1、1第三讲 平面向量考点一 平面向量的概念及线性运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时要保证“首尾相接” ，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点” ，结果向量的方向是指向被减向量对点训练1(2018全国卷)在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 解析 E 是 AD 的中点， ， ，又 D 为 BC 的EA 12AD EB
2、 EA AB 12AD AB 中点， ( )，因此 ( ) ，故选 A.AD 12AB AC EB 14AB AC AB 34AB 14AC 答案 A2(2018河北三市联考)已知 e1， e2是不共线向量， a me12 e2， b ne1 e2，且mn0，若 a b，则 等于( )mn2A B. C2 D212 12解析 a b， a b，即 me12 e2 (ne1 e2)，则Error!故 2.mn答案 C3(2018河南郑州质检)已知 P 为 ABC 所在平面内一点， D 为 AB 的中点，若 2 PD ( 1) ，且 PBA 与 PBC 的面积相等，则实数 的值为_PC PA PB
3、 解析 D 为 AB 的中点，2 ，PD PA PB 又2 ( 1) .PD PC PA PB ( 1) PA PB PC PA PB ，又 PBA 与 PBC 的面积相等，PC PA P 为 AC 的中点， 1.答案 14(2018盐城一模)在 ABC 中， A60， A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB4，且 ( R)，则 AD 的长为_AD 14AC AB 解析 因为 B， D， C 三点共线，所以 1，解得 ，如图，过点 D 分别作14 34AC， AB 的平行线交 AB， AC 于点 M， N，则 ， ，经计算得 AN AM3， AD3AN 14AC AM 34AB .3答案 3
4、 3快速审题 (1)看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则(2)看到向量平行，想到向量平行的条件平面向量线性运算的 2 种技巧3(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时， a b存在唯一实数 ，使得 a b)来判断考点二 平面向量的数量积1平面向量的数量积有两种运算形式(1)数量积的定义： ab| a|b|cos (其中 为向量 a， b 的夹角)(2)坐标运
5、算： a( x1， y1)， b( x2， y2)时， ab x1x2 y1y2.2投影向量 a 在向量 b 方向上的投影为 | a|cos ( 为向量 a， b 的夹角)ab|b|对点训练1已知| a|1， b(1,1)且 a( a b)，则向量 a 与向量 b 的夹角为( )A. B. C. D. 3 2 23 34解析 设向量 a 与向量 b 的夹角为 ，因为 a( a b)，所以 a(a b)0，即|a|2 ab1| a|b|cos 1 cos 0，cos ， ，故选 D.222 34答案 D2(2018陕西西安八校联考)已知点 A(1,1)， B(1,2)， C(2，1)， D(3,
6、4)，则向量 在 方向上的投影是( )CD BA A3 B C3 D.5322 5 322解析 依题意得， (2，1)， (5,5)， (2，1)(5,5)BA CD BA CD 15，| | ，因此向量 在 方向上的投影是 3 ，选 A.BA 5 CD BA BA CD |BA | 155 5答案 A3已知向量 a(1,2)， b(3，6)，若向量 c 满足 c 与 b 的夹角为 120，c(4a b)5，则| c|( )A1 B. C2 D25 5解析 依题意可得| a| ，| b|3 ， a b.由 c(4a b)5，可得5 54ac bc5.由 c 与 b 的夹角为 120，可得 c
7、与 a 的夹角为 60，则有 bc| b|c|cos1204| c|3 |c|， ac| a|c|cos60| c| |c|，所以5 (12) 352 5 12 524 |c| |c|5，解得| c|2 ，故选 D.52 352 5答案 D4如图所示，在梯形 ABCD 中， AB CD， CD2， BAD ，若 2 ，则 4 AB AC AB AD _.AD AC 解析 因为 2 ，所以 ，所以 .AB AC AB AD AB AC AB AD AB AD AB DC AB AD 因为 AB CD， CD2， BAD ，所以 2| | | |cos ，化简得| |2 . 4 AB AB AD
