1、1基础回扣(三) 三角函数、解三角形、平面向量要点回扣1终边相同的角 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在的射线上)2k (kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关对点专练 1 已知角 的终边经过点 P(3，4)，则 sin cos 的值为_答案 152诱导公式简记为“奇变偶不变，符号看象限” 对点专练 2 cos tan sin21 的值为_94 ( 76)答案 22 333函数 y Asin(x )的单调区间(1)不注意 的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写2 k，或 k 等，忘掉写 kZ；(
2、3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起如0,90应写为 .0， 2对点专练 3 函数 ysin 的递减区间是_( 2x 3)2答案 (kZ)k 12， k 512 4三角的恒等变形中常见的拆角、拼角技巧 ( ) ，2 ( )( )， ( )( )12 ( ) ， . 4 ( 4) ( 4) 4对点专练 4 已知 ， ，sin( ) ，(34， ) 35sin ，则 cos _.( 4) 1213 ( 4)答案 56655解三角形已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍在 ABC 中 ABsinAsinB.对点专练 5 在 ABC
3、中， a ， b ， A60，则 B_.3 2答案 456向量的平行与垂直设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，且 b0，则a ba bx1y2 x2y1 0； a b(a0， b0) ab0 x1x2 y1y20.对点专练 6 下列四个命题：若| a|0，则 a0；若| a| b|，则 a b 或a b；若 a b，则| a| b|；若 a0，则 a0.其中正确命题是_答案 7投影a 在 b 上的投影| a|cosa， b .ab|b| x1x2 y1y2x2 y2投影是一个实数，可以是正数、负数或零注意： a， b为锐角 ab0 且 a、 b 不同向；a， b为直角 ab0 且
4、 a、 b0；a， b为钝角 ab0)这个变化的实质是x x ，所以平移的距离并不是 .对点专练 2 (1)把函数 ysin 图象上各点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变)，再将图(x 6) 12象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) 3A x B x 2 4C x D x 8 4(2)对于函数 f(x)sin ，(2x 6)函数图象关于直线 x 对称；126函数图象关于点 对称；(512， 0)函数图象可看作是把 ysin2 x 的图象向左平移 个单位而得到； 6函数图象可看作是把 ysin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵(x 6) 12坐标不变)而得到以上叙述
5、所有正确的是_(填写序号)解析 (1)把函数 ysin 图象上各点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变)(x 6) 12所得函数图象的解析式为 ysin ，再将图象向右平移 个单位所得函数图象的解(2x 6) 3析式为 ysin sin cos2 x，即 ycos2 x，令2(x 3) 6 (2x 2)2x k， kZ，则 x ， kZ，即对称轴方程为 x ， kZ，故选 A.k2 k2(2)函数 f(x)sin 的对称轴为 2x k ， kZ，解得(2x 6) 6 2x ， kZ.而当 x 时， k 无解，故错误；函数 f(x)sin 图象的k2 6 12 (2x 6)中心对称点的横坐标为 2
6、x k，解得 x ， kZ，当 k1 时， x ，所以 6 k2 12 512函数图象关于点 对称，故正确；将函数 ysin2 x 的图象向左平移 个单位得到(512， 0) 6的函数图象为 ysin2 sin ，故错误；利用三角函数伸缩性易得正确，(x 6) (2x 3)所以正确的有.答案 (1)A (2)易错点 3 三角形解的个数不清致误【例 3】 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c 且 a1， c .3(1)若 C ，求 A； 3(2)若 A ，求 b， C. 6错解 (1)在 ABC 中， ，asinA csinCsin A ， A 或 .asinCc
7、12 6 567(2)由 得 sinC ，asinA csinC csinAa 32 C ，由 C 知 B ， 3 3 2 b 2.a2 c2错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大，在求得 sinA 后，得出角 A 或 ；在第(2)问中又因为asinCc 12 6 56没有考虑角 C 有两解，由 sinC ，只得出角 C ，所以角 B ，解得 b2.csinAa 32 3 2这样就出现漏解的错误正解 (1)由正弦定理得 ，asinA csinC即 sinA .asinCc 12又 aAC， CB. C60或 120. A90或 30
8、.由 ABC 的面积 S ABACsinA，12得 S2 或 .3 3答案 (1)C (2)2 或3 3易错点 4 忽视向量共线致误【例 4】 已知 a(2,1)， b( ，1)， R， a 与 b 的夹角为 .若 为锐角，则 的取值范围是_错解 cos .ab|a|b| 2 15 2 1因为 为锐角，有 cos 0， 02 10，2 15 2 1得 ， 的取值范围是 .12 ( 12， )错因分析 当向量 a， b 同向时， 0，cos 1 满足 cos 0，但不是锐角正解 为锐角，00 且 a， b 不同向； 为直角 ab0； 为钝角 ab0 且9a， b 不反向对点专练 4 (1)已知向
9、量 a， b 不共线，若 1a b， a 2b，则“ A， B， C 三点共线”是AB AC “ 1 21”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)设两个向量 e1， e2，满足| e1|2，| e2|1， e1与 e2的夹角为 .若向量 2te17 e2 3与 e1 te2的夹角为钝角，则实数 t 的范围为_解析 (1)依题意，由 A， B， C 三点共线，可设 m (m0)，则有AB AC 1a b ma m 2b，又 a， b 不共线，因此Error!得 1 21.反过来，由 1 21 显然能得出 A， B， C 三点共线综上所述， “A， B，
10、 C 三点共线”是“ 1 21”的充分必要条件，故选 C.(2)(2te17 e2)(e1 te2)2 t|e1|2(2 t27) e1e27 t|e2|22 t42 t277 t2 t215 t7向量 2te17 e2与 e1 te2的夹角为钝角，2 t215 t70，得7 t .12由 2te17 e2与 e1 te2反向，得 t .142故 t 的范围是 .( 7， 142) ( 142， 12)答案 (1)C (2) ( 7， 142) ( 142， 12)易错点 5 向量夹角概念不清致误【例 5】 已知等边 ABC 的边长为 1，则 _.BC CA CA AB AB BC 错解 AB
11、C 为等边三角形，| | | |1，向量 、 、 间的夹角BC CA AB AB BC CA 均为 60. .BC CA CA AB AB BC 1210 .BC CA CA AB AB BC 32错因分析 数量积的定义 ab| a|b|cos ，这里 是 a 与 b 的夹角，本题中 与 夹角不是 C.两向量的夹角就为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹BC CA 角，如图 与 的夹角应是 ACD.BC CA 正解 如图 与 的夹角应是 ACB 的补角 ACD，BC CA 即 180 ACB120.又| | | |1，BC CA AB 所以 | | |cos120 .BC CA BC C
12、A 12同理得 .CA AB AB BC 12故 .BC CA CA AB AB BC 32在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣” ，实质变成纯三角问题对点专练 5 (1)在 ABC 中，| |3，| |2，点 D 满足 2 3 ， BAC60，则 ( )AB AC BD DC AD BC A B. C. D85 95 85 95(2)已知 ABC 中，| |4，| |1， S ABC ，则 的值为_AB AC 3 AB AC 11解析 (1)因为 2 3 ，所以 ，所以 ( BD DC BD 35BC AD AB BD AB 35BC AB 35AC )AB ，所以 ( ) 2 35AC 25AB AD BC (35AC 25AB ) BC (35AC 25AB ) AC AB 35AC 15AB AC 252 22 23cos60 32 ，故选 D.AB 35 15 25 95(2)因为 S ABC 41sinA ，所以 sinA ，得 A 或12 3 32 3A ， 14cos A2.23 AB AC 答案 (1)D (2)2
