1、1第三讲 概率年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 几何概型T 102018 卷 古典概型T82017 卷 几何概型T 22016 卷 几何概型求概率T 4命题分析高考对古典概型与几何概型考查一般为选择题，多考查互斥事件、对立事件与几何概型的计算学科素养主要是通过古典概率的求法考查学生的数学抽象，数学建模及数据分析的学科素养.几何概型授课提示：对应学生用书第67页悟通方法结论几何概型的两个基本特征(1)基本事件的无限性、等可能性(2)其事件的概率为 P(A) ，一般要用数形结合法求解构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成
2、 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 全练快速解答1(2017高考全国卷)如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )2A. B.14 8C. D.12 4解析：不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为 ，故此点取自黑色部分的概率为 ，故选B.2 24 8答案：B2(2018高考全国卷)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半
3、圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC. ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2， p3，则( )A p1 p2 B p1 p3C p2 p3 D p1 p2 p3解析： S ABC ABAC，以 AB为直径的半圆的面积为 2 AB2，12 12 (AB2) 8以 AC为直径的半圆的面积为 2 AC2，12 (AC2) 8以 BC为直径的半圆的面积为 2 BC2，12 (BC2) 8 S ABAC， S BC2 ABAC，12 8 12S (8AB2 8AC2) (8BC
4、2 12ABAC) ABAC.12 S S .由几何概型概率公式得 p1 ， p2 .SS总 SS总 p1 p2.故选A.答案：A3(2018福州四校联考)如图，在圆心角为90的扇形 AOB中，以圆心 O为起点在 A 上B3任取一点 C作射线 OC，则使得 AOC和 BOC都不小于30的概率是( )A. B.13 23C. D.12 16解析：记事件T是“作射线 OC，使得 AOC和 BOC都不小于30”，如图，记 A 的三等分点为 M， N，连接 OM， ON，则 AON BOMB MON30，则符合条件的射线 OC应落在扇形 MON中，所以 P(T) ，故选A. MON AOB 3090
5、13答案：A几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型古典概型授课提示：对应学生用书第67页悟通方法结论古典概型的两个基本特征(1)基本事件的有限性、等可能性(2)其事件的概率为 P(A) .事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数 mn4全练快速解答1(2017高考全国卷)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25解析：依题意，记两次取得卡
6、片上的数字依次为 a， b，则一共有25个不同的数组( a， b)，其中满足 ab的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为 ，选D.1025 25答案：D2.近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联网机构对使用者进行了调查，得到了使用者对常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数，并绘制出茎叶图(如图所示)(1)求出这组数据的平均数和中位数；(2)某用户从满意度指数超过82的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选两个品牌的满意度指数均超过88的概率解析：(1)这组数据的平
7、均数 x83.875.370 380 290 4 7 8 3 5 9 1 48将这组数据按从小到大的顺序排列，易知这组数据最中间的两个数为83,85，则其平均数为 84，故这组数据的中位数为84.83 852(2)满意度指数超过82的品牌有五个，其满意度指数分别为83,85,89,91,94，依次记为a， b， c， d， e，从中任选两个的选法为 a， b， a， c， a， d， a， e， b， c， b，d， b， e， c， d， c， e， d， e，共10种；满意度指数超过88的有三个，分别为 c， d， e，从中任选两个的选法为 c， d， c， e， d， e，共3种故所选两
8、个品牌的满意度指数均超过88的概率 P 0.3.310对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率.5概率与统计的综合问题授课提示：对应学生用书第68页悟通方法结论(2017高考全国卷)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，