8、4 AD 2故 ( )| |2 AD AC AD AD DC AD AD DC (2 )22 2cos 12.2 2 4答案 12快速审题 (1)看到向量垂直，想到其数量积为零(2)看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式平面向量数量积的两种运算方法(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化考点三 平面向量在几何中的应用5用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法(1)基向量法：选取适当的基底(基底
9、中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法6解析 (1)解法一： ，| | |1，OA OB OA OB | | .OA OB OA 2 2OA OB OB 2 2设( )与 的夹角为 ，则( )( )OA OB OC OC OA OC OB 2( ) 1 cos ，又 0，cos 1,1，(OC OA OB OC OA OB 2 )( )1 cos 1 ，1 ，OC OA OC OB 2 2
10、2( )( )的最大值为 1，故选 A.OC OA OC OB 2解法二：以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系7(取 的方向为 x 轴正方向， 的方向为 y 轴正方向)，则 A(1,0)， B(0,1)设OA OB C(cos ，sin )( 0,2)， (cos 1，sin )，OC OA (cos ，sin 1)，( )( )cos (cos 1)OC OB OC OA OC OB sin (sin 1)cos 2 sin 2 (sin cos )1 sin ， 0,2) ，sin 1,1，( )( )2 ( 4) ( 4) OC OA
11、OC OB 的最大值为 1，故选 A.2(2)解法一：因为 2 ，BE BC 所以 E 为 BC 中点设正方形的边长为 2，则| | ，AE 5| |2 ， ( )BD 2 AE BD (AB 12AD ) AD AB | |2| |2 222 22，12AD AB 12AD AB 12所以 cos .AE BD |AE |BD | 2522 1010解法二：因为 2 ，BE BC 所以 E 为 BC 中点设正方形的边长为 2，建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则点 A(0,0)， B(2,0)，D(0,2)， E(2,1)，所以 (2,1)， (2,2)，所以 2(2)122，AE BD
12、 AE BD 故 cos .AE BD |AE |BD | 2522 1010答案 (1)A (2)10108解决以平面图形为载体的向量数量积问题的策略(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决对点训练1在 ABC 中，点 M 是 BC 边的中点， AM1，点 P 在 AM 上且满足 2 ，则 (AP PM AP )等于( )PB PC A. B. C D49 43 43 49解析 由点 M 为 BC 边的中点，得 2 .
13、PB PC PM AP ( ) 2.AP PB PC AP 又 2 ，| | | | .AP PM AP 23AM 23 2| |2 .故选 A.AP AP 49答案 A2(2017全国卷)已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则( )的最小值是( )PA PB PC A2 B C D132 43解析 解法一：设 BC 的中点为 D， AD 的中点为 E，则有 2 ，PB PC PD 则 ( )2 PA PB PC PA PD 2( )( )2( 2 2)而 2 2 ，当 P 与 E 重合时， 2有最PE EA PE EA PE EA AE (32) 34 P
14、E 9小值 0，故此时 ( )取最小值，PA PB PC 最小值为2 22 .EA 34 32解法二：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则 A(1,0)， B(1,0)， C(0， )，设 P(x， y)，取 BC 的中点 D，则3D . ( )2 2(1 x， y) 2(12， 32)PA PB PC PA PD (12 x， 32 y)2 .x 1(x 12) y(y 32) (x 14)2 (y 34)2 34因此，当 x ， y 时， ( )取得最小值，为 2 ，故选 B.14 34 PA PB PC ( 34) 32答案 B1(2018全国卷
15、)已知向量 a， b 满足| a|1， ab1，则 a(2a b)( )A4 B3 C2 D0解析 因为| a|1， ab1，所以 a(2a b)2| a|2 ab21 2(1)3.故选 B.答案 B2(2017全国卷)在矩形 ABCD 中， AB1， AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD相切的圆上若 ，则 的最大值为( )AP AB AD A3 B2 C. D22 5解析 分别以 CB、 CD 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系，则 A(2,1)， B(2,0)，D(0,1)点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，可设 P .(25cos ， 25sin )10则
