1、1第 3 讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理1.(2018全国卷,理 5) x2+ 5的展开式中 x4的系数为( C )(A)10 (B)20 (C)40 (D)80解析: x2+ 5的展开式的通项公式为 Tr+1= (x2)5-r r= 2rx10-3r,令 10-3r=4,得r=2.故展开式中 x4的系数为 22=40.故选 C.2.(2017全国卷,理 4)(x+y)(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为( C )(A)-80 (B)-40 (C)40 (D)80解析:展开式中含 x3y3的项为 x (2x)2(-y)3+y (2x)3(-y)2.故系数为-22 +8 =40
2、.选 C.3.(2017全国卷,理 6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1人完成,则不同的安排方式共有( D )(A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)36 种解析:先将 4 项工作分为 3 组,再排列,共有 =36 种不同的方法.故选 D.24334.(2017全国卷,理 6) 1+ (1+x)6展开式中 x2的系数为( C )(A)15 (B)20 (C)30 (D)35解析:因为(1+x) 6展开式的通项为 Tr+1= xr,6所以 1+ (1+x)6的 x2的系数为 + =30.故选 C.5.(2018全国卷,理 15)从 2 位女生
3、,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 解析:法一 按参加的女生人数可分两类:只有 1 位女生参加有 种,有 2 位女生参加有1224种,故共有 + =26+4=16(种).2214 12242214法二 从 2 位女生,4 位男生中选 3 人,共有 种情况,没有女生参加的情况有 种,故共有- =20-4=16(种). 2答案:166.(2018全国卷,理 13)若 x,y 满足约束条件 则 z=3x+2y 的最大值为 .220,+10,0, 解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由 z=3x+2y 得 y=- x+
4、.32作直线 l0:y=- x.32平移直线 l0,当直线 y=- x+ 过点(2,0)时,32z 取最大值,z max=32+20=6.答案:67.(2018全国卷,理 14)若 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 .解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).x+y 取得最大值斜率为-1 的直线 x+y=z(z 看作常数)在 y 轴上的截距最大,由图可得直线 x+y=z 过点 C 时 z 取得最大值.由 得点 C(5,4),所以 zmax=5+4=9.答案:98.(2016全国卷,理 16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要
5、甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 解析:设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,产品 A,B 的利润之和为 z.则31.5+0.5150,+0.390,5+3600,0且 +,0且 +, z=2 100x+900y,画出可行域.由 解得所以 zmax=2 10060+9
6、00100=216 000,所以生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元.答案:216 0001.考查角度(1)不等式:与集合综合不等式的解法,在解答题中以工具性知识为主考查不等式解法、基本不等式的应用.(2)线性规划:二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.(3)计数原理:考查简单的排列组合应用题.(4)二项式定理:考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题.2.题型及难易度(1)题型:选择题、填空题.(2)难易度:中等难度.(对应学生用书第 68 页)不等式考向 1 不等式的性质与解法【例 1】 (1)(2018陕西西工大附中八模)如果 ab1,c
7、 ,ln(a+c)ln(b+c),(a-c) caeb中,所有正确命题的序号是( )(A) (B)(C) (D)(2)(2018全国名校第三次大联考)不等式 x2-2ax-3a20)的解集为 . 解析:(1)因为 ab1,cln(b+c)不成立,所以错误,排除 A,C,D,故选 B.(2)因为 x2-2ax-3a20,-ab0,且 ab=1,那么 取最小值时,b= .2+2解析:(1)由圆的方程可得C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1,由两圆只有一条公切线可知两圆内切,所以|C 1C2|=r1-r2,即 =1,所以 4a2+b2=1,所以 + = +42+22 42+22=4
8、+1+ + 5+2 =9.22 22422当且仅当 = 时,等号成立,22所以 + 的最小值为 9,故选 D.(2)因为 ab=1,ab0,所以 = =(a-b)+ ,2+2 ()2+2 252 =2 ,() 2 2当且仅当 a-b= ,2即 a-b= 时,等号成立,即 取最小值,22+2由 得 -b= .2所以 b= 或 b= (舍去).6 22答案:(1)D (2)6 22基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如下几点:(1)注意不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立.(2)合理变换求解目标,如常数代换法、换元法等,创造使用基本不等式的条件.热点训练 1:(1)(
