性规划1简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例 1已知实数 x， y满足240xy，则 32zxy的最小值是（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线32zyx过 ,0时， z取最小值为 6，故选 C2目标函数为二次式例 2：若变量 x， y满足120xy，则2zxy的最大值为（ ）A 10B 7C 9D 10【答案】D【解析】目标函数2zxy可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，2观察可得最远的点为 1,3B，所以2max10zOB3目标函数为分式例 3：设变量 x， y满足约束条件201x
2、y，则1ysx的取值范围是（ ）A1,2B1,2C ,2D1,2【答案】D【解析】所求1ysx可视为点 ,xy与定点 1,连线的斜率从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在 1,0处的斜率最小，即min012k，在 ,处的斜率最大，为 ax0，3结合图像可得1ysx的范围为1,24面积问题例 4：若不等式组034xy所表示的平面区域被直线 4ykx分成面积相等的两部分，则 k的值为（ ）A73B37C173D317【答案】C【解析】在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线 4ykx为绕定点 0,4的一条动直线，设直线交 AC于 M，若将三角形分为面积相等的两部分，则 ABMCS
3、，观察可得两个三角形高相等，所以 AMC，即 为 中点，联立直线方程可求得40,3， 1,，则17,26，代入直线方程可解得173k4对点增分集训一、单选题1若实数 x， y满足01xy，则 zxy的最大值为（ ）A 2B1 C0 D 1【答案】B【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域，由 zxy在 轴上的截距越小，目标函数值越大，所以最优解为 1,0，所以 z的最大值为 1，故选 B2已知实数 x， y满足线性约束条件3024xy，则其表示的平面区域的面积为（ ）A94B274C 9D27【答案】B【解析】满足约束条件3024xy，如图所示：5可知 14x范围扩大，实际只有 03x，其平面
4、区域表示阴影部分一个三角形，其面积为132724S故选 B3已知实数 x， y满足120xy，若 zxay只在点 43,处取得最大值，则 a的取值范围是（ ）A 1,B 2,C 1,D12,【答案】C【解析】由不等式组120xy作可行域如图，6联立2 1xy，解得 43C,当 0a时，目标函数化为 zx，由图可知，可行解 ,使 zxy取得最大值，符合题意；当 0a时，由 zxay，得1za，此直线斜率大于 0，当在 y轴上截距最大时 z最大，可行解 43,为使目标函数 xay的最优解， 1a符合题意；当 0a时，由 zxy，得1z，此直线斜率为负值，要使可行解 43,为使目标函数 xay取得最
5、大值的唯一的最优解，则1a，即 0综上，实数 的取值范围是 1,故选 C4已知实数 x， y满足约束条件20xy，则5xzy的取值范围为（ ）A23,B423,C 24U,D 42U,【答案】C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得 2A,， 4B,7由5xzy得10zx，所以 可看作点 y,和 5P,连线的斜率，记为 k，由图形可得 PABk，又2053PAk，40253PBk，所以243k，因此z或z，所以xzy的取值范围为U,故选 C5若实数 x， y满足约束条件2390x，则2zxy的最大值是（ ）A 10B 4C D 10【答案】D【解析】由实数 x， y满足约
6、束条件2390xy作出可行域，如图：8 03A,， 2C,， OAC，联立29xy，解得 31B,，的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值 22310OB故选 D6已知点 12A,，若动点 Pxy,的坐标满足02xy，则 AP的最小值为（ ）A B 1C D 5【答案】C【解析】作出可行域如图：观察图象可知， AP最小距离为点 A到直线 20xy的距离，9即 max12AP，故选 C7 x， y满足约束条件20xy，若 zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A12或 B2 或1C2 或 1 D2 或 1【答案】D【解析】由题意作出约束条件02xy，平面区域，将 zy
