1、1第 3 讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号不等式 5,6,9,10,15线性规划 7,8,11,13,16排列组合 2,4,12二项式定理 1,3,14一、选择题1.(2018 广西三校九月联考)(x 2+2)（ -1） 6的展开式的常数项是( C )(A)15 (B)-15 (C)17 (D)-17解析:二项式（ -1） 6的展开式的通项公式为Tr+1= （ ） 6-r(-1)r=(-1)r xr-6,6当 r=6 时,T 7=(-1)6 x0=1,当 r=4 时,T 5=(-1)4 x-2= ,152故(x 2+2)（ -1）
2、6的展开式的常数项是115+21=17.故选 C.2.(2018福建泉州 5 月质检)李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 7 天假期中,到“东亚文化之都泉州” “二日游”,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有( C )(A)16 种 (B)18 种 (C)20 种 (D)24 种解析:两人不同一天出现在泉州,故他们共用去了 4 天的出游,因而余下了 3 天,3 天留下了4 个空.选 1 空插入 4 天,方案有 =8(种),1422选 2 空各插入 2 天,方案有 =12(种).2422由分类计数原理有 8+12=20(种).故选 C.3.(2018河北省衡水中学三模)（ax- +
3、）(x- )6的展开式中各项系数的和为 16,则展3423开式中 x3项的系数为( A )(A) (B) (C)57 (D)331172解析:由题意得（a- + ）(1-3) 6=16,所以 a= ,3423 132二项式（x- ） 6的展开式的通项为Tr+1= x6-r（- ） r=(-3)r x6-2r,6 6当 r=2 时,T 3=135x2,当 r=1 时,T 2=-18x4,所以( x- + )(x- )6展开式中 x3项的系数为13 3423135+ 18= .故选 A.13 34 11724.(2018重庆三诊)山城农业科学研究所将 5 种不同型号的种子分别试种在 5 块并成一排
4、的试验田里,其中 A,B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法数有( B )(A)12 种 (B)24 种 (C)36 种 (D)48 种解析:因为 A,B 两型号的种子试种方法数为 22=4 种,所以一共有 4 =24 种,故选 B.5.(2018安徽滁州高三上期末)若 a0,b0,2a+b=6,则 的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)23 43 53 83解析:由题意 = + =( + ) = (2+2+ + ) (4+2 )= .故选 B.16 16 4 436.(2018山东威海二模)已知正三棱柱 ABC A1B1C1,
5、侧面 BCC1B1的面积为 4 ,则该正三棱3柱外接球表面积的最小值为( D )(A)4 (B)8 (C)8 (D)163解析:设 BC=a,CC1=b,则 ab=4 .底面三角形外接圆的半径为 r,正三棱柱外接球的半径为 R,3则 =2r,所以 r= a,所以 R2=( )2+( a) 2= + 2 =2 =4,当且仅当 a=,b=2 时,等号成立,所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为 44=16.故选 D.67.(2018河南省洛阳市联考)已知 x,y 满足条件 则 的取值范围是0,3+412, +2+3+1( B )(A)(3,9 (B)3,9 (C)6,9 (D)9,12解析:作出可行
6、域:3因为 z= =1+ ,+2+3+1令 s= ,+1+1s 表示动点 P(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率,当点 P 在直线 y=x 上时,s 最小,此时 s=1,即 z 的最小值为 1+2=3;当点 P 在 A(0,3)时,s 最大,此时 s=4,即 z 的最大值为 1+8=9.故 z 的取值范围为3,9.故选 B.8.(2018辽宁沈阳育才学校一模)设点 P(x,y)在不等式组 表示的平面区域上,则z= 的最小值为( D )(A)1 (B) (C)2 (D)255解析: 不等式组所表示的平面区域如图所示,记点 A(1,0),由 z= 知 z=|PA|,(1)2+2z 的最小值为点