9、统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率的概率1估 计 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 需 求 量 不 超 过 300瓶 (2)设六月份一天销售这种 (单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率学审题条件信息 想到方法 注意什么信息中频率分布表 表中最高气温与天数的对应关系信息中估计概率 利用频率与概率关系进行估计信息中酸奶的利润 想到进货成本与售价1.读表中数据要准确2.注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理规范解答 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶
10、，当且仅当最高气温低于25，(2分)由表格数据知，最高气温低于25的频率为 0.6，2 16 3690(4分)所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. 6(5分)(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300； (7分)若最高气温低于20，则 Y62002(450200)4450100.所以 Y的所有可能值为900,300，100. (10分)Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，36 25 7 490
11、因此 Y大于零的概率的估计值为0.8. (12分)解决概率与统计综合问题的一般步骤练通即学即用(2018广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组20,30)，第2组30,40)，第3组40,50)，第4组50,60)，第5组60,70，得到的频率分布直方图如图所示7(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女
12、性群众的概率解析：(1)设第1组20,30)的频率为 f1，则由题意可知，f11(0.0350.0300.0200.010)100.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.050.020100.25.估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.(2)第1组20,30)的人数为0.051206.第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名记第1组中的3名男性群众分别为 A， B， C,3名女性群众分别为 x， y， z，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含( A， B)，( A， C)，( A， x)，( A， y)，( A， z)，( B， C)，( B， x)，( B， y
13、)，( B， z)，( C， x)，( C， y)，( C， z)，( x， y)，( x， z)，( y， z)，共15个基本事件至少有一名女性群众包含( A， x)，( A， y)，( A， z)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，( C， y)，( C， z)，( x， y)，( x， z)，( y， z)，共12个基本事件从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率 P 1215 45.授课提示：对应学生用书第152页一、选择题1(2018高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0
14、.15，则不用现金支付的概率为( )A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为10.450.150.4.故选B.答案：B2(2018云南模拟)在正方形 ABCD内随机生成 n个点，其中在正方形 ABCD内切圆内的点共有 m个，利用随机模拟的方法，估计圆周率的近似值为( )8A. B.mn 2mnC. D.4mn 6mn解析：依题意，设正方形的边长为2 a，则该正方形的内切圆半径为 a，于是有 ， a24a2 mn即 ，即可估计圆周率的近似值为 .4mn 4mn答案：C3(2018沧州联考)已知函数 f(x) ，在区间(1,4)上任取一点，则使 f( x)0x2ex
15、的概率是( )A. B.12 25C. D.13 16解析： f( x) ，由 f( x)0可得 f( x) 0，解得0 x2，根据几2x x2ex 2x x2ex何概型的概率计算公式可得所求概率 P .2 04 1 25答案：B4在区间0,1上随意选择两个实数 x， y，则使 1成立的概率为( )x2 y2A. B.2 4C. D.3 5解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得 1成x2 y2立的平面区域为以坐标原点 O为圆心，1为半径的圆的 与 x轴正半轴， y轴正14半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率 P .41 4答案：B5已知向量 a( x， y)， b(
16、1，2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张， x， y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 ab0的概率是( )A. B.112 349C. D.15 16解析：设( x， y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6636个， ab0，即 x2 y0，满足 x2 y0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率 P .636 16答案：D6(2018湖南五校联考)在矩形 ABCD中， AB2 AD，在 CD上任取一点 P， ABP的最大边是 AB的概率是( )A. B.
