1、1培优点二 函数零点1零点的判断与证明例 1：已知定义在 1,上的函数 ln2fx，求证： fx存在唯一的零点，且零点属于 3,4【答案】见解析【解析】 1xfx， 1,， 0fx， fx在 1,+单调递增，3ln0f， 42ln0f， 34， 03,4，使得 0fx因为 fx单调，所以 fx的零点唯一2零点的个数问题例 2：已知函数 fx满足 3ffx，当 1,3， lnfx，若在区间 1,9内，函数 gxfa有三个不同零点，则实数 a的取值范围是（ ）A ln31,eB ln1,93eC l,92eD l3n,9【答案】B【解析】 xfxfff，当 3,时， ln3xff，所以ln139f
2、，而 gfa有三个不同零点 yf与 yax有三个不同交点，如图所示，可得直线 yx应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln319ea23零点的性质例 3：已知定义在 R上的函数 fx满足： 20,1xf，且 2fxf，25xg，则方程 fg在区间 5,1上的所有实根之和为（ ）A B 6C 7D 8【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在 1,中，通过作图可发现 fx在 1,关于 0,2中心对称，由 2fxf可得 fx是周期为 2 的周期函数，则在下一个周期 3,中， fx关于 ,中心对称，以此类推。从而做出 fx的图像（此处要注意区间端点值在何处取到） ，再看 gx图像，2512g，可视为将
3、 1yx的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单位，所以对称中心移至 ,，刚好与 f对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点123x，其中 ， 1x与 3关于 2,中心对称，所以有 134x。所以 1237x4复合函数的零点例 4：已知函数 243fx，若方程 20fxbfc恰有七个不相同的实根，3则实数 b的取值范围是（ ）A 2,0B 2,1C 0,1D 0,2【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出 fx的图像（如图） ，因为 20fxbfc最多只能解出 2 个 fx，若要出七个根，则 1， 20,1fx，所以121,b，解得： ,b对点增分集训一、选择题1设 ln2fx，则函
4、数 fx的零点所在的区间为（ ）A 0,B 1,C 2,3D 3,4【答案】B【解析】 1ln20f， ln0f， 120f，函数 x的图象是连续的，且为增函数， f的零点所在的区间是 1,2已知 a是函数 2logxf的零点，若 0xa，则 0fx的值满足（ ）A 0fxB 0fC D x的符号不确定【答案】C4【解析】 fx在 (0,)上是增函数，若 0xa，则 0fxfa3函数 2)a的一个零点在区间 1,2内，则实数 的取值范围是（ ）A 1,B 1,C 0,3D 0,2【答案】C【解析】因为 fx在 (0,)上是增函数，则由题意得 ()123fa ，解得03a，故选 C4若 abc，
5、则函数 ()()()fxaxbxcxa的两个零点分别位于区间（ ）A (),和 ,内 B (,)a和 (,b内C bc和 )内 D 和 )c内【答案】A【解析】 ac， ()0fabc， ()0fba，()0fcb，由函数零点存在性定理可知，在区间 (),， ,内分别存在零点，又函数 fx是二次函数，最多有两个零点因此函数 fx的两个零点分别位于区间 (),ab， ,c内，故选 A5设函数 fx是定义在 R上的奇函数，当 0x时， e3xf，则 fx的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】因为函数 fx是定义域为 R的奇函数，所以 0f，即 0 是函数 fx的一个零点，当 0
6、x时，令 3e0x，则 e3x，分别画出函数 1ey和23y的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数 fx有一个零点，5根据对称性知，当 0x时函数 fx也有一个零点综上所述， f的零点个数为 36函数21ln0xxf的零点个数为（ ）A3 B2 C7 D0【答案】B【解析】方法一：由 0fx得 20x或 20x，解得 2x或 e，因此函数 fx共有 2 个零点方法二：函数 f的图象如图所示，由图象知函数 fx共有 2 个零点7已知函数 10xf，则使方程 xfm有解的实数 的取值范围是（ ）A 1,2 B (,2C ()(),D )1,【答案】D【解析】当 0x时， fxm，即 x，
7、解得 m；当 0x时， fxm，即 1m，解得 2，即实数 的取值范围是 (),12,故选 D8若函数 312fxa在区间 )内存在一个零点，则 a的取值范围是（ ）A 1,5 B 1,5C , D (),【答案】B【解析】当 0a时， 1fx与 轴无交点，不合题意，所以 0a；函数6312fxa在区间 ()1,内是单调函数，所以 0(1)f，即 ()105a，解得 或 5故选 B9已知函数 0exf，则使函数 gxfxm有零点的实数 的取值范围是（ ）A 0,1 B (1),C ()2,D ()0,【答案】D【解析】函数 gxfxm的零点就是方程 fxm的根，画出0exhxf的大致图象（图略