16、 (0，1)， (2,0)，AB AD .AP (25cos 2， 25sin 1)又 ，AP AB AD sin 1， cos 1，25 15 2 sin cos 2sin( )，25 15其中 tan ，( )max3.12答案 A3(2018全国卷)已知向量 a(1,2)， b(2，2)， c(1， )若 c(2 a b)，则 _.解析 由已知得 2a b(4,2)又 c(1， )， c(2 a b)，所以 4 20，解得 .12答案 124(2018上海卷)在平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)、 B(2,0)， E、 F 是 y 轴上的两个动点，且| |2，则 的最小值为_EF A
17、E BF 解析 设 E(0， m)， F(0， n)，又 A(1,0)， B(2,0)， (1， m)， (2， n)AE BF 2 mn，AE BF 又知| |2，| m n|2.EF 当 m n2 时， mn2( n2) n2 n22 n2( n1) 23.AE BF 当 n1，即 E 的坐标为(0,1)， F 的坐标为(0，1)时， 取得最小值3.AE BF 当 m n2 时， mn2( n2) n2 n22 n2( n1) 23.AE BF 当 n1，即 E 的坐标为(0，1)， F 的坐标为(0,1)时， 取得最小值3.AE BF 综上可知， 的最小值为3.AE BF 答案 3115
18、(2017天津卷)在 ABC 中， A60， AB3， AC2.若 2 ， BD DC AE AC ( R)，且 4，则 的值为_AB AD AE 解析 解法一：如图，由 2 得 ，BD DC AD 13AB 23AC 所以 ( ) 2 2 ，AD AE (13AB 23AC ) AC AB 13 AB AC 13AB 23 AC 23AB AC 又 32cos603， 29， 24，所AB AC AB AC 以 3 2 54，解得 .AD AE 83 113 311解法二：以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB3， AC2， A60，所以 B(3,0)
19、， C(1， )，又 2 ，所以 D ，3 BD DC (53， 233)所以 ，而 (1， )(3,0)( 3， )，因此 AD (53， 233) AE AC AB 3 3 AD ( 3) AE 53 233 3 54，解得 .113 311答案 3111.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第 37 或第 1315 题的位置上，难度较低主要考查平面向量的模、数量积的运算、线12性运算等，数量积是其考查的热点2有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等热点课题 9 坐标法在平面向量中的运用感悟体验1(2018湖南长
20、郡中学一模)若等边三角形 ABC 的边长为 3，平面内一点 M 满足 CM ，则 的值为( )13CB 12CA AM MB A2 B C. D2152 152解析 如图所示，点 A ，点 B ，点 C ，(32， 0) (0， 332) ( 32， 0) ， (3,0)CB (32， 332) CA 13 (3,0) ，CM 13CB 12CA 13(32， 332) 12 (2， 32) ， ， ， OM OC CM (12， 32) AM OM OA ( 1， 32) MB OB OM ( 12， 3) AM 1 2.故选 A.MB ( 12) 32 3答案 A2(2018河南开封质检)
21、已知 ABC 为等边三角形， AB2，设点 P， Q 满足 ， (1 ) ， R.若AP AB AQ AC ，则 的值为_BQ CP 32解析 如图，以点 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴，过点 A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系设 A(0,0)， B(2,0)， C(1， )，则 (2,0)，3 AB (1， )， P(2 ，0)， Q(1 ， (1 )AC 3 3 ，(1 ， (1 )(2 1， ) ，化简得BQ CP 32 3 3 324 24 10， .12答案 12专题跟踪训练(十六)一、选择题1(2018昆明模拟)在 ABC 中，点 D， E 分别