17、22 32C. 1 D. 12 3解析：分别以 A， B为圆心， AB的长为半径画弧，交 CD于 P1， P2，则当 P在线段 P1P2间运动时，能使得 ABP的最大边是 AB，易得 1，即 ABP的最大边是 AB的概率是 1.P1P2CD 3 3答案：D7(2018天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数 m， n，则向量 a( m， n)与向量 b(1,1)的夹角 90的概率是 ( )A. B.512 712C. D.13 12解析：连掷两次骰子得到的点数( m， n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(6,6)，共36个( m， n)(1,1) m n0， m n.符合要求的事件为(
18、2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共15个，所求概率 P .1536 512答案：A8由不等式组Error!确定的平面区域记为 1，不等式组Error!确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为( )10A. B.18 14C. D.34 78解析：由题意作图，如图所示， 1的面积为 222，图中阴影部分的面积为212 12 1 ，则所求的概率 P .12 74 742 78答案：D二、填空题9(2018长沙模拟)在棱长为2的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O为底面 ABCD
19、的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P到点 O的距离大于1的概率为_解析：由题意，在正方体中与点 O距离等于1的是个半球面， V正 2 38， V半球 12 4313 ，23 ，所求概率 P1 .V半 球V正 283 12 12答案：11210如图，在等腰直角 ABC中，过直角顶点 C作射线 CM交 AB于 M，则使得 AM小于 AC的概率为_解析：当 AM AC时， ACM为以 A为顶点的等腰三角形， ACM 67.5 .180 452当 ACM67.5时， AM AC，所以 AM小于 AC的概率P . ACM的 度 数 ACB的 度 数 67.590 34答案
20、：3411某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 A1， A2和1个白球 B的甲箱与装有2个红球 a1， a2和2个白球 b1， b2的乙箱中，各11随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，则中奖的概率是_解析：由题意，所有可能的结果是 A1， a1， A1， a2， A1， b1， A1， b2， A2， a1， A2， a2， A2， b1， A2， b2， B， a1， B， a2， B， b1， B， b2，共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为 A1， a1， A1， a2， A2， a1， A2， a2，共4种，所
21、以中奖的概率为 P .412 13答案：1312一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形 ABCD)的草原上飞，其中 AD3， CD2， BC5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分) CDE以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为_解析：直角梯形 ABCD的面积 S1 (35)28，扇形 CDE的面积 S2 2 2，12 14根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率 P 1 .S1 S2S1 8 8 8答案：18三、解答题13(2018宝鸡模拟)为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等
22、级如下表：评估的平均得分 (0,6) 6,8)8,10全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况等级；(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率解析：(1)6条道路的平均得分为 (5678910)7.5，该市的总体交通状16况等级为合格(2)设 A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,1210)，(6,7)，(6,8)，(6,
23、9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件事件 A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个基本事件 P(A) .715故该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 .71514(2018西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65)，65,75)，75,85内的频率之比为421.(1)求这些产品质量指标值落在区间75,85内的频率；(2)用分层抽样的方
24、法在区间45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间45,65)内的概率解析：(1)设质量指标值落在区间75,85内的频率为 x，则质量指标值落在区间55,65)，65,75)内的频率分别为4 x,2x.依题意得(0.0040.0120.0190.030)104 x2 x x1，解得 x0.05.所以质量指标值落在区间75,85内的频率为0.05.(2)由(1)得，质量指标值落在区间45,55)，55,65)，65,75)内的频率分别为0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间45,55
25、)内应抽取6 3件，记为 A1， A2， A3；0.30.3 0.2 0.1在区间55,65)内应抽取6 2件，记为 B1， B2；在区间65,75)内应抽0.20.3 0.2 0.1取6 1件，记为 C.0.10.3 0.2 0.1设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间45,65)内”为事件 M，则所有的基本事件有：( A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， C)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， C)，( A3， B1)，( A3， B2)，( A3， C)，( B1， B2)，( B1， C)
26、，( B2， C)，共15种，13事件 M包含的基本事件有：(A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A3， B1)，(A3， B2)，( B1， B2)，共10种，所以这2件产品都在区间45,65)内的概率 P .1015 2315(2018长沙模拟)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.(1)列出22列联
27、表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少？附：P(K2 k0) 0.10 0.05 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828K2 ，其中 n a b cd.nad bc2a bc da cb d解析：(1)根据统计数据得22列联表如下：抗倒伏 易倒伏 总计矮茎 15 4 19高茎 10 16 26总计 25 20 45由于 K2的观测值 k 7.287 6.635，因此可以在犯错误451516 410219262520的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒状与玉米矮茎有关(2)由题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为 A， B，抽到的矮茎玉米有3株，设为 a， b，c，从这5株玉米中取出2株的取法有 AB， Aa， Ab， Ac， Ba， Bb， Bc， ab， ac， bc，共10种，1其中均为矮茎的选取方法有 ab， ac， bc，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是 .310