9、2018广东深圳月考)已知函数 f(x)= 若 f(2-a2)f(a),则实数 a 的取值范围是( )(A)(-,-2)(1,+) (B)(-1,1)(C)(-2,1) (D)(-1,2)(2)(2018安徽亳州高三上期末)设 x,y 为正实数,且满足 + =1,下列说法正确的是( )12(A)x+y 的最大值为 (B)xy 的最小值为 243(C)x+y 的最小值为 4 (D)xy 的最大值为49(3)(2018浙江温州市一模)已知 2a+4b=2(a,bR),则 a+2b 的最大值为 . 解析:(1)因为 f(x)=所以函数 f(x)是奇函数,且在 R 上单调递增,所以 f(2-a2)f(
10、a)等价于 2-a2a,即 a2+a-2b0,则 2a+ + 的最小值为 3+ 2; (2)(2018衡水金卷四省第三次联考)如图,在ABC 中,已知 = ,P 为 AD 上一点,且满足 =m + ,若ABC 的面积为 ,ACB= ,则 的最小值为 . 3解析:(1)因为 ab0,2a+ + =a+b+a-b+ + ,3+ 2 3+ 2所以 a+b+ 2 ,3+ 3当且仅当 a+b= 时取等号;3a-b+ 2 ,2 2当且仅当 a-b= 时取等号.2所以联立 解得+= 3,= 2, = 3+22 ,= 3 22 ,a+b+a-b+ + 2 +2 ,3+ 2 2 317当且仅当 时,取“=”,即
11、 2a+ + 取得最小值为 2 +2 .3+ 2 2 3(2)设 = ,则 = + = +( - )=(1-) + .23由平面向量基本定理可得 解得 m= ,13所以 = + ,令| |=x,| |=y,则 SABC = | | |sinACB= xy= ,12 3所以 xy=4,且 x0,y0,所以| |2= x2+ y2+ xy= x2+ y2+19 1681 19 1681 16272 + = ,1627当且仅当 x2= y2,19 1681即 3x=4y,即 3| |=4| |时等号成立.即| |min= .43答案:(1)2 +2 (2)2 343【例 2】 (1)(2018安徽江
12、南十校二模)已知 x,y 满足 z=xy 的最小值、最大值分别为 a,b,且 x2-kx+10 对 xa,b恒成立,则 k 的取值范围为( )(A)-2,2 (B)(-,2(C)-2,+) (D) -,(2)(2018山西孝义一模)已知不等式组 表示的平面区域为 D,若函数 y=|x-1|+m 的图象上存在区域 D 上的点,则实数 m 的取值范围是( )(A) 0, (B) -2,12 1218(C)-2,1 (D) -1,32(3)(2018河南省新乡市三模)设 x,y 满足约束条件 若 的最大值为 2,+则 a 的值为( )(A) (B) (C) (D)12 14 38 59(4)(201
13、8百校联盟高三摸底)若函数 y=log2x 的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数 m 的最大值为 . 解析:(1)作出 表示的平面区域(如图所示),0,+23,2+3显然 z=xy 的最小值为 0,易求 的交点 A(1,1),当点(x,y)在线段 x+2y=3(0x1)上时,z=xy=x - =- x2+ x1;32 12 32当点(x,y)在线段 2x+y=3(0x1)上时,z=xy=x(3-2x)=-2x2+3x ;98即 a=0,b= ;98当 x=0 时,不等式 x2-kx+1=10 恒成立,若 x2-kx+10 对 x 0, 恒成立,98则 kx+ 在 0, 上恒成立,98又
14、 x+ 在(0,1上单调递减,在 1, 上单调递增,98即 x+ min=2,即 k2.故选 B.(2)作出不等式组 表示的平面区域 D(如图阴影),19函数 y=|x-1|的图象为直线 y=x-1 保留 x 轴上方的并把 x 轴下方的上翻得到,其图象为关于直线 x=1 对称的折线,沿 x=1 上下平移 y=|x-1|的图象,当经过点 B 时 m 取最小值,过点 A 时 m 取最大值,由 可解得 即 B(2,-1),此时有-1=|2-1|+m,解得 m=-2;由 可解得=1,2+1=0, =1,=1,即 A(1,1),此时有 1=|1-1|+m,解得 m=1.故实数 m 的取值范围为-2,1.
15、故选 C.(3)设 m=x-y,n=x+y,得 x= ,y= ,+2 2代入不等式组,得(+)+2 30,(+)()10,+2 0, 即关于 n,m 的不等式组的可行域如图所示,= = ,+00也就是 表示可行域内点与原点连线的斜率 ,20由条件知斜率最大值为 2,此时 =2,由 得=12,=14.即点 , 在直线 m+n-2a=0 上,1412所以 + -2a=0,所以 a= .故选 C.1214 38(4)作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,再作出对数函数 y=log2x 的图象,可得该图象与直线 x+y-3=0 交于点 M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足
16、不等式组,即 m1 符合题意,即 m 的最大值为 1.答案:(1)B (2)C (3)D (4)1【例 3】 (1)(2018浙江宁波 5 月模拟)若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有( )(A)48 种 (B)72 种 (C)96 种 (D)216 种(2)(2018安徽合肥二模)如图,给 7 条线段的 5 个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有 4 种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法有( )(A)24 种 (B)48 种 (C)96 种 (D)120 种解析:(1)将方格用 A,B,C,D,E,F 标记如下:按照以下顺序涂色,A: B: D: C: E: F: ,21所以由乘法分步原理得不同的涂色方案数有 =96 种,故选 C.(2)若 A,D 颜色相同,先涂 E 有 4 种涂法,再涂 A,D 有 3 种涂法,再涂 B 有 2 种涂法,C 只有一种涂法,共有 432=24 种;若颜色 A,D 不同,先涂 E 有 4 种涂法,再涂 A 有 3 种涂法,再涂D 有 2 种涂法,当 B 和 D 相同时,C 有 2 种涂法,当 B 和 D 不同时,C 只有一种涂法,共有432(2+1)=72 种,根据分类计数原理可得,共有 24+72=96 种,故选 C.