22、在边 BC， AC 上，且2 ， 3 ，若 a， b，则 ( )BD DC CE EA AB AC DE A. a b B. a b13 512 13 1312C a b D a b13 512 13 131214解析 DE DC CE 13BC 34CA ( )13AC AB 34AC a b，故选 C.13AB 512AC 13 512答案 C2(2018吉林白城模拟)已知向量 a(2,3)， b(1,2)，若 ma nb 与 a2 b 共线，则 ( )mnA. B2 C D212 12解析 由向量 a(2,3)， b(1,2)，得 ma nb(2 m n,3m2 n)，a2 b(4，1)
23、由 ma nb 与 a2 b 共线，得 ，所以 ，故选 C.2m n4 3m 2n 1 mn 12答案 C3已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为 ，则“ ab0”是“ 为锐角”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由 ab0，可得到 ，不能得到 ；而由 ，0， 2) (0， 2) (0， 2)可以得到 ab0.故选 B.答案 B4(2018郑州一中高三测试)已知向量 a， b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则| a3 b|等于( )A. B. C. D47 10 1315解析 依题意得 ab ，| a3 b| ，故选 C.12 a2 9b2 6a
24、b 13答案 C5已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，则( 2 )(3 4 )( )AB BC BC CA A B132 112C6 D632 32解析 ( 2 )(3 4 )AB BC BC CA 3 6 24 8 3| | |cos120AB BC BC AB CA BC CA AB BC 6| |24| | |cos1208| | |cos120BC AB CA BC CA 311 61 2411 811 624 ，故选(12) ( 12) ( 12) 32 112B.答案 B6(2018河南中原名校联考)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E 为 AO 的中点，若
25、( ， 为实数)，则 2 2( )DE AB AD A. B. C1 D.58 14 516解析 ( ) ，所以DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD ， ，故 2 2 ，故选 A.14 34 58答案 A7(2018山西四校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中， AB2 AD2 DC， E 为 BC 边上一点， 3 ， F 为 AE 的中点，则 ( )BC EC BF 16A. B. 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD 13AB 23AD 解析 解法一：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG、 CG，则易知四
26、边形 DCBG 为平行四边形，所以 ， BC GD AD AG AD 12AB AE AB BE AB 23BC AB 23(AD 12AB ) 23AB ，于是 ，故选 C.23AD BF AF AB 12AE AB 12(23AB 23AD ) AB 23AB 13AD 解法二： BF BA AF BA 12AE AB 12(AD 12AB CE ) AB 12(AD 12AB 13CB ) ( )AB 12AD 14AB 16CD DA AB .23AB 13AD 答案 C8(2018河南郑州二模)已知平面向量 a， b， c 满足| a| b| c|1，若ab ，则( a b)(2b
27、c)的最小值为( )12A2 B3 C1 D03解析 由| a| b|1， ab ，可得 a， b ，令 a， b，以 的方12 3 OA OB OA 17向为 x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则 a (1,0)， b ，OA OB (12， 32)设 c (cos ，sin )(0 2)，则( a b)(2b c)OC 2 ab ac2 b2 bc3 3 sin ，则(cos 12cos 32sin ) 3 ( 3)(a b)(2b c)的最小值为 3 ，故选 B.3答案 B9(2018安徽江南十校联考)已知 ABC 中， AB6， AC3， N 是边 BC 上的点，且2 ， O
28、 为 ABC 的外心，则 的值为( )BN NC AN AO A8 B10 C18 D9解析 由于 2 ，则 ，取 AB 的中点为 E，连接 OE，由于 O 为 ABCBN NC AN 13AB 23AC 的外心，则 ， 2 6218，同理可EO AB AO AB (12AB EO ) AB 12AB 12得 2 32 ，所AC AO 12AC 12 92以 18 639，故选 D.AN AO (13AB 23AC ) AO 13AB AO 23AC AO 13 23 92答案 D10(2018山西太原模拟)已知 DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R4，如果 0，且| | |，则向量 在 方