7、ax化为 yxz， 相当于直线 yaxz的纵截距，由题意可得， 与 2或与 2平行，故 2a或 1-；故选 D8若 x， y满足不等式组402 xy，则215yx成立的概率为（ ）A156B16C 8D38【答案】A10【解析】作出不等式组402 xy表示的平面区域，如图所示：因为 01yx表示点 ,Pxy与定点 1,0连线的斜率，所以25成立的点 ,只能在图中 ADE 的内部（含边界） ，所以由几何概型得：215yx成立的概率为 BCS，由104xy，得 4A,，由104xy，得 4,，由 20xy，得83C,，由2510xy，解得1807D,，由154x，解得 42E,，所以4623ABC
8、S，8027ADES，所以 15yx成立的概率为105763ADEBCS，故选 A9若 x， y满足不等式组20518xy，则 32zxy的最小值为（ ）A7 B6 C65D4【答案】C11【解析】画出可行城如图所示，目标函数可化为132zyx，共图象是对称轴为 3x的两条射线，由3 510xy得z取得最小值时的最优解为15y即 min3265z故选 C10已知平面直角坐标系 xOy上的区域 D由不等式组02xy给定若 ()Mxy,为 D上动点，点 A的坐标为 2,1则 zMAuv的最大值为（ ）A 42B 3C4 D3【答案】C【解析】如图所示： 2zOAxyuv，即 2xz，首先做出直线
9、0l： yx，将 0l平行移动，当经过 B点时在 轴上的截距最大，从而 z最大12因为 2,B，故 z的最大值为 4故选 C11若不等式组20518xy所表示的平面区域内存在点 0xy,，使 02xay成立，则实数 a的取值范围是（ ）A 1,B ,1C ,1D 1,【答案】B【解析】作出不等式20518xy，可行域如图：平面区域内存在点 0,Mxy，满足 02xay，直线 2xay与可行域有交点，解方程组051得 2B,点 B在直线 0下方可得 02a解得 a故选 B12已知圆 22:1Cxayb，平面区域60:4xy，若圆心 C，且圆 与x轴相切，13则圆心 ,Cab与点 2,8连线斜率的
10、取值范围是（ ）A7,35UB7,35UC,D,【答案】A【解析】画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心 ,Cab，半径为 1，因为圆 C与 x轴相切，所以 ，直线 1y分别与直线 60y与 40xy交于点 51B,， 3,A，所以 35a，圆心 ,ab与点 2,8连线斜率为872bka，当 2时，7,k；当 5a时,3；所以圆心 ,Cab与点 ,8连线斜率的取值范围是7,5U，故选 A二、填空题13设 x， y满足1032xy，则 21zxy的最大值为_【答案】13【解析】如图，作出可行域（图中阴影部分） ，14目标函数 21zxy在点 2,5A取得最大值 13故答案为 1314若变量 x，
11、 y满足约束条件102xy，则2zxy的最小值为_【答案】1【解析】作可行域， 0,1A，2zxy表示可行域内点 P到坐标原点距离的平方，由图可得2zxy最小值为 21OA15已知实数 x， y满足 0xy，则2xy的最小值为_【答案】4【解析】由实数 x， y满足10xy，作出可行域如图，15联立1xy，解得 0A,，22xyx，其几何意义为可行域内的动点与定点 0P,连线的斜率加 2021PAk，2xy的最小值为 4故答案为 416某公司计划明年用不超过 6 千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损 10%的概率为 02.，年利润获利 3
12、0%的概率为 0.4，年利润获利 50%的概率为 0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为6%的概率为 .7，持平的概率为 2，年利润亏损 2的可能性为 .1为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的 2 倍根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_千万【答案】 2.【解析】设本地养鱼场平均年利润 1，远洋捕捞队平均平均年利润 2；10304503E ， 2607014E ；设本地养鱼场投 x千万元，远洋捕捞队投 y千万元，则利润之和 034zxy ，20xy,，16如图，当目标函数经过点 24B,时利润最大， 03242z 千万元
