1、1第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1(2018云南师大附中质检)已知椭圆 C的焦点在 x轴上，离心率等于 ，且过点255.(1，255)(1)求椭圆 C的标准方程；(2)过椭圆 C的右焦点 F作直线 l交椭圆 C于 A， B两点，交 y轴于 M点，若 1 ， 2 ，求证： 1 2为定值MA AF MB BF 解析：(1)设椭圆 C的方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2则Error! a25， b21，椭圆 C的标准方程为 y21.x25(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(0， y0) ，又易知 F点的坐标为(2,0)显然
2、直线 l存在斜率，设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程是 y k(x2)，将直线 l的方程代入椭圆 C的方程中，消去 y并整理得(15 k2)x220 k2x20 k250， x1 x2 ， x1x2 .20k21 5k2 20k2 51 5k2又 1 ， 2 ，将各点坐标代入得 1 ， 2 ，MA AF MB BF x12 x1 x22 x2 1 2 x12 x1 x22 x22 x1 x2 2x1x24 2 x1 x2 x1x2 10，2(20k21 5k2 20k2 51 5k2)4 220k21 5k2 20k2 51 5k2即 1 2为定值22(2018贵阳一模)过抛物线 C：
3、y24 x的焦点 F且斜率为 k的直线 l交抛物线 C于 A， B两点，且| AB|8.(1)求 l的方程；(2)若 A关于 x轴的对称点为 D，求证：直线 BD恒过定点，并求出该点的坐标解析：(1)易知点 F的坐标为(1,0)，则直线 l的方程为 y k(x1)，代入抛物线方程y24 x得 k2x2(2 k24) x k20，由题意知 k0，且(2 k24) 24 k2k216( k21)0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2由抛物线的定义知| AB| x1 x228， 6， k21，即 k1，2k2 4k2直线 l的方程为 y( x1
4、)(2)由抛物线的对称性知， D点的坐标为( x1， y1)，直线 BD的斜率 kBD y2 y1x2 x1 ，y2 y1y24 y214 4y2 y1直线 BD的方程为 y y1 (x x1)，4y2 y1即( y2 y1)y y2y1 y 4 x4 x1，21 y 4 x1， y 4 x2， x1x21，( y1y2)216 x1x216，21 2即 y1y24( y1， y2异号)，直线 BD的方程为 4(x1)( y1 y2)y0，恒过点(1,0)3(2018南宁模拟)已知抛物线 C： y2 ax(a0)上一点 P(t， )到焦点 F的距离为122t.(1)求抛物线 C的方程；(2)抛
5、物线 C上一点 A的纵坐标为 1，过点 Q(3，1)的直线与抛物线 C交于 M， N两个不同的点(均与点 A不重合)，设直线 AM， AN的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为定值解析：(1)由抛物线的定义可知| PF| t 2 t，则 a4 t，a4由点 P(t， )在抛物线上，得 at ，12 14 a ，则 a21，a4 14由 a0，得 a1，3抛物线 C的方程为 y2 x.(2)点 A在抛物线 C上，且 yA1， xA1. A(1,1)，设过点 Q(3，1)的直线的方程为 x3 m(y1)，即 x my m3，代入 y2 x得 y2 my m30.设 M(x1， y1)， N
6、(x2， y2)，则 y1 y2 m， y1y2 m3， k1k2 y1 1x1 1 y2 1x2 1y1y2 y1 y2 1m2y1y2 m m 2 y1 y2 m 2 2 ，12 k1k2为定值4(2018福州四校联考)已知椭圆 C： 1( a b0)的两个焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，短轴的一个端点为 P， PF1F2内切圆的半径为 ，设过点 F2的直线 l被椭圆 C截得b3的线段为 RS，当 l x轴时，| RS|3.(1)求椭圆 C的标准方程；(2)在 x轴上是否存在一点 T，使得当 l变化时，总有 TS与 TR所在直线关于 x轴对称？若存在，请求出点 T的坐标；若不存在
7、，请说明理由解析：(1)由内切圆的性质，得 2cb (2a2 c) ，得 .12 12 b3 ca 12将 x c代入 1，得 y ，所以 3.x2a2 y2b2 b2a 2b2a又 a2 b2 c2，所以 a2， b ，3故椭圆 C的标准方程为 1.x24 y23(2)当直线 l垂直于 x轴时，显然 x轴上任意一点 T都满足 TS与 TR所在直线关于 x轴对称当直线 l不垂直于 x轴时，假设存在 T(t,0)满足条件，设 l的方程为 y k(x1)，R(x1， y1)， S(x2， y2)联立方程，得Error!得(34 k2)x28 k2x4 k2120，由根与系数的关系得Error!，其
8、中 0 恒成立，由 TS与 TR所在直线关于 x轴对称，得 kTS kTR0(显然 TS， TR的斜率存在)，4即 0 .y1x1 t y2x2 t因为 R， S两点在直线 y k(x1)上，所以 y1 k(x11)， y2 k(x21)，代入得k x1 1 x2 t k x2 1 x1 t x1 t x2 t k2x1x2 t 1 x1 x2 2t x1 t x2 t0，即 2x1x2( t1)( x1 x2)2 t0 ，将代入得 0 ，8k2 24 t 1 8k2 2t 3 4k23 4k2 6t 243 4k2则 t4，综上所述，存在 T(4,0)，使得当 l变化时，总有 TS与 TR所在直线关于 x轴对称