29、向上的投影为( )OD DE DF OD DF EF FD A6 B6 C2 D23 3解析 由 0 得， .OD DE DF DO DE DF DO 经过 EF 的中点， DO EF.连接 OF，| | | |4，OF OD DF DOF 为等边三角形， ODF60. DFE30，且 EF4sin6024 .318向量 在 方向上的投影为| |cos ， 4 cos1506，故选 B.EF FD EF EF FD 3答案 B11(2018湖北黄冈二模)已知平面向量 a， b， c 满足| a| b|1， a( a2 b)，(c2 a)(c b)0，则| c|的最大值与最小值的和为( )A0
30、B. C. D.3 2 7解析 a( a2 b)， a(a2 b)0，即 a22 ab，又|a| b|1， ab ， a 与 b 的夹角为 60.12设 a， b， c，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的平OA OB OC OB 面直角坐标系，则 a ， b(1,0)(12， 32)设 c( x， y)，则 c2 a( x1， y )， c b( x1， y)3又( c2 a)(c b)0，( x1) 2 y(y )0.3即( x1) 2 2 ，(y32) 34点 C 的轨迹是以点 M 为圆心， 为半径的圆(1，32) 32又| c| 表示圆 M 上的点与原点 O(0,
31、0)之间的距离，所以x2 y2|c|max| OM| ，| c|min| OM| ，32 32| c|max| c|min2| OM|2 12 (32)2 ，故选 D.7答案 D12(2018广东七校联考)在等腰直角 ABC 中， ABC90， AB BC2， M， N 为AC 边上的两个动点( M， N 不与 A， C 重合)，且满足| | ，则 的取值范围为( )MN 2 BM BN 19A. B.32， 2 (32， 2)C. D.32， 2) 32， )解析 不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则
32、 B(0,0)， A(0,2)， C(2,0)，线段 AC 的方程为 x y20(0 x2)设 M(a,2 a)，N(a1,1 a)(由题意可知 0a1)， ( a,2 a)， ( a1,1 a)，BM BN a(a1)(2 a)(1 a)2 a22 a22 2 ，0 a1，由二次函数BM BN (a 12) 32的知识可得 .BM BN 32， 2)答案 C二、填空题13(2017全国卷)已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|2，| b|1，则|a2 b|_.解析 由题意知 ab| a|b|cos6021 1，则| a2 b|2( a2 b)122| a|24| b|24 ab4441
33、2.所以| a2 b|2 .3答案 2 314(2017山东卷)已知 e1， e2是互相垂直的单位向量，若 e1 e2与 e1 e2的夹3角为 60，则实数 的值是_解析 ( e1 e2)(e1 e2)3 e e1e2 e1e2 e ，| e1 e2| 321 3 2 3 3 3e1 e222，3e21 23e1e2 e2|e1 e2| ，e1 e22 e21 2 e1e2 2e2 1 2 2 cos60 ，解得 .3 1 2 1 23320答案 3315在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点BC CD C、 D 不重合)，若 x (1 x)
34、 ，则 x 的取值范围是_AO AB AC 解析 依题意，设 ，其中 1 ，则有 (BO BC 43 AO AB BO AB BC AB )(1 ) .AC AB AB AC 又 x (1 x) ，且 ， 不共线，于是有 x1 ，由 ，知 xAO AB AC AB AC (1， 43)，即 x 的取值范围是 .(13， 0) ( 13， 0)答案 (13， 0)16(2018河北衡水二中模拟)已知在直角梯形 ABCD 中，AB AD2 CD2， AB CD， ADC90，若点 M 在线段 AC 上，则| |的最小值为MB MD _解析 建立如图所示的平面直角坐标系则 A(0,0)， B(2,0)， C(1,2)， D(0,2)，设 (0 1)，则 M( ，2 )，故AM AC ( ，22 )， (2 ，2 )，则 (22 ，24 )，| |MD MB MB MD MB MD ，当 时，| |取得最小值为 .2 2 2 2 4 220( 35)2 45 35 MB MD 255答案 255
