1、1培优点十四 外接球1正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（ ）A 6B 20C 2D 32【答案】C【解析】 162haV， ， 416422haR， S，故选C2补形法（补成长方体） cab图1CPAB abc图2PCBA abc图3CBPA abc图4PCO2BA例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 【答案】 9【解析】 9342R， 249SR3依据垂直关系找球心例 3：已知三棱锥 PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC 满足6BA， 2，若该三棱锥体积的最
2、大值为 3，则其外接球的体积为（ ）A 8B 1C 163D 23【答案】D【解析】因为 C 是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 12r，设外接2球的半径是 R，球心 O到该底面的距离 d，如图，则 1632ABCS ， BD，由题设1633ABCVSh，最大体积对应的高为 SDh，故 23Rd，即 223R，解之得 2R，所以外接球的体积是 34，故答案为 D对点增分集训一、单选题1棱长分别为 2、 3、 5的长方体的外接球的表面积为（ ）A 4B 1C 24D 48【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为 R，由题意可知： 2235R，则：23R，该长方体的外接球的表面积为 2431S本
3、题选择 B 选项2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A12 B28 C44 D60【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为 r，由正弦定理可得： 23sin60r，则 r，3设外接球半径为 R，结合三棱柱的特征可知外接球半径 237R，外接球的表面积 248S本题选择 B 选项3把边长为 3 的正方形 ABCD沿对角线 A对折，使得平面 ABC平面 D，则三棱锥DABC的外接球的表面积为（ ）A 32B 27C 18D 9【答案】C【解析】把边长为 3 的正方形 AD沿对角线 A对折，使得平面 ABC平面 ，则三棱锥 DABC的外接球直径
4、为 32，外接球的表面积为 2418R，故选 C4某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A 2aB 2aC 23aD 24a【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为 2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 a的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以 2232RaaR，所以该几何体外接球面积42234SRa，故选 C5三棱锥 ABCD的所有顶点都在球 O的表面上， AB平面 CD， 2B，243
5、，则球 的表面积为（ ）A 16B 2C 60D 64【答案】D【解析】因为 2BCD， 3，所以 2231cosCBD，23，因此三角形 外接圆半径为 122sinB，设外接球半径为 R，则 =+416A， 2=46SR，故选 D6如图 1ABCD是边长为 1 的正方体， ABCD是高为 1 的正四棱锥，若点 S，1， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 916B 2516C 4916D 816【答案】D【解析】如图所示，连结 1AC， 1D，交点为 M，连结 S，5易知球心 O在直线 SM上，设球的半径 ROSx，在 1tMB 中，由勾股定理有：221B，即： 22x，解得：
6、 98，则该球的表面积2298146SR本题选择 D 选项7已知球 O的半径为 R， A， B， C三点在球 O的球面上，球心 O到平面 ABC的距离为12R， 2ABC， 120，则球 的表面积为（ ）A 69B 63C 649D 643【答案】D【解析】由余弦定理得： 42cos1023C，设三角 ABC外接圆半径为 r，由正弦定理可得： inr，则 2，又 214R，解得： 2163R，则球的表面积 2643SR本题选择 D 选项8已知正四棱锥 PD(底面四边形 ABCD是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 10，若该正四棱锥的体积为 50
7、3，则此球的体积为（ ）A 18B 86C 36D 2【答案】C【解析】6如图，设正方形 ABCD的中点为 E，正四棱锥 PABCD的外接球心为 O，底面正方形的边长为 10， 5A，正四棱锥的体积为 53， 215033PBCDVE，则 5PE， OR，在 A 中由勾股定理可得： 25R，解得 ， 346VR球 ，故选C9如图，在 BC 中， 6A， 90ABC，点 D为 AC的中点，将 ABD 沿BD折起到 P 的位置，使 PD，连接 P，得到三棱锥 PB若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A 7B 5C 3D 【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面 PD是边长为 的
8、正三角形，且 B平面 PC，设三棱锥 PBDC外接球的球心为 O，外接圆的圆心为 1，则 1面 C，四边形 1OD为直角梯形，由 3， 1O，及 D，得 72B，外接球半径为 72R，该球的表面积 274SR故选 A10四面体 ABC中， 60AC， 3B， CD，则此四7面体外接球的表面积为（ ）A 192B 193824C 17D 176【答案】A【解析】由题意， BCD 中， 2B， 60CD，可知 BCD 是等边三角形，3F， 的外接圆半径 3rE， 3F， 60ABC，可得 7AC，可得 6A， FB，FD，四面体 高为 F设外接球 R， O为球心， Em，可得： 22rR，226E
9、F由解得： 198四面体外接球的表面积： 2194S故选 A11将边长为 2 的正 ABC 沿着高 D折起，使 0BC，若折起后 BCD、 、 、 四点都在球 O的表面上，则球 O的表面积为（ ）A 72B 7C 132D 13【答案】B【解析】 CD 中， 1， D， 10B，底面三角形的底面外接圆圆心为 M，半径为 r，由余弦定理得到 3BC，再由正弦定理得到 32sin10r，见图示：8AD是球的弦， 3A，将底面的圆心 M平行于 AD竖直向上提起，提起到 AD的高度的一半，即为球心的位置 O， 32，在直角三角形 O中，应用勾股定理得到O， 即为球的半径球的半径 37142该球的表面积
10、为 247；故选 B12在三棱锥 ABCD中， 6， 5ACBDC，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A 432B 436C 432D 43【答案】D【解析】分别取 A， CD的中点 E， F，连接相应的线段 E， ， F，由条件， 4B， 5ABD，可知， ABC 与 ，都是等腰三角形， AB平面 ECD， ABEF，同理 CEF， 是 AB与 D的公垂线，球心 G在 F上，推导出 GD ，可以证明 G为 EF中点，2594， 3， 1697， 7，球半径 7432，外接球的表面积为 243SG故选 D9二、填空题13棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是_【答案】 84【解析】由正弦定
11、理可知底面三角形的外接圆半径为 16232sin0r，则外接球的半径 22391R，则外接球的表面积为 484S14已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为 63，则该正四棱锥内切球的表面积为_【答案】 3216【解析】设正四棱锥的棱长为 a，则 23416a，解得 4a于是该正四棱锥内切球的大圆是如图 PMN 的内切圆，其中 4MN， 23P 2PE设内切圆的半径为 r，由 FON ，得 FOP，即 23rr，解得 26231r，内切球的表面积为 246316Sr15已知三棱柱 1ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3， 2， ， 60A，则此球的表面积等于_【答案】 8
12、【解析】三棱柱 1BC的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 3，102AB， 1C， 60BA， 112sin603A， 12，2cos4C， BC，设 外接圆的半径为 R，则 in60R ， ，外接球的半径为 12，球的表面积等于 248故答案为 816在三棱锥 ABCD中， A， DBC， AB， D，则三棱锥外接球的体积的最小值为_【答案】 823【解析】如图所示，三棱锥 ABC的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线 D，设 ABCx，那么 4DBCx， ABD，所以 2ABD由题意，体积的最小值即为 AD最小， 224x，所以当 2x时， A的最小值为 2，所以半径为 2，故体积的最小值为 83