8、） 观察它与直线 y的交点，得知当0m或 1时，有交点，即函数 gxfx有零点故选 D10已知 fx是奇函数且是 R上的单调函数，若函数 21()()yfxfx只有一个零点，则实数 的值是（ ）A 14B 18C 78D 38【答案】C【解析】令 2()1(0)yfxfx，则 2()()1(fxfxf，因为 fx是R上的单调函数，所以 ，只有一个实根，即 210只有一个实根，则 180()，解得 7811已知当 ,x时，函数 21()ymx的图象与 yxm的图象有且只有一个交点，则正实数 m的取值范围是（ ）A (0,123,+)B 0,13),C D (2+【答案】B【解析】在同一直角坐标系
9、中，分别作出函数221()1)fxmx与()gxm的大致图象分两种情形：7（1）当 01m时， ，如图，当 0,1x时， fx与 g的图象有一个交点，符合题意（2）当 1m时， 01，如图，要使 fx与 g的图象在 0,1上只有一个交点，只需 gf，即 2()m，解得 3或 m（舍去） 综上所述， ,3,故选 B12已知函数 yfx和 ygx在 2,的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程 0fg有且只有 6 个根（2）方程 fx有且只有 3 个根（3）方程 0fx有且只有 5 个根（4）方程 g有且只有 4 个根则正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】每个方程都可通过
10、图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 x的总数（1）中可得 12,gx， 20gx， 31,2x，进而 1gx有 2 个对应的 x，82gx有 2 个， 3gx有 2 个，总计 6 个， （1）正确；（2）中可得 1,f， 20,fx，进而 1fx有 1 个对应的 x， 2f有 3 个，总计 4 个，（2）错误；（3）中可得 12,fx， 20fx， 31,2fx，进而 1fx有 1 个对应的 x，2fx有 3 个， 3f有 1 个，总计 5 个， （3）正确；（4）中可得： 12,gx， 20,1gx，进而 1gx有 2 个对应的 x， 2g有 2 个，共计 4 个， （4）
11、正确则综上所述，正确的命题共有 3 个二、填空题13函数 052log|xf 的零点个数为_【答案】2【解析】由 fx，得 0.51|l|2x，作出函数 105log|yx 和 21xy的图象，由上图知两函数图象有 2 个交点，故函数 fx有 2 个零点14设函数 31yx与221x的图象的交点为 0(,)y，若 0,1()xn， ，则0x所在的区间是_【答案】 ,【解析】令231xfx，则 0f，易知 fx为增函数，且 10f，20f， 0所在的区间是 ,15函数26ln0fxx的零点个数是_9【答案】2【解析】当 0x时，令 20x，解得 2x（正根舍去） ，所以在 (0,上有一个零点；当
12、 x时， 1()fx恒成立，所以 fx在 (0,)上是增函数又因为2ln0f， 3ln0f，所以 在 ,上有一个零点，综上，函数的零点个数为 216已知函数 |fx， Rx，若方程 1|0|fxa恰有 4 个互异的实数根，则实数 a的取值范围是 _【答案】 0,19(),【解析】设 2|3|yfx， 2|1|yax，在同一直角坐标系中作出 1|x， |的图象如图所示由图可知 1|0|fxa有 4 个互异的实数根等价于 21|3yx与 2|1|yax的图象有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1，所以 a有两组不同解，消去 y得 2)0(3xa有两个不等实根，所以 4，即 2190a
13、，解得 1a或 9又由图象得 ， 1或 9a三、解答题17关于 x的二次方程 21()0xm在区间 ,2上有解，求实数 m的取值范围【答案】 (,1【解析】显然 0不是方程 2()x的解，02x时，方程可变形为 1，又 1y在 0,上单调递减，在 ,2上单调递增，10 1yx在 0,2上的取值范围是 2,)， 12m， 1，故 m的取值范围是 (,118设函数 )0)fxx（1）作出函数 f的图象；（2）当 0ab且 fb时，求 1ab的值；（3）若方程 fxm有两个不相等的正根，求 m的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）2；（3） 01【解析】 （1）如图所示（2）10,1(),xfx故 f在 0,1上是减函数，而在 (1,)上是增函数由 ab且 ffb，得 0ab且 1b， 2a（3）由函数 fx的图象可知，当 1m时，方程 fxm有两个不相等的正根