7、 A 到直线 2x-y=0 的距离,即 = .故选 D.|21|22+122559.(2018浙江嘉兴 4 月模拟)已知 x+y= + +8(x,y0),则 x+y 的最小值为( B )(A)5 (B)9 (C)4+ (D)103解析:x+y= + +8x+y-8= + ,两边同时乘以“x+y”得(x+y-8)(x+y)=（ + ）(x+y),所以(x+y-8)(x+y)=5+ + 9,4当且仅当 y=2x 时等号成立,令 t=x+y,所以(t-8)t9,解得 t-1 或 t9,因为 x+y0,所以 x+y9,即(x+y) min=9.故选 B.10.(2018天津河东区二模)已知正实数 a,
8、b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,当 取最小值时,a+b-c 的最大值为( C )(A)2 (B) (C) (D)34 38 14解析:根据题意,c=a 2-ab+4b2,所以 = = + -12 -1=3,2+42 4当且仅当 = ,即 a=2b 时取等号,所以有 a+b-c=2b+b-4b2+2b2-4b2=-6b2+3b=-6(b- )2+ ,14 38所以当 b= 时取得最大值 ,故选 C.14 3811.(2018四川成都龙泉中学月考)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨,硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷
9、酸盐1 吨,硝酸盐 15 吨.现库存磷酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 12 000 元,生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 7 000元,那么可产生的最大利润是( C )(A)29 000 元 (B)31 000 元(C)38 000 元 (D)45 000 元解析:设 x,y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数,根据题意得 即工厂总利润为 z=12 000x+7 000y,由约束条件画出可行域如图.由 可得 =2,=2.所以最优解为 A(2,2),则当直线 12 000x+7 000y-z=0 过点 A(2,2)时,
10、5z 取得最大值为 38 000 元,即生产甲、乙两种肥料各 2 车皮时可获得最大利润.故选 C.12.(2018山东潍坊二模)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( A )(A)120 种 (B)156 种 (C)188 种 (D)240 种解析:当“数”排在第一节时有 =48 种排法,
11、当“数”排在第二节时有 =36 种排法,当“数”排在第三节时,当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有 =12 种排法,当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有 =24 种排法,所以满足条件的共有48+36+12+24=120 种排法,故选 A.二、填空题13.(2018湖南两市九月调研)设变量 x,y 满足约束条件 则 z=x-3y 的最大值为 . 解析:画出可行域如图,由约束条件可求得,可行域的顶点坐标分别为 A( ,- ), B(-4,4), C(2,1),代入目标函数为,12 12zA= + =2,zB=-4-34=-16,zC=2-31=-1,1232所以 z=x-3y 的最大值
12、为 2.答案:214.(2018湖北华师一附中 5 月押题)(x 2+2x-1)5的展开式中,x 3的系数为 .(用数字作答) 解析:因为(x 2+2x-1)5= -2+(1+x)25= (-2)5+ (-2)4(1+x)2+ (-2)3 (1+x)4+ (-2)(1+x)6+ (-2)(1+x)8+ (1+x)10,则 x3系数为 (-2)3 + (-2)2 + (-2) + =40.310答案:4015.(2018天津滨海新区联考)若正实数 x,y,满足 x+2y=5,则 + 的最大值是 .23+16解析: + = +2y- =x+1-2+2y-( + )=x+2y-1- (23+1 16
13、+ )(x+1+2y)=4- (2+2+ + )4- (4+2 )= .当且仅当 x=2,y= 时等号成立.16 +1 16 4 83 32答案:8316.(2018辽宁葫芦岛二模)已知 x,y 满足约束条件 当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值 4,则 + 的最小值为 . 解析:由约束条件 作可行域如图,联立 解得 A(2,1).由图可知,当目标函数过点 A(2,1)时,z 最小.则 2a+b=4,所以 + = (2a+b)( + )14= (2+ +1+ ) (3+2 )= (3+2 )(当且仅当 a=4-2 ,b=4 -4 时,等号成立).14 14 2 14 2 2 2答案:3+224
