1、1中档大题分类练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：60 分钟)1(2018河南省八市第一次测评)在 ABC 中，边 a， b， c 的对角分别为 A， B， C，且满足 .cos Bb cos A cos Ca c(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值解 (1)由 及正弦定理得 .cos Bb cos A cos Ca c cos Bsin B cos A cos Csin A sin C所以 sin Bcos Acos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C，即 sin(B A)sin( C B)所以 B A C B 或 B A C B(舍)所以
2、2B A C，又 A B C，所以 B . 3(2)由 b2， B 及余弦定理得 4 a2 c22 accos a2 c2 ac ac， 3 3得 ac4，所以 S ABC acsin B 4sin ，当且仅当 a c2 等号成立12 12 3 3所以 ABC 面积的最大值为 .32在 ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，已知 acos C(2 b c)cos A.(1)求角 A 的大小；(2)若 a2， D 为 BC 的中点， AD2，求 ABC 的面积解 (1) acos C(2 b c)cos A，sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos
3、A，sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos A，sin( A C)2sin Bcos A，又 A B C，sin B2sin Bcos A，sin B0，cos A ， A(0，)，12 A . 3(2) ADB ADC，cos ADCcos ADB0， 0，1 4 b24 1 4 c24 b2 c210，2又 b2 c22 bccos A a2， b2 c2 bc4， bc6， S bcsin A 6 .12 12 32 332【教师备选】1已知 a， b， c 分别是 ABC 的内角 A， B， C 所对的边，向量 m(sin A，sin B)，n(sin C，sin
4、A)，且 m n.(1)若 cos A ， b c6，求 ABC 的面积；12(2)求 sin B 的取值范围ab解 因为 m n，所以 sin2 Asin Bsin C，结合正弦定理可得 a2 bc.(1)因为 cos A ，所以 ，即 ，解得 bc9.12 b2 c2 a22bc 12 b c 2 3bc2bc 12从而 ABC 的面积 S ABC bcsin A 9 ，故 ABC 的面积为 .12 12 32 934 934(2)因为 a2 bc，所以 cos A (当且仅当 b cb2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc 2bc bc2bc 12时，取等号)因为 0A，所以角 A
5、 的取值范围是 .(0， 3由正弦定理，知 0 sin Bsin A ，所以 sin B 的取值范围是 .ab 32 ab (0， 322已知 ABC 的内角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，且满足 cos(A B)2sin Asin B.(1)判断 ABC 的形状；(2)若 a3， c6， CD 为角 C 的平分线，求 BCD 的面积解 (1)由 cos(A B)2sin Asin B，得cos Acos Bsin Asin B2sin Asin B，cos Acos Bsin Asin B0，cos( A B)0， C90， 故 ABC 为直角三角形(2)由(1)知 C9
6、0，又 a3， c6， b 3 ， A30， ADC105，c2 a2 3由正弦定理得 ，CDsin A ACsin ADC CD sin 3033sin 1053 ，336 24 12 92 362 S CDasin BCD12 3sin .12 92 362 4 27 9343(2018烟台模拟)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，(b c)(sin Bsin C) a(sin Asin C)(1)求 B 的值；(2)若 b3，求 a c 的最大值解 (1)在 ABC 中，由正弦定理得，(b c)(b c) a(a c)，即 b2 a2 c2 ac，由余弦定理
7、，得 cos B ，a2 c2 b22ac 12 B(0，)， B ； 3(2)由(1)知 9 a2 c2 ac( a c)23 ac，于是， ac ， a c 2 93 (a c2 )2 解得 a c6，当且仅当 a c3 时，取等号所以 a c 的最大值为 6.4.如图 43，在 ABC 中， AB2，cos B ，点 D 在线段 BC 上13图 43(1)若 ADC ，求 AD 的长；344(2)若 BD2 DC， ACD 的面积为 ，求 的值432 sin BADsin CAD解 (1)在三角形中，cos B ，sin B .13 223在 ABD 中， ，ABsin ADB ADsin B又 AB2， ADB ，sin B ， AD . 4 223 83(2) BD2 DC， S ABD2 S ADC， S ABC3 S ADC，又 S ADC ， S ABC4 .432 2 S ABC ABBCsin ABC， BC6.12 S ABD ABADsin BAD， S ADC ACADsin CAD， S ABD2 S12 12ADC， 2 ，sin BADsin CAD ACAB在 ABC 中， AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC， AC4 ， 2 4 .2sin BADsin CAD ACAB 2
